竞赛讲义
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\part{高中数学联赛一试}
\chapter{不等式}
\section{均值不等式}
\begin{Theorem}{二元均值不等式链}{eryuanjunzhi}
设$a,b\in\mathbf{R}^+$,则$\sqrt\frac{a^2+b^2}2\geqslant \frac{a+b}2\geqslant\sqrt{ab}
\geqslant\frac2{\frac1a+\frac1b}$
当且仅当$a=b$时等号成立.
\end{Theorem}
\begin{Remark}{}{}
其中$\sqrt {\frac {a^{2}+ b^{2}}2}$, $\frac {a+ b}2$, $\sqrt {ab}$, $\frac 2{\frac 1a+ \frac 1b}$分别称为$a$与$b$的平方平均 值、算术平均值、几何平均值、调和平均值.
\end{Remark}
\begin{Remark}{}{}
如图所示, $AB$为$\odot O$的直径, $OE\perp AB$, $D$在弧$EB$上,且满足$DC\perp AB$, $CG\perp OD$.令$AC= a$, $BC=b$,则$EC= \sqrt {\frac {a^{2}+ b^{2}}2}$, $OE=OD=\frac {a+ b}2$, $CD= \sqrt {ab}$, $DG=\frac 2{\frac 1a+ \frac 1b}$,因而$\sqrt\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}
\geqslant\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$,
当且仅当$a=b$时等号成立.
\end{Remark}
\begin{Theorem}{$n$元均值不等式}{nyuanjunzhi}
设$a_i\in\mathbf{R}^+\ \left(i=1,2,\cdots,n\right)$,则
$$\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}\geqslant
\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geqslant
\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\geqslant\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots
+\frac{1}{a_n}},$$
当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立.
\end{Theorem}
\begin{Example}{2020年四川预赛}{}
已知正实数$x,y$满足$\frac1{x+3y}+\frac1{2x+y}=1$,则$x+y$的最小值是\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2020年福建预赛}{}
已知$a,b,c,d$为正数,且$a+20b=c+20d=2$,则$\frac1a+\frac1{bcd}$的最小值为\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2020年广西预赛}{}
设$\theta_1,\theta_2$为锐角,且$\frac\sin{2020}\theta_{1}{\cos^{2018}\theta_{2}}+\frac{\cos^{2020}\theta_{1}}
{\sin^{2018}\theta_{2}}=1$,则$\theta_1+\theta_2=$
\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2019年广西预赛}{}
已知 $xyz+y+z=12$,则$\log_4x+\log_2y+\log_2z$的最大值为\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2019年上海高三数学竞赛}{}
已知$x,y\in[0,+\infty)$,则$x^3+y^3-5xy$的最小值为\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2023年吉林预赛}{}
若不等式$ab+b^2+c^2\geqslant\lambda(a+b)c$对任意满足$b+c\geqslant a$的正实数$a,b,c$均成立,则实数$\lambda$的最大值为\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
由题意 $b+c\geqslant a$,则
\begin{align*}
&\frac{ab+b^{2}+c^{2}}{(a+b)c}=\frac{c}{a+b}+\frac{b}{c}
=\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{c}-1\\
&\geqslant \frac c{a+ b}+ \frac {a+ b+ c}{2c}- 1
= \frac c{a+ b}+ \frac {a+ b}{2c}- \frac 12\\
&\geqslant 2\sqrt{\frac{c}{a+b}\cdot\frac{a+b}{2c}}-\frac{1}{2}
= \sqrt {2}- \frac 12,
\end{align*}
当$b+c=a$且$\frac c{a+b}=\frac{a+b}{2c}$,即$a= \frac {\sqrt {2}+ 1}2c$, $b=\frac {\sqrt {2}- 1}2c$, $c>0$时取等号;
故$\frac{ab+b^{2}+c^{2}}{(a+b)c}$的最小值为$\sqrt2-\frac12$,即实数$\lambda$的最大值为$\sqrt2-\frac12$.
\end{proof}
\begin{Example}{2018年四川预赛}{}
设$x,y,z$为正实数,求
$\left(x+\frac{1}{y}+\sqrt{2}\right)
\left(y+\frac{1}{z}+\sqrt{2}\right)
\left(z+\frac{1}{x}+\sqrt{2}\right)$的最小值.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2017 年新疆预赛}{}
已知正数$x,y,z$满足$x+y+z=1$.求证:对任
意正整数,有$x^n+ y^n+ z^n\geqslant \frac 1{3^{n- 1}}$.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2019年四川预赛}{}
设$a,b,c\in (0,1]$, $\lambda$为实数,使得
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+b+c}}\geqslant 1+\lambda\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)$恒成立,求$\lambda$的最大值.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
%https://mp.weixin.qq.com/s/4djZSrcguXC7xIRqDX45MA
\begin{Example}{2023年北京预赛}{}
已知$x$是一个锐角,那么$\frac8{\sin x}+\frac1{\cos x}$的最小值为\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
\textbf{解法 1.}因为$x$是一个锐角,所以$\sin x>0$, $\cos x>0$.
\begin{align*}
&\frac{8}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{2}{\sin x}+\frac{2}{\sin x}+\frac{2}{\sin x}+\frac{2}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\\
&\geqslant 5\sqrt[5]{\frac{16}{\sin ^4x}\times \frac{1}{\cos x}}=5\sqrt[5]{\frac{32}{\sqrt{\sin ^2x\cdot \sin ^2x\cdot \sin ^2x\cdot \sin ^2x\cdot 4\cos ^2x}}}\\
&\geqslant 10\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt{\left( \frac{\sin ^2x+\sin ^2x+\sin ^2x+\sin ^2x+4\cos ^2x}{5} \right) ^5}}}=5\sqrt{5}.
