三角恒等式

(Murty, 1982 June)证明或否证
tan3π11+4sin2π11=11.

x=e2πi/11,则
2(2isin2π11)=2(xx10),

itan3π11=x31x3+1=x3x331+x3=x3x6+x9x+x4x7+x10x2+x5x8.
相加可知
itan3π11+i4sin2π11=SS,
其中S=x+x3+x4+x5+x9
S=x10+x8+x7+x6+x2=x1+x3+x4+x5+x9.
由于1+S+S=x111x1=0,S+S=1,
相乘有SS=5+2(S+S)=3.因此SSu2+u+3=0的根1±i112,则SS=±i11.因为tan3π11sin2π11均为正,我们可知
tan3π11+4sin2π11=11.

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