拉马努金问题解答

证明
\begin{align*}\int_0^{ + \infty } {\frac{{\sin nx}}{{x + \frac{1}{{x + \frac{2}{{x + \frac{3}{{x + \cdots }}}}}}}}dx} &= \frac{{\sqrt {\frac{\pi }{2}} }}{{n + \frac{1}{{n + \frac{2}{{n + \frac{3}{{n + \cdots }}}}}}}}\\
\int_0^{ + \infty } {\frac{{\sin \frac{{n\pi x}}{2}}}{{x + \frac{{{1^2}}}{{x + \frac{{{2^2}}}{{x + \frac{{{3^2}}}{{x + \cdots }}}}}}}}dx} &= \frac{1}{{n + \frac{{{1^2}}}{{n + \frac{{{2^2}}}{{n + \frac{{{3^2}}}{{n + \cdots }}}}}}}}.\end{align*}

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证.对于第一个,利用
\[\frac{1}{{x + \frac{1}{{x + \frac{2}{{x + \ldots }}}}}} = {e^{{x^2}/2}}\int_x^\infty {{e^{ - {t^2}/2}}dt} .\]
接下来只需证明
\[\int_0^{ + \infty } {\sin nx \cdot {e^{{x^2}/2}}dx} \int_x^\infty {{e^{ - {t^2}/2}}dt} = \sqrt {\frac{\pi }{2}} \cdot {e^{{n^2}/2}}\int_n^\infty {{e^{ - {t^2}/2}}dt} .\]

第二个得利用
\[\frac{1}{{x + \frac{{{1^2}}}{{x + \frac{{{2^2}}}{{x + \frac{{{3^2}}}{{x + \cdots }}}}}}}} = 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}}}{{x + 2n - 1}}} = 2\int_0^1 {\frac{{{t^x}}}{{1 + {t^2}}}dt} .\]
这是Ramanujan's Notebooks II (Brendt)连分数章节29目里的一个推论(见P149).

利用两次分部积分可知
$$
\int{e^{-ax}\cos \left( bx \right) dx}=\frac{e^{-ax}\left[ b\sin \left( bx \right) -a\cos \left( bx \right) \right]}{a^2+b^2}+C,
$$
因此
$$
\int_0^{\infty}{e^{-ax}\cos \left( bx \right) dx}=\frac{a}{a^2+b^2},\quad \int_0^{\infty}{e^{-ax}\sin \left( bx \right) dx}=\frac{b}{a^2+b^2},
$$
其中$a>0$.取$a=-\ln t,b=n\pi/2$,我们有
$$
\int_0^{\infty}{t^x\sin \frac{n\pi x}{2}dx}=\frac{n\pi /2}{\ln ^2t+\left( \frac{n\pi}{2} \right) ^2}=\frac{2n\pi}{4\ln ^2t+n^2\pi ^2},\quad 0<t<1
$$

接下来只需证明
$$
\int_0^1{\frac{2n\pi}{\left( 1+t^2 \right) \left( n^2\pi ^2+4\ln ^2t \right)}dt}=\int_0^1{\frac{t^n}{1+t^2}dt}.
$$

苏格拉斯宁死不走，欧阳修《晏元献公挽辞》认为晏殊“富贵优游五十年,始终明哲保身全。”