\end{align*}
当且仅当$\frac2{\sin x}=\frac1{\cos x}$, 且$\sin^2x=4\cos^2x$,
即$\sin x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos x=\frac{\sqrt{5}}{5}$时, $\frac8{\sin x}+\frac1{\cos x}$的最小值为$5\sqrt{5}$.
\textbf{解法 2.}由柯西不等式,得
$$\left(\frac{8}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\right)\left(2\sin x+\cos x\right)\geqslant 25.$$
$$\frac{8}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\geqslant \frac{25}{2\sin x+\cos x}=\frac{25}{\sqrt{5}\sin\left(x+\theta\right)}\geqslant 5\sqrt{5}.$$
当$\sin x=\frac2{\sqrt5},\cos x=\frac1{\sqrt5}$时取等号成立.
故所求最小值为$5\sqrt {5}$.
\textbf{解 法 3.} 设$m= \frac 8{\sin x}$, $n= \frac 1{\cos x}$,则 $\sin x=\frac 8m$, $\cos x=\frac1n$.故$\frac64{m^2}+\frac1{n^2}=1$.
由权方和不等式,得
$$1=\frac{64}{m^2}+\frac{1}{n^2}
=\frac{4^3}{m^2}+\frac{1^3}{n^2}\geqslant \frac{\left(4+1\right)^3}{\left(m+n\right)^2}.$$
故 $m+n\geqslant5\sqrt{5}$.
\end{proof}
\begin{Example}{2023年福建预赛}{}
若不等式$\frac1{\sqrt{20a+23b}}+\frac1{\sqrt{23a+20b}}
\geqslant\frac\lambda{\sqrt{a+b}}$对所有的正数$a,b$都成立,求$\lambda$的最大值.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2023年东莞预赛}{}
己知正数$a,b,c,d$满足$a+b+c+d=1$,求$M=\sqrt{a^2+\frac1{8a}}
+\sqrt{b^2+\frac1{8b}}+\sqrt{c^2+\frac1{8c}}
+\sqrt{d^2+\frac1{8d}}$的最小值.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2023年重庆预赛}{}
设$x,y,z\geqslant 0$,且$x+y+z=2$,证明: $3x+8xy+16xyz\leqslant 12$,并指出其中“$=$”成立的条件.
\end{Example}
\begin{proof}
由二元均值不等式
\begin{align*}
&3x+8xy+16xyz=3x+8xy(1+2z)\\
&=3x+4x(2y) (1+2z)\leqslant 3x+4x\left(\frac{2y+1+2z}2\right)^2\\
&=3x+4x\left(\frac{1+2(2-x)}2\right)^2
=4x^3-20x^2+28x.
\end{align*}
只需证$4x^3-20x^2+28x\leqslant 12$,
这等价于$4(3-x)(x-1)^2\geqslant 0$.
取等为$x=1$, $2y=1+2z$,解得 $x=1,y=\frac{3}{4},z=\frac{1}{4}$.
\end{proof}
\begin{Example}{2023年重庆预赛}{}
已知复数$z$满足$|z|=1$,则$|z^3+z^2-5z+3|$的最大值为\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
$z=x+y\mathrm{i}\ (x,y\in R)$, $x^2+y^2=1$,从而有
\begin{align*}
u&=\left|z^3+z^2-5z+3\right|=\left|(z-1)(z^2+2z-3)\right|
=\left|(z-1)^2(z+3)\right| \\
&=|z-1|\cdot|z-1|\cdot|z+3|
=\sqrt{\left(x-1\right)^{2}+y^{2}}\cdot
\sqrt{\left(x-1\right)^{2}+y^{2}}\cdot
\sqrt{\left(x+3\right)^{2}+y^{2}} \\
&=\sqrt{2-2x}\cdot\sqrt{2-2x}\cdot\sqrt{10+6x}
=\frac{2}{3}\sqrt{3-3x}\cdot\sqrt{3-3x}\cdot\sqrt{10+6x} \\
&\leqslant\frac{2}{3}\sqrt{\left(\frac{3-3x+3-3x+10+6x}{3}
\right)^{3}}=\frac{128\sqrt{3}}{27},
\end{align*}
当且仅当$x=-\frac{7}{9}$时取等.
\end{proof}
\section{柯西不等式}
\begin{Example}{2023年江西预赛}{}
设$a\geqslant c,b\geqslant c,c>0$.证明: $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leqslant \sqrt{ab}$,并确定等号成立的条件.
\end{Example}
\begin{proof}
$\sqrt {c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}=\sqrt{c}\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}\sqrt{c}
\leqslant\sqrt{[c+(a-c)]\cdot[(b-c)+c]}=\sqrt{ab}$,
等号成立时有$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a-c}}=\frac{\sqrt{b-c}}{\sqrt{c}}\Leftrightarrow ab=c(a+b)$.
