陈天权：数学分析教学中学到的和想到的
愿关注我们的人都能找到
属于自己的皮球
作者：陈天权(清华大学数学科学系．北京，100084)
摘要：近代数学分析的教学有将传统的微积分，测度论．复分析和流形上的微积分统一起来讲的趋势；近代数学分析的教学有将数学及其应用。特别是数学在物理中的应用结合起来讲的趋势．
关键词：数学分析；教学；数学分析在物理中的应用
1987年当我在清华接下数学分析课的教学任务时，因为我从未教过数学分析，不得不查阅有关文献以确定数学分析的教学内容．我发现数学分析的教学内容已和我五十年代当学生时学的很不一样了．这使我想起了法国数学家André Weil于1954年写的一篇文章中的一段话：
……传统的(二十世纪初期的)数学课程设置比较简单：二维和三维的解析几何，初等代数，即，初等方程式论，……，然后便是微积分及其在曲线及曲面理论上的应用．微积分课程最终延伸和发展成复变函数论，……，也许还要讨论一下椭圆函数的定义及它的一些公式，这样，学生便被认为是个可以进行数学研究的成熟的数学家了．
André Weil继续写道：
很不幸，当今(指作者写该文的1954年)的数学教师和攻读数学的学生就不那么轻松了．上述的课题仍然是基本的，但已是远远不够的了．因此，必须想方设法地在较短的时间内完成较多的教学任务．约半个世纪以来，抽象数学，或称公理化方法的发展清楚地告诉我们：数学，部分地说，是种语言．这种语言必须赶上科学发展对它的需求，它有自己的必须学习的语法和词汇．近代数学的语法和词汇主要是由集合论，一般拓扑和代数提供的．……．虽然，这些内容也曾渗透到传统的微积分与几何学的课程中，但因支离破碎地分散在不同数学分支的课文中而浪费大量时间．
在André Weil写完这篇文章后的半个多世纪中，数学的理论与应用又有了迅猛发展．因此，二十一世纪的数学教师和攻读数学的学生比之半世纪前就更不轻松了．想方设法地在较短的时间内完成更多的教学任务就成为二十一世纪数学教学所面临的，更为严峻的课题．
下面我愿意简略地介绍我所找到的(当然是极不完全的)数学分析教材的情况：
一、前苏联的数学分析教材
五十年代前期在我国曾广为流行的苏联的数学分析教材是斯米尔诺夫，菲赫金哥尔茨与辛钦等写的书．
(1) 1960年左右，在莫斯科大学讲授数学分析课的希洛夫著有“数学分析I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ”，其中“数学分析I和Ⅱ”的内容和斯米尔诺夫等的书差不多，“数学分析Ⅲ”用Riesz-Daniell的方法讲积分与测度，还介绍了一些Hilbert空间的知识．“数学分析Ⅳ”介绍了广义函数及其在常系数偏微分方程中的应用．
(2) 上世纪六十年代末尼科尔斯基编著的“数学分析教程I，II”(在前苏联的数学分析教材中)第一次用微分形式讲授多元微积分．
(3) 上世纪七十年代末在莫斯科大学讲授数学分析课的卓里奇编著的“数学分析I，Ⅱ”比较全面地改革数学分析的教学内容．它含有点集拓扑，无穷维赋范线性空间上的微分学(含变分法初步)，微分流形及微分形式，广义函数，积分的渐近理论等(在前苏联的数学分析教材中)从未涉及的内容．
(4) 上世纪八十年代初在基辅出版了李亚史科等编著的“数学分析I，Ⅱ”，所包含的内容与卓里奇编著的“数学分析I，Ⅱ”基本相同，但还包含了Lebesgue积分理论．
再往后的俄罗斯与乌克兰的数学分析教材我无法找到．
二、美国的数学分析教材
(1) 上世纪五十年代，H．Nickerson，D．Spencer和N．Steenrod三人合作编写的在Princeton大学的讲义“Advanced Calculus”也许是用微分形式的语言讲授多元微积分的最早的教材．它只以讲义的形式流传，从未以书的形式出版．
(2) 上世纪六十年代，L．H．Loomis和S．Steinberg在Harvard大学的讲义“Advanced Calculus”详细地介绍了点集拓扑，重线性代数，微分流形和微分流形上的微积分．
