2018 年中国科学院大学生数学夏令营试题

2018 年中国科学院大学生数学夏令营

分析与代数试卷

整理编辑: Xionger   2018年7月11日

满分为100分，考试时间为120分钟，答案必须写在答题纸上

1. (15分)设$\Omega_n$是含有$n$个元素的集合, $\{A_1,\ldots,A_r\}$称为$\Omega_n$的一个覆盖,如果$\cup_{i=1}^rA_i=\Omega_n,A_i\subseteq \Omega_n$非空, $A_i\neq A_j,r=1,2,\ldots$记$C_n$为$\Omega_n$的不同覆盖的个数,例如$C_1=1,C_2=5$.求$C_3$.

2. (10分)通过研究极限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\sin (2\pi en!)$证明$e$是无理数.

3. (15分)设$p$为从区间$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$到$[0,1]$的单调增连续可微函数$p(\theta)$全体构成的集合,且$p(0)=0,p\left(\frac{\pi} {2}\right)=1$.定义
\[I\left( p\left( \theta \right) \right) =\left( \frac{d}{d\theta}\sqrt{p\left( \theta \right)} \right) ^2+\left( \frac{d}{d\theta}\sqrt{1-p\left( \theta \right)} \right) ^2.\]
(a) 求解极值问题$\displaystyle\inf_{p(\cdot)\in P}\int_{0}^{\pi/2}I(p(\theta))d\theta$.

(b) 若$I\left( p\left( \theta \right) \right)$与$\theta$无关,求$p\left( \theta \right)$.

4. (15分)函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$称为超越函数,如果不存在有限多个不全为零的数$a_{mn}$使得$\sum_{mn}a_{mn}x^{m}(f(x))^n=0,\forall x\in\mathbb{R}$.请问以下函数是否是超越函数(说明理由)? (a)多项式, (b) $\sin x$.

5. (15分)设$A,B,C\in M_{n\times n}$均为$n\times n$复矩阵, $A^\ast$表示$A$的共轭转置.
(a) 讨论等式$AB=AC$与$A^\ast AB=A^\ast AC$的关系.

(b) 讨论等式$A^2B=A$与$B^2 A=B$的关系.

(c) 讨论等式$A^2B=BA^2$与$AB=BA$的关系,其中$A$为正定矩阵.

6. (15分)设$A\in M_{n\times n}$为任意$n\times n$复矩阵,满足$AA^\ast=A^\ast A$.是否一定存在多项式$f$使得$A^\ast=f(A)$?说明理由.

7. (15分)设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in M_{n\times n}$为$n\times n$正定矩阵,定义$A\circ B=(a_{ij}b_{ij})$.判断以下论断的对错,并给出理由.
(a) $A\circ B$为正定矩阵.

(b) $A\circ A^{-1}\geq I$.

(c) $A^{1/2}\circ B^{1/2}\leq I$,此处正定矩阵$A,B$对角线上的元素均为$1$.