\end{proof}
\begin{Example}{2023年江西预赛}{}
若锐角$A,B,C$满足$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2$,
则$\frac1{\sin^2A\cos^4B}+\frac1{\sin^2B\cos^4C}
+\frac1{\sin^2C\cos^4A}$的最小值是\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
由
\begin{align*}
&\frac{1}{\sin ^2A\cos ^4B}+\frac{1}{\sin ^2B\cos ^4C}+\frac{1}{\sin ^2C\cos ^4A}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin ^2A\cos ^4B}+\frac{1}{\sin ^2B\cos ^4C}+\frac{1}{\sin ^2C\cos ^4A} \right) \left( \sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C \right)\\
&\geqslant \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\cos ^2B}+\frac{1}{\cos ^2C}+\frac{1}{\cos ^2A} \right) ^2\\
&=\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{1}{\cos ^2A}+\frac{1}{\cos ^2B}+\frac{1}{\cos ^2C} \right) \left( \cos ^2A+\cos ^2B+\cos ^2C \right) \right] ^2\\
&\geqslant \frac{81}{2},
\end{align*}
当$\sin^2A=\sin^2B=\sin^2C=\frac{2}{3},\cos^2A=\cos^2B=\cos^2C=\frac{1}{3}$时,等号成立,即
$$\frac{1}{\sin^{2}A\cos^{4}B}
+\frac{1}{\sin^{2}B\cos^{4}C}
+\frac{1}{\sin^{2}C\cos^{4}A}=\frac{27}{2}\cdot3=\frac{81}{2}.$$
\end{proof}
\begin{Example}{2022年重庆预赛}{}
若不等式$\sqrt x+\sqrt y\leqslant k\sqrt{5x+y}$对任意正实数$x,y$都成立,则实数$k$的最小值为\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
由柯西不等式可知
$$\sqrt{5x+y}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2}
{\frac15}+\frac{\left(\sqrt{y}\right)^2}1}
\geqslant\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{\frac15+1}}
\Rightarrow\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{5x+y}}
\leqslant\frac{\sqrt{30}}5,$$
则$k$的最小值为$\frac{\sqrt{30}}5$.
\end{proof}
\begin{Example}{2004年女子竞赛}{}
一副三色牌,共有纸牌$32$张,其中红黄蓝每种颜色的牌各$10$张,编号分别是$1, 2,\cdots, 10$;另有大小王牌各一张,编号均为$0$.从这副牌中任取若干张牌,然后按如下规则计算分值: 每张编号为$k$的牌计为$2^k$分,若它们的分值之和为$2004$,就称这些牌为一个“好”牌组.
试求“好”牌组的个数. (陶平生供题)
\end{Example}
\begin{proof}
\textbf{解法一.}称原题为“两王问题”,若增加一张王牌(称为“中王”),编号也为$0$,再考虑同样的问题,则称为“三王问题”.
先考虑“三王问题”.将大中小三张王牌分别称为红王,黄王和蓝王,于是每种颜色的牌都是$11$张,编号则都分别是 $0,1,2,\cdots,10$.将分值之和为$n$的牌组数目记作$u_n$,每一个牌组都可能由红组,黄组和蓝组组成.将其中红组,黄组和蓝组的分值之和分别记为$x$, $y$ 和$z$,则有 $x+y+z=n$.由于任一非负整数的二进制表示方法唯一,所以一旦$x,y,z$的值确定之后,红组,黄组和蓝组的构成情况便唯一确定.我们知道方程$x+y+z=n$的非负整数解的组数等于$C_{n+2}^2$,所以$u_n=C_{n+2}^2=\frac{(n+1)(n+2)}2$.
(1)现考虑原题中的“二王问题”.对于$n\in\{1,2,\cdots,2004\}$,用$a_n$表示分值之和为$n$的牌组数目.当$n=2k\leqslant 2004$ 时,对于分值之和为$2k$的任一牌组,我们有: (i)若组内无王牌,则该牌组就是“三王问题”中的一个分值之和为$2k$的无王牌的牌组.如果将其中每张牌的分值都除以 $2$,就得到“三王问题”中的一个分值之和为$k$的且允许包括有王牌的牌组.易见,这种对应是一一的,所以这种牌组的数目为$u_k$.
(ii)若组内有王牌,则组内必有$2$张王牌 (大小王牌都在组内).去掉王牌后,就化归成为分值之和为$2k-2$的无王牌的牌组,从而这种牌组的数目为$u_{k-1}$.所以
$$a_ {2k}=u_{k}+u_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}+\frac{k(k+1)}{2}
=(k+1)^{2},k=1,2,\cdots,1002.$$
特别地,所求的“好”牌组的个数为 $a_{2004}=1003^{2}=1006009$.
\textbf{解法二(母函数方法).}对于$n\in\{1,2,\cdots,2004\}$,用$a_n$ 表示分值之和为$n$的牌组数目,则$a_n$等于函数
$$f(x)=(1+x^{2^0})^2(1+x^{2^1})^3\cdots(1+x^{2^{10}})^3$$
的展开式中$x^n$的系数(约定$|x|<1$).由于
\begin{align*}
f(x)&=\frac{1}{1+x}\{(1+x^{2^{0}})(1+x^{2^{1}})
(1+x^{2^{2}})\cdots(1+x^{2^{10}})\}^{3}\\
&=\frac{1}{(1+x)(1-x)^{3}}(1-x^{2^{11}})^{3}\\
&=\frac{1}{(1-x^{2})(1-x)^{2}}(1-x^{2^{11}})^{3},
\end{align*}
而$n\leqslant 2004<2^{11}$,所以$a_n$等于$\frac1{(1-x^{2})(1-x)^{2}}$的展开式中$x^n$的系数.由于
\begin{align*}
\frac{1}{(1-x^{2})(1-x)^{2}}
&=\frac{1}{1-x^{2}}\cdot\frac{1}{(1-x)^{2}}\\
&=(1+x^{2}+x^{4}+\cdots+x^{2k}+\cdots)\\
&(1+2x+3x^2+\cdots+(2k+1)x^{2k}+\cdots),
\end{align*}
故知$x^{2k}$的系数为
$$a_{2k}=1+3+5+\cdots+(2k+1)=(k+1)^2,\quad k=1,2,\cdots.$$
从而,所求的“好”牌组的个数为
$$a_{2004}=1003^2=1006009.$$
\end{proof}
\begin{Example}{2004年女子竞赛}{}
设为$a,b,c$正实数,求$\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$最小值.
