低层次数论书籍大杂烩
一些原则性的说明：
0. 到一定阶段之后，你要看的就是各种文献，阐释文章或者原始文献，还盯着书那是不行的。所以别花时间往下看了。
1. 看书之前一定要看序言。作者的目标对象是谁，作者选择什么内容？合适的话再看。
2. 声明一点，数论我只了解一点，不懂。这里的好些信息来自网络与曾经的诸位师友，在此表示谢意。
3. 大致完工（更大的可能是挖坑。。。）的时候，书单必定很长，我是想表明数论的广阔，以及给爱好者多一些选择。没在单子里的书未必不好，很可能是我不知道。
4.我的意见是没有什么书非得完整看完不可。你可以不断换书看，只要掌握了需要的知识即可。当然，高手（看他的结果硬不硬）的书最好还是多读一读，他们有一些话是经验换来的，其他人说不出来。
It can be of no practical use to know that $\pi$ is irrational, but if we can know, it surely would be intolerable not to know.
E. C. Titchmarsh (1899-1963)
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关于数论的看法（这直接影响了正文中对各种书籍的看法）
数论以问题为核心，新的方法带来新的问题，不要认为只有早先的问题才是数论；方法不限（极端一点，其他分支都是数论的“武器库”），有效就行！所以，按着自己的兴趣来吧，不赶时髦未必就落后；但潮流还是要了解的。
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【导引】：
毕竟整数和有理数是数论的最原始、最基本的对象，一些基本的东西还是要熟悉的。
《数》这本书很有意思，一个章节介绍一种数或相关的理论。国内好像没影印，可惜。作者阵容很强大。
哈代、怀特的《数论导引》世界上最富盛名的数论书。一再修订，即使两位作者去世后仍是如此。这应当成为数学界的一项传统。俄罗斯把这一点做得很好。
达文波特的《高等算术》是一部很出色的导论书，短小精悍，比哈代的书适合学习。
埃尔德什的《数论》是一本很好的书，入门推荐。该有的内容都有，有些内容还是埃尔德什自己的工作；习题不算多，但很有质量，因为埃尔德什可是提问与解题方面的大师啊。
华罗庚的《数论导引》（华罗庚文集 其实就是这本书）（在我看来，这是中国人用中文写就的唯一一本能被称为佳作的数论书。有些人说什么数学大国、强国，纯属扯淡！连用母语写作的底气都没有，还有什么好吹嘘的！）内容过多，挑喜欢的来看就好。华先生是技术流，写作喜欢联系其他领域。
爱德华兹的《高等算术》侧重算法方面。爱教授一贯侧重这一点，而且近半个世纪以来计算数论（其实整个计算数学也是这样）蓬勃发展，值得了解。
贝壳的数论指南涵盖的侧面还是很多的（可惜缺了计算这一块）。每个方面点到为止，不展开太多细节性的东西，并且都有进一步的阅读建议。
可佩的数论想说一点：数论还是女皇。
塞尔的数论教程选取几个经典方向里的经典结果，从基本讲起，单刀直入，不蔓不枝。塞尔的简洁的风格很能考察你的数学成熟度。要求的基础比前面几本要稍微高一点。
差点忘了这本书了，数论中的初等方法，对这方面感兴趣的不妨看看。第一部分是初等数论的基础知识，后面介绍了解析数论和加性数论中的初等方法，比较另类。作者的风格一贯的平易。感觉可以做微积分的补充读物，练练基本的分析技术。
【概貌】
Henryk Iwaniec和Emmanuel Kowalski 的 解析数论 作者都是当代解析数论的顶尖人物。此书是解析数论大全，可以先翻翻，大概了解一下当代解析数论大概是什么样（国内有些学者眼界太窄了）。无论怎么着也得把序言读一下，纲领性的文字。
加藤和也等人的《数论I》《数论II》以具体的重要的例子引出相关性很强的几种理论，行文风格独特。半是概貌，半是教材。
Fel'dman、 Nesterenko的《 超越数论》是俄罗斯数学百科全书中的一册。
