三角恒等式

(Murty, 1982 June)证明或否证
\[\tan \frac{3\pi}{11}+4\sin \frac{2\pi}{11}=\sqrt{11}.\]

令$x=e^{2\pi i/11}$,则
\[2\left( 2i\sin \frac{2\pi}{11} \right) =2\left( x-x^{10} \right),\]
而
\begin{align*}
i\tan \frac{3\pi}{11}&=\frac{x^3-1}{x^3+1}=\frac{x^3-x^{33}}{1+x^3}
\\
&=x^3-x^6+x^9-x+x^4-x^7+x^{10}-x^2+x^5-x^8.
\end{align*}
相加可知
\[i\tan \frac{3\pi}{11}+i\text{4}\sin \frac{2\pi}{11}=S-S',\]
其中$S=x+x^3+x^4+x^5+x^9$且
\[S'=x^{10}+x^8+x^7+x^6+x^2=x^{-1}+x^{-3}+x^{-4}+x^{-5}+x^{-9}.\]
由于\[1+S+S'=\frac{x^{11}-1}{x-1}=0,\qquad S+S'=-1,\]
相乘有$SS'=5+2(S+S')=3$.因此$S$和$S'$是$u^2+u+3=0$的根$\frac{-1\pm i\sqrt{11}}{2}$,则$S-S'=\pm i\sqrt{11}$.因为$\tan \frac{3\pi}{11}$和$\sin \frac{2\pi}{11}$均为正,我们可知
\[\tan \frac{3\pi}{11}+4\sin \frac{2\pi}{11}=\sqrt{11}.\]