\end{Example}
\begin{proof}
最小值为$-12+12\sqrt{2}$.
令$\begin{cases}
x=a+2b+c,\\
y=a+b+2c,\\
z=a+b+3c\end{cases}$,
则有$x-y=b,z-y=c$,
由此可得$\begin{cases}
a+3c=2y-x\\
b=z+x-2y\\
c=z-y\end{cases}$,
从而$\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}
=\frac{2y-x}{x}+\frac{4(z+x-2y)}{y}-\frac{8(z-y)}{z}
=-17+2\frac{y}{x}+4\frac{x}{y}+4\frac{z}{y}
+8\frac{y}{z}\geqslant -17+2\sqrt{8}+2\sqrt{32}=-17+12\sqrt{2}$.
上式中的等号可以成立.事实上,由上述推导过程知,等号成立,当且仅当平均值不等式中的等号成立,而这等价于
$\begin{cases}2\frac{y}{x}=4\frac{x}{y}\\
4\frac{z}{y}=8\frac{y}{z}
\end{cases}$,即
$\begin{cases}y^2=2x^2\\
z^2=2y^2\end{cases}$,即
$\begin{cases}y=\sqrt{2}x\\
z=2x\end{cases}$.
亦即$\begin{cases}
a+b+2c=\sqrt{2}(a+2b+c)\\
a+b+3c=2(a+2b+c)\end{cases}$,解该不定方程,
得到$\begin{cases}b=(1+\sqrt{2})a\\
c=(4+3\sqrt{2})a\end{cases}$.
不难算出,对任何正实数$a$,只要$b=(1+\sqrt{2})a,c=(4+3\sqrt{2})a$,就都有
$$\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}
-\frac{8c}{a+b+3c}=17+12\sqrt{2},$$
所以所求的最小值为$-17+12\sqrt{2}$.
\end{proof}
走向IMO8 美国数学奥林匹克
走向IMO9 罗马尼亚大师杯数学奥林匹克
趣味代数学(5版)
\begin{Example}{2020年四川预赛}{}
1\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2020年四川预赛}{}
1\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{Example}{2020年四川预赛}{}
1\underline{\hspace{2cm}}.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\chapter{解析几何}
\section{数列不等式}
\begin{Example}{(2023年阿里巴巴数学竞赛决赛,分析与方程赛道,第1题)}{}
考虑序列$a_{n+1}=a_n+ \frac{a_n^2}{n^2}$, $a_1= \frac 25$.
证明对所有正整数$n$都有$a_n<1$.
\end{Example}
\begin{proof}
由题意知:
$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n+\frac{a_n^2}{n^2}}
=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_n+n^2},$$
由于
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{a_i+i^2}} &=\frac{1}{a_1+1^2}+\sum_{i=2}^{n-1}{\frac{1}{a_i+i^2}}\\ &<\frac{5}{7}+\sum_{i=2}^{n-1}{\frac{1}{i^2}}
<\frac{5}{7}+\sum_{i=2}^{n-1}{\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}}}\\
&=\frac{5}{7}+2\sum_{i=2}^{n-1}{\left( \frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i+1} \right)}<\frac{5}{7}+\frac{2}{3}\\
&=\frac{29}{21}<\frac{3}{2},
\end{align*}
于是对$n\geqslant 3$,成立
\begin{align*} \frac{1}{a_n} &=\frac{1}{a_1}-\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{a_i+i^2}}
=\frac{5}{2}-\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{a_i+i^2}}\\
&>\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1,
\end{align*}
即$a_{n}<1,n\geqslant 3$,而$a_{1}=\frac{2}{5}<1$, $a_2=a_1+\frac{a_{1}^{2}}{1^2}=\frac{2}{5}+\frac{4}{25}
<\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$,得证.
\end{proof}
%注:
\begin{Remark}{}{}
也可以归纳证明: $a_n<1-\frac1n$.
\end{Remark}
%\begin{Remark}{}
%123
%\end{Remark}
下面是两道类似题:
\begin{Example}{(2001年西部数学奥林匹克,第1题)}{}
设数列$\{x_n\}$满足$x_1= \frac 12$, $x_{n+ 1}= x_{n}+ \frac {x_{n}^{2}}{n^{2}}$, $n> 1$.求证: $x_{2001}<1000$.
\end{Example}
\begin{Remark}{}{}
本题可加强到$x_n<\frac32$.
\end{Remark}
\begin{Example}{(2012年西部数学奥林匹克 第6题)}{}
设数列$\{a_n\}$满足$a_0=\frac12$, $a_ {n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{2012},n\geqslant 0$.
