贝塞尔问题

巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，欧拉一解出这个问题马上就出名了，当时他二十八岁。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和，也就是以下级数的和： 

 这个级数的和大约等于1.644934（OEIS中的数列A013661）。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，并证明它是正确的。欧拉发现准确值是，并在1735年公布。他的证明还不是十分严密，真正严密的证明在1741年给出。

欧拉最初推导的方法是聪明和新颖的。他把有限多项式的观察推广到无穷级数，并假设相同的性质对于无穷级数也是成立的。当然，欧拉的想法不是严密的，还需要进一步证明，但他计算了级数的部分和后发现，级数真的趋于π^/6,不多不少。这给了他足够的自信心，把这个结果公诸于众。欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始： 

 两边除以x，得： 

 现在，的根出现在，其中我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积，就像把多项式因式分解一样： 

 如果把这个乘积展开，并把所有的项收集在一起，我们可以看到， sinx/x的二次项系数为： 

 但从sinx/x原先的级数展开式中可以看出，x^2的系数是。这两个系数一定是相等的；因此， 

 等式两边乘以-π^2就可以得出所有平方数的倒数之和。 

证毕。