马宁、潘奇斯金的《现代数论导引》侧重算术几何与模形式。至于非交换几何方面，本人一窍不通，不多说。
贝克、乌斯尔兹的《对数型和丢番图几何》是对贝克方法的导引，前半部分经典，后半部分现代。两位作者都是此领域的大家。我认为贝克方法是丢番图方程方面最了不起的进展之一，它让我们能真正有效的处理一个具体的方程，而不仅仅是存在性论证，不仅仅是解的结构的分析！计算，奠基于结构之上的计算，将是新时代的主流。
【解析数论】（以复分析为主要工具）
特伦鲍姆的 解析与概率数论导引 以介绍方法为要，不求全求细。我以为这书最大的价值在于后半部分的概率数论，毕竟这方面的书不是很多。
达文波特的 乘性数论 达文波特属于剑桥数论学派第二代，无论科研还是教学，都是很好的。
这本《乘性数论》比上一本更全面、更现代。不过第二部嘛时候出啊？？
魔笛等著的《筛法导引及其应用》入门用的。作者的另外一本《解析数论中的问题》用来练技术很不错，就是作者很少阐述，自学的话容易迷失在细节里。
【代数数论】（首先你得了解这个概念，它讲的是代数数的理论呢，还是数的代数理论？）
诺伊基希的《代数数论》整体与局部方法都有。内容上还包含完整的类域论、算术几何导引、数域上的解析函数理论（方法是Hecke的，而不是Iwasawa-Tate的）。当代内容最全面且深受好评的代数数论教材。他的讲述类域论的方法我觉着很枯燥，忍不了，而且很多人名什么的都没标注。王湘浩教授是唯一一位在类域论上有贡献的中国学者，结果名字都没出现……
韦依的《基础数论》应该是数论领域里被人提及的最多而看的人最少的书。前半部分以Iwasawa-Tate方法讲述数域及函数域的知识，后半部分以中心单代数方法讲述类域论。
色狼的《代数数论》应该是被引用的最多的代数数论书。第一部分代数味太重，我不喜欢。包含了解析理论和整体类域论。
博列维奇和沙法列维奇合著的《数论》也是数论界的经典之作。英文版翻译自原书的第一版，而俄文版已有第三版。国内若有人翻译，实在是功德无量。我个人强烈推荐沙法列维奇教授的所有著作，尤其是《代数学基础》（向来目无余子的阿诺德都很推崇此书）。
H.P.F. Swinnerton-Dyer的《代数数论简明导引》的确够简明，里面有好多“闲话”，不读可惜。另外，第一页就有张量积，所以做好代数准备。
这部代数数论（修订版）是会议文集，很多东西都不错。学习相关内容的时候别忘了这书。
志村五郎的二次型的算术的前几章可做经典代数数论的导引（我见过的篇幅最小的导引）。风格上与当今强烈的交换代数倾向迥异，习题更是别具一格。
冯克勤的《代数数论》有好些具体的东西，附录是很好的图书导引。
张贤科的《代数数论导引》之所以在这里提到这一本，是因为这是唯一一本中国人写的包含类域论的书。
如果我没有记错的话，这本《代数数论导引》是唯一一本讲述狄利克雷单位定理的范德瓦尔登证明的数论书。
《类域论》是作者在60年代的讲稿的修订版。作者死了，同事给修订，好样的！
类域论》类域论的“小圣经”。有的符号看着很别扭。
谢娃来的《类域论》没瞄过，不过看作者，应该是有价值的。
岩泽健吉的《局部类域论（英文版）》和《局部类域论》是两本书！
这本类域论走的是解析与代数相结合的路子，先整体后局部。好像按这顺序写的就这一本。（世图好像要出影印版了）
《类域论》这可能是被看得最多的一本了。
这本《x^2+ny^2型的素数》从最初级的内容讲起，直至类域论入门。适合在学类域论之初看，存个感觉。
【朗兰兹纲领相关】
数域上的傅里叶分析Tate博士论文导读。 Tate的原文不可错过。
【二次型】
《二次型导引》应该是这领域最经典的参考文献了。
康威大神的《有声有色的二次型》绝对值得一读。世界上有些定理你或许能证明，但只有康威才能发现。幸运的是，他的书和他的定理一样有趣。
【加性数论、组合数论、概率数论】
纳森的《加性数论I》介绍华林问题和哥德巴赫猜想及相关数论技术。叙述细腻，适合自学。我越来越推崇这种写书方式。认准目标，步步前进，先不管无关的知识。在这条路上我们可能会了解为什么要引进某些概念，不同部分的知识可以如何交织在一起。这些了解的越早越好。现在的书太讲究“纯粹性”，单方面的“自封性”，这是很不健康的。