求所有的整数$k$,使得$a_k<1<a_{k+1}$.
\end{Example}
\begin{Example}{2024年阿里巴巴数学竞赛决赛}{}
假设$M$和$Q$是给定的正的常数.定义函数
$$f(r)=1-\frac{M}{r^2}+\frac{Q}{r^4}-r^2,\quad r>0.$$
如果$f$有三个不同的正根$r_c>r_+>r_->0$,证明$f'(r_+)+f'(r_-)<0$.
\end{Example}
\begin{proof}
123
\end{proof}
Hadarmad不等式
\section{各高校联合暑期夏令营竞赛题}
师大，中科大，川大，大连理工，西南,东北师范联合暑期夏令营竞赛题第二天试题.
六校联合夏令营
2024年8月9日:微积分 Part1
注: 1-4题每题 10分, 5-8题每题 15 分
1.设$x_{1}=\sqrt{5},x_{n+1}=x_{n}^{2}-2$,
则$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{x_{n+1}}=$\underline{\hspace{2cm}}.
2.设$A_{n}(x)=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots
+\sqrt{2+\sqrt{x}}}}}$,其中有$n$个根号,则
$\lim_{n\to\infty}\frac{A_{n}\left(2\right)}
{A_{n}\left(3\right)}=$\underline{\hspace{2cm}}.
3.设$0<x_{0}<\pi$, $x_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sin x_{k}$,则$\lim_{n\to\infty}x_{n}\ln n=$\underline{\hspace{2cm}}.
4.设$f_{1}(x)=x$, $f_{n+1}(x)=x^{f_{n}(x)}$,则$\lim_{x\to1}
\frac{f_{n}(x)-f_{n-1}(x)}{(1-x)^{n}}=$
\underline{\hspace{2cm}}.
5.是否存在连续函数$f(x)$,使得$f\left(f(x)\right)=-x,\forall x\in \mathbf{R}$.
6.设$y>x>0$,证明$y^{x^y}>x^{y^x}$.
7.设$f(x)$二阶连续可导, $\varepsilon>0$, $f''(x)+f(x)+\varepsilon f(x)^{3}=0,\forall x\in \mathbf{R}$,证明$f$为周期函数.
8.设函数$f:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$.若$\forall\varepsilon>0$,都存在$a_1,\cdots,a_n\in[0,1]$,使得$\forall x\in[0,1]$,都有某个$a_i$,对任意$y\in[0,1]$,都有$|f(x,y)-f(a_i,y)|<\varepsilon$,则称$f$为左一致的.类似地,可定义右一致.
问题 1: 请写出右一致的定义.
问题 2:证明左一致等价于右一致.
六校联合夏令营
2024年8月8日一线性代数:Part 2
注:选作10道题,每题10分.
$\mathbf{1.}$设$A,B$是$\mathbb{F}$上的$n$阶方阵,且存在互不相同的$t_1,\cdots,t_{n+1}\in\mathbb{F}$使得$A+t_iB$
是幂零的,证明: $A,B$都是幂零的.
$\mathbf{2.}$求$M_n( \mathbb{R} )$的满足如下条件的子空间$V$的最大维数:对任意$A,B\in V$都有
$\mathrm{tr}\left(AB\right)=0$.
$\mathbf{3.}$设$A=\left(a_{ij}\right)$是$n$阶方阵, $H$是线性空间.设存在线性无关的$h_1,\cdots,h_n\in H$和
线性无关的$f_1,\cdots,f_n\in H^\ast$ ($H$的对偶空间)使得 $f_i(h_j)=a_{ji},1\leqslant i,j\leqslant n$.证明: $\mathrm{dim} H\geqslant 2n-r(A)$.
$\mathbf{4.}$设$A=\left(a_{ij}\right)$是$n$阶方阵, $A'=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n'}$是$A$的由前$n'$行和前$n'$列构成的子矩阵.证明: $2(n-n') \geqslant r(A)-r(A')$,并举例说明: $n- n'\geqslant r(A)-r(A')$不成立.
$\mathbf{5.}$. 设 $n$是正整数, $f(x)$是$n$次多项式.证明: 存在不全为$0$的$a_{0},\cdots,a_{n}$使得$f(x)$整除$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{2^{i}}$.
$\mathbf{6.}$对任意正整数$d,n$定义$Q(n,d)$为$1,2,\cdots,n$的满足$\sum_{k=1}^{n}\left|i_k-k\right|=d$的排列
$i_1i_2\cdots i_n$的个数.
证明:当$d\geqslant 2n$时, $Q(n,d)$是偶数.
$\mathbf{7.}$设$A$是$n$阶实方阵, $A'$是$A$的转置.设$V(A)$是满足$AX=XA'$的$n$阶实方阵所组成的线性空间.
(1)任意取定$V(A)$的一个基$X_1,\cdots,X_s$.证明: $f(t_1,\cdots,t_s)=\det\left(\sum_ {i=1}^{s}t_iX_i\right)$不是零多项式.
(2)设$A$有一个几何重数(特征子空间的维数)为$m$的实特征值$\lambda$.证明: $V(A)$中至少有$m^{2}$个线性无关的秩为$1$的矩阵.
$\mathbf{8.}$对任意方阵$A$定义$\sin A=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}A^{2n+1}$.
问:是否存在二阶实方阵$A$使
得$\sin A=\left(\begin{array}{cc}1&2024\\
0&1\end{array}\right)?$说明理由.