(3) 上世纪在Brown大学讲授数学分析课的A．Browder编著的“Mathematical Analysis，An Introduction”在不大的篇幅中比较均衡地介绍了点集拓扑，重线性代数，测度和积分，微分流形和微分流形上的微积分等内容．
(4) 本世纪初出版的University of California at Berkeley的C．C．Pugh编著的“Real Mathematical Analysis”的内容与Browder编著的“Mathematical Analysis，An Introduction”相仿．
三、德国与瑞士的数学分析教材
(1) 上世纪六十年代，哥廷根大学的H．Grauert，I．Lieb和W．Fischer三人合作编写的“Differential und Integralrechnung，I，Ⅱ，Ⅲ”紧凑地用近代的语言介绍微积分．该书只用一小节介绍了一元Riemann积分及Riemann可积性的充分必要条件．第Ⅲ册前半本介绍了高维欧氏空间的积分，后半本介绍了Grassmann代数，微分形式和Stokes定理等．
(2) 上世纪七十年代末德国Karlsruhe大学的H．Heuser的“Lehrbuchder Analysis，I，Ⅱ”详细地介绍了数学分析的理论及其应用．包含的内容有：点集拓扑，Banach空间和Banach代数，Lebesgue积分，Brouwer不动点和Schauder不动点，复分析初步等．因篇幅巨大(两册共有1300余页)，全书有许多例题及应用．
(3) 上世纪末到本世纪初(1998—2001)出版的三卷“Analysis，I，Ⅱ，Ⅲ”是瑞士Zürich大学的H．Amann和德国Hannoyer大学的J．Escher分别在瑞士和德国多所大学的讲授数学分析的结果．三卷共占1300余页．选材较Heuser的分析教程更为均衡．除了详细介绍了传统微积分的内容外，它很严格地介绍了流形，微分形式和流形上的微积分．还很严格地介绍了一般的测度与积分理论．作为平面上曲线积分的应用相当充分地介绍了全纯函数与半纯函数的理论．作者在序言中说，这三卷分析既可作为教学用的教材，也可作为自学教材．
四、法国的数学分析教材
(1) 上世纪八十年代出版的A．Avez的“Calcul Differentiel”是作者按居里夫妇大学的课程委员会制定的微分学教学大纲的最低要求编写的．这个最低要求包含：导数概念，Cr和C∞类；二阶导数的对称性；多元Taylor公式；隐函数定理；常微分方程的解的存在与唯一，解对初值与参数的连续依赖．作者写得极为简练．
(2) 上世纪末出版的R．Godement的四卷本的“Analyse Mathématique，I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ”是非常有特色的数学分析教材．作者力图向读者介绍“数学分析是什么?它是怎样发展成这样的?”所以书中有许多有趣的历史故事．第一卷介绍集合，收敛等概念．第二卷介绍微积分时便涉及Schwartz广义函数和Lebesgue积分等概念，又介绍了渐近分析(主要是Euler—Maclaurin求和公式)，最后把调和分析与全纯函数结合起来介绍．第三和第四卷介绍微分流形和Riemann面，一般的积分理论，Hilbert空间及抽象调和分析．在法语的数学分析文献中，H．Caftan的“Cours de Calcul Differentiel”是起到重要影响的一本．可惜我未能查到．当然还有许多重要的数学分析教材，在我能查到的材料中，例如，波兰数学家K．Maurin的“Analysis，I，Ⅱ”和菏兰数学家J．J．Duistermaat与J．A．C．Kolk的“Multidimensinal RealAnalysis，I，Ⅱ”等都各有各的特色．我想比我了解更多的数学分析教师将会举出更多的材料．仅从以上所举的材料可知，在世界各国的较好的大学中数学分析的教学内容已较半世纪前有了很大变化：例如用微分形式介绍多元微积分似乎已是不可逆转的趋势．又如把测度与积分理论放进数学分析的教学内容已为愈来愈多的较好的大学所采纳．虽然，不同的大学所作的改变不全相同，但是将数学分析教学内容分散到许多小课中使其支离破碎的状况正在缓慢的改变中．