纳森的《加性数论II》仍以介绍加性数论中的几个经典结果为要。（我真心不怎么喜欢这些结果，哎）这个领域仍在起步阶段，应该大有可为。目前还有一个更广泛的分支——加性组合学，在陶哲轩、高华斯等人的推动下很是热闹。
整数的拉姆塞理论连接拉姆塞理论和整数论，个人非常感兴趣。最大的特色应该是习题，里面好多研究课题。
【丢番图数论】（包括丢番图分析、方程、几何等内容）
丢番图逼近方面的大牛施密特的《丢番图逼近》、《丢番图逼近和丢番图方程》是这方面最经典的入门文献。逼近领域自身的理论发展，以及其在丢番图方程上的应用，是上个世纪数论方面最核心的课题之一。施密特没拿菲尔兹奖很遗憾啊！
色狼的《丢番图几何基础》我一直找不到，但众多专家都很推崇此书。（欢迎有人上传电子书 ！！）
席福曼、亨得利的《丢番图几何导引》旨在以目前所知的最简单的方法讲述此领域的几大基本而又核心的定理。无论是定理本身还是证明，都值得细心揣摩。
瓦尔德施密特的《线性代数群上的丢番图分析》从最基本的开始，一直讲到当代！！！难得某个领域出现这么一本详细、全面而现代的书！有效性和非有效性方法都涉及。
【超越数论】
贝克的《超越数论》是此领域的最经典书，但内容并不仅限于超越数论。
魔笛等人的《超越数》 是新出的一本书，几乎一讲一个大定理，内容还是比较全面的。
【模形式、椭圆曲线】
志村五郎的《自守函数的算术理论导引》是这个领域绝对的经典之作。你要是只打算看一本书，那就是这本了。虽然难读，但真花时间把这书吃透了，现代数论的几个主要方向你都可以进的。
《计算模形式》可以从一个侧面反映当代计算数论的成就。
《整权与半整权模形式》可以作为志村那本书的辅助读物。（我就是搞不明白为什么俩中国人用英文写书，还在大陆出版）
《模形式的一些应用》值得一看，可以同时参看http://book.douban.com/subject/6089793/
席福曼和泰特的《椭圆曲线上的有理点》是一本解释思想非常好的书。二十世纪的椭圆曲线的算术理论如果只提一个人的名字，那就是泰特。他至今（估计以后也是）只在两本书上署过名，他能在这么一本小书上署名（主要就是基于他的讲义），绝不是一件简单的事。虽然很基础，但论解释基本思想，绝对是一流的！
纳普的《椭圆曲线》是一本很平易近人的书，在最基础的层次上就联系了椭圆曲线和模形式这两个主题。这一点比席福曼的两本要好。朗兰兹教授为此书写了个评论，值得一看。
席福曼的《椭圆曲线的算术》（到作者主页上下载勘误表，新版小错误有点多）、《椭圆曲线中的高等论题》是这个主题的经典书籍。最好具备基本的代数几何知识。
柯布里兹的《椭圆曲线和模形式导论》以同余数这个古老的问题为线索展开理论。
豪斯迈勒的《椭圆曲线》侧重于几何。
三位大家写的概要性入门书模形式123非常值得一读。
魔笛等人最近出版了一本《模形式中的问题》。我还没看到书，估计还是作者前两本习题集的风格。（话说，喜欢刷题的中国在习题集的层次上也太落后了吧。哎）
【"局部"数论】（为比较强调此侧面，从代数数论中抽出）
要学习和研究当代代数数论（对学习代数几何也有好处），“局部”数论是必备的，掌握的越熟练越好。我算是死在这条路上了。。。
《p进数》是这方面最简单的一本书，可以混个脸熟。
塞尔的《局部域》是局部域方面的必引之作，也讲述了局部类域论。
卡塞尔的《局部域》也很不错，好多内容都是其他地方不容易见的。就是这排版太恶劣，希望有蛋疼的网友能重排一下。
柯布里兹的《p 进数，p 进分析和p 进泽塔函数》是这个方向的必引之作。
华盛顿的《分圆域引论》是讲述岩泽理论的经典之作，比起色狼的书来写的细致多了。岩泽理论是代数数论在20世纪下半叶最伟大的成就。
【计算数论（算法数论）】
科恩的《计算代数数论教程》科恩算是这方面的大家了。这本《高级教程》是续篇。
【数论史】
冯克勤的《代数数论简史》可以在学着代数数论的时候翻翻，对学习有好处。
韦依的《数论前史》详细考察了高斯之前的数论发展史。