若存在这样的$A$,由谱映射定理知$\sin A$特征值应该为$\sin x=1$的零点,注意到$\begin{pmatrix}1&2024\\0&1\end{pmatrix}$不可对
角化,因此$A$必然有一个二重根$2n\pi+\frac\pi2,n\in\mathbb{Z}$且不可对角化.
考虑2阶实可逆矩阵$P$使 得 $P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 2n\pi + \frac \pi 2& 1\\ 0& 2n\pi + \frac \pi 2\end{pmatrix}$,
直接计算知
\begin{align*}
P\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}P^{-1}&=P\begin{pmatrix}1&\cos\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\\0&1\end{pmatrix}P^{-1}=P\sin\begin{pmatrix}2n\pi+\frac{\pi}{2}&1\\0&2n\pi+\frac{\pi}{2}\end{pmatrix}P^{-1}\\&=\sin\biggl[P\biggl(\begin{matrix}2n\pi+\frac{\pi}{2}&1\\0&2n\pi+\frac{\pi}{2}\end{matrix}\biggr)P^{-1}\biggr]=\sin A=\begin{pmatrix}1&2024\\0&1\end{pmatrix},
\end{align*}
这就是一个矛盾！
$\mathbf{9.}$设$n$次多项式$P(x)$满足: $P(x)=P''(x)Q(x)$.证明:如果$P(x)$有两个互不相
同的根,则$P(x)$的$n$个根都互不相同.
$\mathbf{10.}$设$n$是整数且$n\geqslant 2$.在矩阵元互不相同且取自$1,2,\cdots,n^2$的所有$n$阶方阵中,求秩的最大值和最小值
$\mathbf{11.}$设$S_n$是$1,2,\cdots,n$的所有排列所构成的集合.对任意$\sigma\in S_n$,用$\tau(\sigma)$表示$\sigma$的逆序数,用$\mu(\sigma)$表示$\sigma=i_1i_2\cdots i_n$中满足$i_k=k$的$k$的个数.证明: $\sum_{\sigma\in S_{n}}\frac{\left(-1\right)^{\tau\left(\sigma\right)}}
{\mu\left(\sigma\right)+1}
=\left(-1\right)^{n+1}\frac{n}{n+1}$.
\section{中科院2024数学夏令营试题}
1. (1)设数列$a_n>0$并且$\lim_{n\to\infty} a_n=a$.计算极限
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}
+\cdots+\sqrt[n]{a_n}}n\right)^n.$$
(2) 对$\alpha\geqslant 2$,求极限
$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\int_0^xe^{-t^\alpha}\mathrm{d}t-\sin x}{\sin x-x}.$$
2. (1) 设$n$为正整数,计算积分$\int_0^{\frac \pi 2}\frac {\sin (2n+1)\theta}{\sin\theta}\mathrm{d}\theta$.
(2) 计算二重积分$\iint_D( x+ y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,其中$D=\{(x,y)\mid (x-1)^2+(y-1)^2\leqslant 2,y\geqslant x\}$.
3.设$f(x)$在$[0,1]$上有连续的二阶导函数, $f(0)=f(1)=0$,当$x\in(0,1)$时, $f(x)\neq 0$.证明:
$$\int_0^1\left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right|\mathrm{d}x
\geqslant 4.$$
4. 设$A,B,C$是三个$n$阶实方阵,并且满足: $(AB)^7=C,\det(C)\neq 0$,以及$AC=CA$或者
$BC=CB$.求$(BA)^{14}$与$C$的关系.
5.令$x,y,z$表示三维空间中的点. 设定义在三维空间中的开区域$D$上的函数$u(x)$二阶连续可导,且满足调和条件$\Delta u=0$.对任意的$x\in D$,定义如下关于半径$r$的函数
$$\phi(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\oiint_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma(y).$$
其中, $B(x,r)$表示以$x$为球心, $r$为半径的球. $\partial B(x,r)$表示这个球的外表面,这里$r$充分小使得
$B(x,r)\subseteq D$.
(1)证明:
$$\frac{\partial\phi}{\partial r}=0.$$
(2)证明:
$$u(x)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\oiint_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma(y).$$
(3)证明:
$$u(x)=\frac{3}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(y)\mathrm{d}y.$$
6. 证明如下两个结论:
(1)设$f$是$n$维欧式空间$V$上的一个正交变换,证明: $f$的不变子空间的正交补也是$f$的不变子空间.
(2)令$A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})$,记$\mathrm{tr}(A) =a_{11}+ a_{22}+ \cdots + a_{nn}$,证明: $\det(e^A)=e^ {\mathrm{tr}(A)}$.