事实上，早在半个世纪前，法国数学家J．Dieudonné在他的《现代分析基础》中就已说过：
盲目地遵从一元函数的导数是个数这一陈旧的解释，在多元微分学中将不得不付出代价．
J．Dieudonné接着说，
无疑地，由于它(微分形式)的抽象性，以及我们不得不离开原有的空间而进入越来越复杂的函数空间，和比较舒适的学习微积分传统的表述相比，学习微积分的内蕴表述将要求同学们付出大得多的脑力劳动，不过，这是值得的，因为它将铺平进入微分流形学习的道路．
J．Dieudonné也还说过如下的话：
假若不是由于Riemann显赫的名声，Riemann积分早就被淘汰了．
之所以在半个世纪中数学分析教学内容的改变如此缓慢，当然有它的客观原因．阻滞数学分析教学内容改变的原因短时间内很难有大幅度的变化，因而数学分析教学内容的改变今后仍然将是缓慢而局部的．由于数学和数学应用的发展将以很高的速度进行下去，对今后攻读数学的学生的要求将会愈来愈高，数学分析教学内容的改变，虽很缓慢，但将不依人们的意志为转移地继续进行下去．无论如何，极难想象的是，在已经开始改变的好的或较好的大学中这种数学分析教学内容缓慢改变的趋势会突然来个逆转．
十九世纪伟大的英国物理学家J．C．Maxwell在给Tait著的“热力学”一书的书评中写下的下面的话也许对于我们面临的数学分析教学内容的改革也值得借鉴：
在通俗读物中，任何科学知识都可以见到，但总是以一种十分粗略而含混的形式展现出来．当然，这是基于这样的希望：将科学概念用大量的通俗语言稀释后，那些无法接受复杂概念的读者也会被科学词汇的填饱而心满意足。这样，通过粗糙的阅读，学生可以不费思索地占有许多科学述语．这种传授知识的方法给学生造成的伤害，只有当他(她)不得不放弃学习一门本来可以很好地学下去的科学时才会显示出来．
专业著述给人造成的伤害要小得多，因为人们只在必要时才会认真阅读它．在那里，从基本方程的建立到书的结尾，每一页都布满了带有上标和下标的符号，没有一段易懂的英语可以让读者喘口气的．
在数学分析教学中我学到的另一点想法是，数学分析的发展是与它的应用(特别是在物理学中的应用)的发展密不可分的．
1972年，美国物理学家Freeman Dyson在美国数学学会的年会上应邀作了题为“错失的机遇”的Josiah willard Gibbs讲演(Josiah WilIard Gibbs讲演是每次美国数学学会的年会上最受人注目的讲演，它总是邀请在数学或数学以外某领域有卓越贡献的学者展望他所熟悉的领域未来可能的发展)．他的讲演中的下面这一段话给我留下了深刻印象：
在1687年Newton发表他的引力动力学的定律以后，十八世纪的数学家抓住了这些定律，并耙它们发展成分析动力学的深刻的数学理论．通过Euler，Lagrange和Hamilton的工作，Newton的方程组得到了精辟的分析和理解．在对Newton物理的深入探讨中，新的纯数学分支诞生了．为了研究力学的极值原理，Lagrange提炼出了变分法．在Euler关于测地运动的工作发表五十年后，Gauss的微分几何诞生了．动力学的Hamihon-Jacobi表述导致Sophus Lie建立了Lie群理论．Newton物理给纯数学的最后一个礼物是Poincaré对运动轨道定性理论的研究催生了近代拓扑学。
遗憾的是十九世纪的数学家错失了1865年Maxwell给他们提供的机遇．假若能像Euler对待Newton力学方程组那样专心致志地研究Maxwell方程组的话，他们也许在十九世纪已经发现了狭义相对论，拓扑群及其线性表示理论，或者还有双曲型微分方程组及泛函分析的很大一部分．只要深入研究由Maxwell方程组可能引出的数学概念，相当一部分二十世纪的物理学和数学也许已经在十九世纪诞生了．
五、我在教学中查到的以下文献是十分强调数学与物理的联系的
