寻找数组中只出现一次的数

题目：一个整型数组里除了两个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。

分析：首先考虑这个问题的一个简单版本：一个数组里除了一个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这个只出现一次的数字。这个题目的突破口在哪里？题目为什么要强调有一个数字出现一次，其他的出现两次？想到了异或运算的性质：任何一个数字异或它自己都等于0。也就是说，如果从头到尾依次异或数组中的每一个数字，那么最终的结果刚好是那个只出现一次的数字，因为那些出现两次的数字全部在异或中抵消掉了。

有了上面简单问题的解决方案之后，回到原始的问题。如果能够把原数组分为两个子数组，在每个子数组中，包含一个只出现一次的数字，而其他数字都出现两次。如果能够这样拆分原数组，按照前面的办法就是分别求出这两个只出现一次的数字了。

还是从头到尾依次异或数组中的每一个数字，那么最终得到的结果就是两个只出现一次的数字的异或结果。因为其他数字都出现了两次，在异或中全部抵消掉了。由于这两个数字肯定不一样，那么这个异或结果肯定不为0，也就是说在这个结果数字的二进制表示中至少就有一位为1。在结果数字中找到第一个为1的位的位置，记为第N位。现在以第N位是不是1为标准把原数组中的数字分成两个子数组，第一个子数组中每个数字的第N位都为1，而第二个子数组的每个数字的第N位都为0。

现在已经把原数组分成了两个子数组，每个子数组都包含一个只出现一次的数字，而其他数字都出现了两次。因此到此为止，所有的问题都已经解决。

#include <iostream>   
using namespace std;  

// Find the index of first bit which is 1 in num (assuming not 0)   
unsigned int FindFirstBitIs1(int num)  
{  
    int indexBit = 0;  
    while (((num & 1) == 0) && (indexBit < 32))  
    {  
        num = num >> 1; 
        ++ indexBit;  
    }  
    return indexBit;  
}  

// Is the indexBit bit of num 1?   
bool IsBit1(int num, unsigned int indexBit)  
{  
    num = num >> indexBit;  
    return (num & 1);   
}  

// Find two numbers which only appear once in an array   
// Input: data - an array contains two number appearing exactly once,   
void FindNumsAppearOnce(int data[], int length, int &num1, int &num2)  
{  
    if (length < 2)    return;  
    // get num1 ^ num2   
    int resultExclusiveOR = 0;  
    for (int i = 0; i < length; ++ i)  
        resultExclusiveOR ^= data[i];  

    // get index of the first bit, which is 1 in resultExclusiveOR   
    unsigned int indexOf1 = FindFirstBitIs1(resultExclusiveOR);   
    num1 = num2 = 0;  
    for (int j = 0; j < length; ++ j)  
    {  
        // divide the numbers in data into two groups,   
        // the indexOf1 bit of numbers in the first group is 1,   
        // while in the second group is 0   
        if(IsBit1(data[j], indexOf1))  
            num1 ^= data[j];  
        else  
            num2 ^= data[j];  
    }  
}  

int main()  
{  
    int a[8] = {2,3,6,8,3,2,7,7};  
    int x,y;  
    FindNumsAppearOnce(a,8,x,y);  
    cout<<x<<"\t"<<y<<endl;  
    return 0;  
}

题目：一个整型数组里有三个数字出现了一次，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这3个只出现一次的数字。

分析：思路类似于上题，关键是找出第一个来，然后借助上题结论求另外两个。

假设x y z为只出现一次的数，其他出现偶数次。lowbit为某个数从右往左扫描第一次出现1的位置，则x^y、 x^z、 y^z 这三个值的lowbit有一个规律，其中肯定两个是一样的，另外一个是不一样的。令flips为上述三个值的异或，即flips=lowbit(a^b)^lowbit(a^c)^lowbit(b^c)。因此，可以利用此条件获得某个x(或者y，或者z)，循环判断的条件是a[i]^xors的lowbit==flips（其中xors为所有数的异或值）
解释：a[i]^xors即可划分为两组，一组是lowbit与flips不同，一组是lowbit与flips相同。这样就能找到某个x,y,z，找出后，将其与数组最后一个值交换，在利用上题思路，在前面n-1个数中找出剩余两个。

#include <iostream>
using namespace std;

int lowbit(int x)
{
    return x & ~(x - 1);
}

void Find2(int seq[], int n, int& a, int& b)
{
    int i, xors = 0;
    for(i = 0; i < n; i++)
        xors ^= seq[i];

    int diff = lowbit(xors);

    a = 0,b = 0;
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        if(diff & seq[i]) //与运算，表示数组中与异或结果位为1的位数相同
            a ^= seq[i];
        else
            b ^= seq[i];
    }
}

//三个数两两的异或后lowbit有两个相同，一个不同，可以分为两组
void Find3(int seq[], int n, int& a, int& b, int& c)
{
    int i, xors = 0;
    for(i = 0; i < n; i++)
        xors ^= seq[i];

    int flips = 0;
    for(i = 0; i < n; i++) //因为出现偶数次的seq[i]和xors的异或，异或结果不改变
        flips ^= lowbit(xors ^ seq[i]); //表示的是：flips = lowbit(a^b) ^ lowbit(a^c) ^ lowbit(b^c)

    //三个数两两异或后lowbit有两个相同，一个不同，可以分为两组
    //所以flips的值为：lowbit(a^b) 或 lowbit(a^c) 或 lowbit(b^c)

    //得到三个数中的一个
    a = 0;
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        if(lowbit(seq[i] ^ xors) == flips)     //找出三个数两两异或后的lowbit与另外两个lowbit不同的那个数
            a ^= seq[i];
    }

    //找出后，与数组中最后一个值交换，利用Find2，找出剩余的两个
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        if(a == seq[i])
        {
            int temp = seq[i];
            seq[i] = seq[n - 1];
            seq[n - 1] = temp;
        }
    }

    //利用Find2，找出剩余的两个
    Find2(seq, n - 1, b, c);
}
//假设数组中只有2（010）、3（011）、5（101）三个数，2与3异或后为001，2与5异或后为111，3与5异或后为110，
//则flips的值为lowbit(001)^lowbit(111)^lowbit(110)= 2 ，当异或结果xors与第一个数2异或的时候，得到的就是3与5异或的结果110，其lowbit值等于flips，所以最先找出来的是三个数中的第一个数：2

int main(void)
{
    int seq[]={ 2,3,3,2,4,6,4,10,9,8,8 };
    int a,b,c;
    Find3(seq, 11, a, b, c);
    cout<<a<<endl;
    cout<<b<<endl;
    cout<<c<<endl;

    return 0;
}