Wladyslaw Narkiewicz 的《20世纪的有理数论史》作者是当代数论史的大家，被称为“当代迪克森”。此书侧重解析数论和加性数论的历史。
【专题书】
爱德华兹的《费马大定理》《黎曼泽塔函数》爱教授的书都是数学史和数学知识的完美结合。
Schoof的《卡塔兰猜想》一本漂亮的小书，强烈推荐！
秘鲁等人的《卡塔兰问题》。没想到这么一个问题居然出了两本漂亮的读物，读者之福。
Titchmarsh的《黎曼泽塔函数理论》毫无疑问是这个专题最知名的书，当代剑桥数论学派的杰出人物西斯-布朗为此书做了修订。
Wladyslaw Narkiewicz 的《素数理论的发展》虽然有详细的证明，但显然适合做数论史方面的参考文献，而不是教材。
二次互反律：从欧拉到爱森斯坦。后续发展不知道什么时候才能写成书。
Aigner的《马尔科夫定理》以一个定理为中心介绍了与此有关的诸多领域是如何出人意料的联系起来的，又一次证实了数学的统一性。市面上多数的书还是以学科体系的讲述为主，这类以问题为主的旁征博引的书还不多。见到一次，高兴一次。
【交叉】
《扭结与素数》算术拓扑导引。比较新的理论，拭目以待吧。
《遍历论》
《初等数论，群论和拉玛努金图》
http://book.douban.com/subject/2855293/ 看书名好像很不错的样子
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待续，欢迎指正和补充。
你懂复几何，完全可以从Nevalinna理论的角度入门，见汝敏的书：http://book.douban.com/subject/2866735/。Vojta建议了Diophantine geometry和Nevanlinna理论的联系：http://math.berkeley.edu/~vojta/cime/cime.pdf，但这些联系仅仅停留在analogue阶段，没有能真正弄清楚原因。复几何和算术几何有着众所周知的对应关系，比如Green-Griffiths conjecture和Lang‘s conjecture，Riemann-Roch和arithmetic Riemann-Roch，这些联系也已经被用来预测数论上的新结果。这种philosophy应该类似于复几何和辛几何的对应，著名的例子有homological mirror symmetry，Seidel-Thomas twist和Dehn twist的对应，以及Ivan Smith的惊人工作：http://arxiv.org/pdf/1006.1099v3.pdf。用这种对应关系作为phisolophy和motivation，可以发现大量惊人的结果，也导致了一些有趣的prediction，我写过一些例子：http://www.douban.com/group/topic/56370109/，http://www.douban.com/note/428814620/。最近，有人开始研究辛几何和算术几何的对应：http://arxiv.org/pdf/1211.4632v1.pdf，并称之为arithmetic mirror symmetry。我想完全可以通过factor through辛几何，再利用arithmetic mirror symmetry和原本就有的复几何和辛几何的mirror symmetry来理解复几何和算术几何的关系，从而真正realize Vojta的program。这条道路虽然看似遥远，但并非不可以企及。只有完全建立了这些对应关系，才有可能真正理解Green-Griffiths，Lang和Vojta的猜想。否则即便证明了某些困难的猜想，也是肤浅的工作。
记得以前去数学系上微分拓扑，来自波兰的高个儿教授突然想要证一个结论，证到一半挂了黑板。于是大家群策群力，在黑板上写了又擦、擦了又写，跌跌撞撞花了一节课终于凑全了证明。
看着写得乱七八糟的黑板，教授兴奋地说道：Now I see! It's trivial!