(1) 1974—1979前民主德国数学家H．Triebel在Friedrich—Schiller大学对同一个班级(跟班)连教五年，讲授的内容是数学分析和它在物理中的应用．1981年出版了“Analysis und mathematische Physik”一书，这是H．Triebel五年教学内容的详细大纲，包含了全部讲授的定义，定理，注解，只不过没有定理的证明．它的数学内容有：一元微积分，多元微积分，常微分方程理论，变分法，测度与积分的理论，复分析，三维空间的曲线与曲面，Banach空间与Hilbert空间，Banach空间上的紧算子，Riesz-Schauder理论，Fredholm积分方程，Hilbert空问上的自伴算子的谱理论，广义函数及其Fourier变换，正交级数及正交多项式，Laplace-Poisson方程，波方程，热传导方程的分离变量法，偏微分方程的基本解，微分流形，微分形式，流形上的微积分，流形上的广义函数，奇点理论等．它的物理内容有：经典力学原理，平面流的流体力学，经典场论，电动力学的Maxwell方程组，时空的Lorentz群，狭义相对论，量子力学原理(包括，Hilbert空间模型，量子力学的统计解释，氢原子等)，广义相对论(包括极值原理，运动方程，Sehwarzschild解，奇异流形，黑洞，宇宙等)，突变理论在物理中的应用等．
(2) D．M．Bressoud：“Second Year Calculus．From Celestial Mechanics to Special Relativity”是作者在Pennsylvania州立大学的讲义．作者在FreemanDyson的鼓励下写成了这本多元微积分．它的数学内容并不深，但是它与力学，电动力学及狭义相对论结合在一起讲．使得数学与物理的相互影响历历在目．
(3)P．Bamberg and S．Sternberg：“A Coursein Mathematics：for Students of Physics”是两位作者于上世纪八十年代在Harvard大学给物理系学生讲的数学课的讲义．它以微分形式的语言讲述多元微积分．虽然有时它并不拘泥于形式逻辑的严谨，但是它包含的内容相当丰富，例如上同调及下同调理论，Clifford代数，Hodge星算子等．在物理内容方面，它有用微分形式的语言表述静电场，静磁场和Maxwell的电磁理论，热力学等．这是一本极佳的将数学与物理结合起来讲的教科书．虽然它是为学物理的学生写的，对于学数学的学生也具有极高的可读性．
(4)Göttingen大学的H．Grauert，I．Lieb和W．Fischer三人合作编写的“Differential — und Integralrechnung”的第三册的最后用微分形式的语言介绍了电磁理论及狭义相对论．
(5) 波兰数学家K．Maurin的“Analysis”的第二册的“张量分析”这一章中也用微分形式的语言介绍了电磁理论及狭义相对论．
数学发展的途径多种多样．有从大量的已有的数学内容中综合，分析而提炼出新的数学的路．Bourbaki写的“分析的基本结构”也许就是一例．自从Galois为了研究五次方程的根能否被系数通过加减乘除和开方等运算表示的问题而引进群的概念后，人们认为做难题是发现新数学的一条道路．努力攻克难题在数学界已成为时尚．一个也许更古老的途径就是从现实世界中，例如物理及力学中，寻觅数学发展的源泉．生于十六世纪卒于十七世纪的伟大的意大利科学家Galilei Galileo说过：
大自然这部巨著是用数学的语言写成的．
十七世纪前半叶的法国科学家Blaise Pascal也说过：
与大自然提供的素材的广度与深度相比，人类的想象力常显得那样苍白．
Galilei Galileo和Blaise Pascal的这两句话也许代表文艺复兴时代近代科学刚刚起步时的科学家朴素的思维．上面举到的Triebel等在教学中的努力也许就是想让年轻的攻读数学的学生不要忘却这个朴素的思维．当然这不是那样容易成功的．这需要很多其它工作的配合，而且这种成功的到来有时需要耐心地等待好几代．
本文摘自《高等数学研究》2010年13期
