Hankson 的趣味题（数论）

题目描述

【问题描述】
Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现
在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现
在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公
倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整
数x 满足：
1． x 和a0 的最大公约数是a1；
2． x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的
x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮
助他编程求解这个问题。
【输入】
输入文件名为 son.in。第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n 行每
行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入
数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。
【输出】
输出文件 son.out 共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0；
若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

题解：

由题得 ：

gcd( x , a0)=a1

x*b0/gcd(x,b0)=b1;

这样不好看 

x=p*a1;   p=x/a1

a0=q*a1;  q=a0/a1

我们猜测 p,q的关系 ：gcd(p,q)==1

设 gcd(p,q)=K != 1

p=k*n

q=k*m

所以 x=k*n*a1,a0=k*m*a1

显然 gcd(x,a0)=K*a1 不成立

可以推广结论:

gcd(x,y)=k 则有 gcd(x/k,y/k)=1

这样就很明朗了

枚举b1的因子记数就行了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
int a0,a1,b0,b1;
int cas,ans;
int gcd(int a,int b){
	return a==0?b:gcd(b%a,a); 
}
int main(){
//	freopen("p1072.in","r",stdin);
	scanf("%d",&cas);
	while(cas--){
		scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
		ans=0;int p=a0/a1;int q=b1/b0;
		for(int x=1;x*x<=b1;x++ ){
			if(b1%x==0){
				if(x%a1==0 && gcd(x/a1,p)==1 && gcd(b1/x,q)==1) ans++;
				int y=b1/x;if(y==x) continue;
				if(y%a1==0 && gcd(y/a1,p)==1 && gcd(b1/y,q)==1) ans++;
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	
	
	return 0;
}