第十九届中国北方数学邀请赛(2024.8.9)
一 填空题(本大题共 8 小题，每题 8 分，满分 64 分)
2. 若$\log_2\log_8x=\log_8\log_2x$,则$\left(\log_2x\right)^2=\underline{-}$
3. 已知$a>1,b>2$,则$\frac{a^2}{b-2}+\frac{b^2}{a-1}$的最小值为\_\_\_\_\_\_
4. 设$o$ 为锐角$\triangle.ABC$ 的外心，$\overrightarrow AO=m(\vec{AB}+\overrightarrow{AC})$, 若$m\in[\frac15,\frac13]$, 则$m^2\cos A$的取值范
围为\_\_\_\_
5. 满足方程$\left(3x+y\right)^5+x^5+4x+y=0$ 的点$\left(x,y\right)$的轨迹方程是\_\_\_\_\_\_
6. 已知方程 $x^4+ax^3+9x^2+ax+1=0$ 无实根，且$|x|\neq1$,则实数$a$的取值范围是
7.如图，空间四面体$ABCD$中，$\angle ACD=30^{\circ}$,二面角$A-CD-B$的大小为60°, 在平面$.ABC$内过点$B$作$AC$的垂线$l$,则$l$与平面$BCD$所成的最大角的正弦值为
8. 设函数 $f(x)=\begin{cases}|x+1|,&x\leq0,\\|\mathrm{lg}|,&x>0,\end{cases}$若方程$f(x)=a$有四个不同的实数解$x_1<x_2<$
$x_{3}<x_{4}$,则$x_3(x_1+x_2)+\frac1{x_3^2x_4}$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
二、解答题(本大题共3小题,第9题16分、第10、11 题 20 分,满分 56分)
9.在非直角$\triangle ABC$中, $\sin A=2\sin B\sin C$,求$\cos^2B+\cos^2C$的取值范围.
$\mathbf{10.}$ 若正项数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n,3S_k=1\geq S_k\geq2S_{k+1}$(其中$k=2,3,4,\cdots,n$, n>2
且$n\in\mathbf{N}^{*})$,求$\frac{a_{1}}{a_{2}}+\frac{a_{2}}{a_{3}}+\cdots+\frac{a_{2023}}{a_{2024}}$的最大值和最小值.
$\mathbf{11.}$ 已知双曲线$C: \frac {x^2}{a^2}- \frac {y^2}{b^2}= 1$ $( a> 0, b> 0)$ 的离心率为 2,经过其右焦点 $F$的
直线 $\iota_{1}$与$c\text{ 相交于 }_A,B$ 两点 .
$(1)判断以弦.AB为直径的圆与圆(x-3a)^2+y^2=4a^2$的位置关系，并说明理由； (2)若直线$l_2$(异于直线$l_1$)经过点$F$与$C$ 相交于$M,N$两点，求证：以弦$.AB$、 $MN$为直径的圆的公共弦所在直线经过定点，
第十九届中国北方数学邀请赛(2024.8.9)
二试解答题(本大题共 4 小题,分别为 40 分、40 分、50 分、50 分,满分 180 分)
$\mathbf{1.}$如图,已知在$\triangle ABC$的顶点$A$处所作其外接圆$\odot\Gamma$的切线上任取一点$P$,直线$BP$与$\odot F$交于点$B_{1}$、$CP$与$\odot\Gamma$交于点$C$ .在$\odot F$上任取一个不同的点$D$,直线$DA、DB_{1}、DC_{1}$的分别与三边$BC、AC、AB$所在直线交于点$X$、$Y$、$Z$.证明：$X$、 $Y、Z\equiv 点共线$
2.求函数$y=\sqrt2x^2-2x+1+\sqrt{2x^2-(\sqrt3-1)x+1}+\sqrt{2x^2+(\sqrt3+1)x+1}$的最小值
3.若存在无穷多组正整数$x,y,z$满足$x<y<z$,且$xy+z,yz+x,zx+y$均为同一个素数
的方幂，确定这样的素数构成的集合.
4. 是否存在整数集$Z$ 的非空子集 $A_1,A_2,A_3$同时满足：
(1) 对任意的$i,j\in\{1,2,3\}$,若$i\neq j$,则$A_i\cap A_j=\phi;$
(2) 对 1,2,3 的任意排列$i,j,k$,若 $x\in A_i,y\in A_j$,则 $x+y\in A_k$
证明你的结论.
Mathematics for the international student Mathematics HL(Core) third edition
\section{第十九届中国北方数学奥林匹克 (2024.8.10)}
解答题(共6 题,每题 40 分,满分 240 分)
1.证明:
$$\frac{1}{2^{2}\times3^{2}}+\frac{1}{3^{2}\times5^{2}}
+\frac{1}{4^{2}\times7^{2}}+\cdots
+\frac{1}{(n+1)^{2}(2n+1)^{2}}<\frac{1}{12}.$$
2.已知 $\triangle ABC$ ($AB>AC$)内接于$\odot O$,点$E$在高 $AD$的延长线上,使得$AE$长度等于$\odot O$直径, $I$为$\triangle ABC$内心, $AI$交边$BC$于$F$,交$\odot O$于点$M$, $EM$的延长线交$CB$的延长线于点$P$, $PI$交$AD$于点$N$,交$MD$延长线于点$K$, $EJ\perp NF$于点$J$.
证明: $P$、$J$、$D$、$K$四点共圆.
3.试求出所有函数$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$,使得对于任意实数$x,y$,都有
$$f(x+y)\geqslant x+(1-x)f(y)+yf(x).$$
4.已知数列
$$a_n=\left[\left(\sqrt{26}-5\right)^{-n}
+2^{-n}\right]\quad (n\geqslant 0),$$
求$a_{2024}$的个位数字及和式$\sum_{n=1}^\infty\frac1{a_{n-1}a_{n+1}}$ 的值.
5.令$f_n(x)=\sum_{k=1}^nkx^k$.设$\{a_n\}$为正整数数列,若对任意$n\geqslant 2024$,及任意
$1\leqslant k<n$,均有 $a_n^n\mid f_n(a_k)$.求证:存在$m\in\mathbb{Z}^+$,使得对任意$n\geqslant m$, $a_n=1$.