Mathematicians can prove only trivial theorems, because every theorem that’s proved is trivial. -- Richard Feynman
数学家只能证明“平凡”的定理，因为每一个经过证明的定理都是“平凡”的。——理查·费曼
泛函分析是所有基础数学中最贴近工程技术实践的一门学科。我研究过一段时间的科学学，做过一段调查：在工科硕士生中，最受青睐的数学课程是矩阵论和最优化理论，其次是数理统计。而选修得最多的基础数学课程就是泛函分析（一般不加前缀，就默认是线性泛函分析）。
当然，经济学中时常还用到所谓动态规划（Bellman方程），其实那也是一个变分问题，只不过是离散形式的罢了。
你陪我长大，我陪你变老
我仿佛听到希尔伯特(Hilbert,1862-1943)作为花衣魔笛手，所吹奏的来自远方的甜蜜笛声，引诱着如此众多的像鼠一般的追随者和他一起跳进数学的深河徜徉。
——外尔(Weyl,1885-1955)
这句话应该说的是希尔伯特在数学大会上提出的23个问题
Don't just read it; fight it! Ask your own questions,
look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What
about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?
--- Paul R. Halmos
引用巴拿赫的名言，体现举一反三的境界：
A mathematician is a person who can find analogies between theorems;
a better mathematician is one who can see analogies between proofs
and the best mathematician can notice analogies between theories.
One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.
念高中时对南开的这个校门印象很深刻。研一时选修微分几何和广义相对论时曾刷过陈老的《微分几何讲义》，不过对现代微分几何的学习还处于入门阶段，因其博大精深。
物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维联络织绵霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息空。筹算竟有无人用，拈花一笑不言中。-陈省身。
千古存心事，欧高黎嘉陈
古往今来者，长者永绵恒
你需要做的，就是踏实下来，看一本书，做习题。
实在是不行，你可以抄书，抄写书上的证明。
只有做到透彻理解了一本书，你才会真的学会后面的大量的内容。
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日本第一个菲尔兹奖小平邦彦，你知道他怎么学的数学么，他开始也是一片茫然，后来奇葩到抄书。。。抄定理，抄证明。他大学时抄过整本Van de Warden的代数，终于学会了抽象代数。天才尚且如此，何况凡人。
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小平邦彦是第二次世界大战末、日本快战败时才出道的数学家。他在日本本土逐渐化成焦土, 人在半饥饿状态下, 并在长子濒死的病床边完成的论文“Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized theory)”辗转央托美国驻日军人带到美国后得到发表的机会, 因而得到Hermann Weyl 的赏识, 邀请他到Princeton 高等研究所当临时研究员。在那顶尖的数学家聚集的地方他得以伸展他的才能, 在1954年获得相当于数学Nobel 奖的Fields 奖, 为东方人得此奖的第一人。