6.按照国际象棋规则,棋子“后”可以攻击所在格同一行、同一列、同在一条平行于主对角线或副对角线的任何位置上的棋子(即棋子“后”可以横着走、竖着走、斜着走,且步数不限).在$8\times 8$的方格表中,选择$n$个方格放置棋子“后”,使得任何两个棋子“后”不能互相攻击,并且如果再在某个空白方格放置一个棋子“后”, 则必存在两个棋子“后”互相攻击,确定$n$的最小值.
例 (1996年全国初中数学联赛试题)如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形
的...............( )
(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心
比imo还难的考试压轴? 官方指定的大学生数学竞赛夏令营级数题.
%https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5MjY3MTMxMA==&mid=2247497815&idx=1&sn=ecbd434a38e031cb0eb55dfe17840a18&chksm=a6a00b7691d7826076e52c17a9965c7fbfdbf7e3123152fcb7543026d787f679541ea09ee6f4&cur_album_id=2183266358224879617&scene=189#wechat_redirect
\section*{AAA}
\subsection{条件概率的含义}
\zhlipsum[1]
\subsubsection{AAA}
\subsection{条件概率的含义}
\subsubsection{AAA}
\subsubsection{条件概率的含义}
\begin{fancybox}{均匀分布}
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\tcblower
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\end{fancybox}
\remark{这是一个 Remark.}
\begin{Theorem}{奔驰定理}{benza}
点$O$是$\triangle ABC$内一点,记$\triangle OBC$的面积为$S_A$,$\triangle AOC$的面积为$S_B$,$\triangle ABO$的面积为$S_C$,则
\[S_A\overrightarrow{OA}+S_B\overrightarrow{OB}+S_C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\]
\end{Theorem}
\begin{Corollary}{奔驰定理}{benza}
1
\end{Corollary}
\begin{Axiom}{奔驰定理}{benza}
1
\end{Axiom}
\begin{Property}{奔驰定理}{benza}
1
\end{Property}
\begin{Definitions}{有向面积}{yxmj}
对于平面上三个点$A,B,C$,固定视角,如果$A,B,C$三个字母逆时针排列,则规定$S_{\triangle ABC}$是正数,如果$A,B,C$三个字母逆时针排列,则规定$S_{\triangle ABC}$是负数,如果$A,B,C$共线,则规定$S_{\triangle ABC}$是零,称为有向面积
\end{Definitions}
\begin{Lemma}{重心分面积三等分}{zx}
若$G$是$\triangle ABC$的重心,则
\[S_A:S_B:S_C=1:1:1\]
\end{Lemma}
%\Example{
% This is an example.
% }
\begin{solution}
123
\end{solution}
\begin{proof}
123
\end{proof}
\begin{solution}
123
\end{solution}
浙江大学数学科学学院2024夏令营预选试题
(数学分析部分)
1.(10分)试利用有限覆盖定理证明:闭区间上的连续函数一定是一致连续的.
2.(10分)设可微函数列$\{f_n(x)\}$在$[0,1]$上处处收敛.且$\{f_n'(x)\}$在$[0,1]$上一致有界.证明:
$\{f_n(x)\}$在$[0,1]$上一致收敛.
3. (10分) 若$f(x)$在$[0,+\infty)$上可导,且$f'(x)$在$[0,+\infty)$上一致连续,并且$\lim_{x\to +\infty} f(x)$存在,证明: $\lim_{x\to+\infty} f'(x)=0$.
4. (10分) 设函数$f$在$(0,1)$上连续,若对任意的$x\in(0,1)$,有
$$\varliminf_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}h>0.$$
证明: $f$在$(0,1)$上严格单调递增.
5. (10分) 设$f$是以$\pi$为周期的偶函数,且在$[0,\pi]$上可积.证明:
$$\int_0^{+\infty}f(x)\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\mathrm{d}x.$$
(高等代数部分)
1. (10分) 设$T$是实数域上$n$维线性空间$V$上的线性变换,满足$T^2+\mathrm{Id}_V=0$.定义$(a+b\mathrm{i})v=av+bT(v)$.
证明: $V$关于上述的运算构成复数域上的线性空间,并且求其在复数
域上的维数.
2. (10分)设$A,B,C$为$n$阶复矩阵,满足$AB-BA=\overline{C}C^T$,其中$\overline{C}$为$C$的共轭矩阵, $C^T$为$C$的转置.若复数$a,b$满足$f(a,b)=0$对所有满足$f(A,B)=0$的二元复系数多项式$f(x,y)$都成立. 证明:存在非零向量$v$满足$Av=av$且$Bv=bv$.
3. (10分)设$f(x)$与$g(x)$是两个互素的多项式, $A$为$n$阶方阵.证明: $f(A)g(A)=0$当且仅当$\mathrm{rank}(f(A))+\mathrm{rank}(g(A))=n$.
4. (10分)设$V$是次数不大于$2$的实系数多项式构成的实线性空间.求$q(x)\in V$使得对任意的$p(x)\in V$都有
$$\int_{-1}^1p(x)q(x)\mathrm{d}x=\int_{-1}^1p(x)\cos(\pi x)\mathrm{d}x.$$
5. (10分) 设$A=(a_{ij})_{n\times n}$,其中$a_{ij}=\begin{cases}
3i, &i=j\\
2-3j, &i>j\\
3i+1, &i<j
\end{cases}$.
证明: $3$整除$\det(A)$.
\end{document}
