2013年中科大夏令营试题

2013中科大夏令营试题——分析
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中国科学技术大学2013年大学生数学夏令营竞赛试题(分析学)

数学分析

1.设连续函数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$满足: $\int_0^1f(xt)\mathrm{d}t=0,\forall x\in\mathbb{R}$.
证明: $f\equiv0$.

2.考虑函数
$$f(x):=\begin{cases} x\sin\frac{1}{x},&x\neq0;\\ 0,&x=0.\end{cases}$$
证明:当且仅当$\alpha\leqslant 1/2$时
$$F(x,y):=\frac{f(x)-f(y)}{|x-y|^\alpha}$$
在$[0,1]^2$上有界.

3.设$f$是$\mathbb{R}$上一个三次连续可微的非负函数,满足$f(0)=f'(0)=0,f''(0)>0$.
$$g(x):=\begin{cases} \left(\frac{\sqrt{f(x)}}{f'(x)}\right)',&x\neq0;\\ 0,&x=0.\end{cases}$$
证明: $g$在$0$的某个邻域内有界.

4.设函数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$满足:

(i) $\forall y\in\mathbb{R},x\mapsto f(x,y)$连续;

(ii) $\forall x\in \mathbb{R} , y\mapsto f( x, y)$连续;

(iii) $f$ 将 $\mathbb{R}^2$的每一紧子集映为
$\mathbb{R}$的紧子集.

证明: $f$连续.

5.证明:对所有$n\in\mathbb{N}$和所有$p>1$成立
$$\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}\right)^{1/p}\leqslant \frac{p}{p-1}n^{1-1/p}.$$

复分析

1.设$f$在区域$D$内全纯,满足$|f(z)|$在$D$内为常数.
证明: $f$在$D$内为常数.

2.是否存在在开单位因盘$U$内全纯的函数 $f$,满足
$$f\left(\frac{1}{2n}\right) =f\left(\frac{1}{2n-1}\right) =\frac{1}{n},\quad n=2,3,\ldots?$$

 

3.是否存在$\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 内全纯的函数 $f$,满足 $|f(z)|\geqslant\frac1{\sqrt{|z|}},\forall z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}?$

 

实分析

1.计算:
$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n} \sin\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x.$$

2.设$f$是$\mathbb{R}$上可积函数,证明:
$m(\{x\in\mathbb{R}:|f(x)| >N\}) =o\left(\frac1N\right)$ as $N\to+\infty$.

3.设$f$是$(0,1)$上有界可测函数,证明:
$$\lim_{p\to+\infty}\left(\int_0^1|f(x)|^p\mathrm{d} x\right)^{1/p} =\mathrm{esssup}_{x\in(0,1)}|f(x)|.$$

 

2013中科大夏令营试题——代数与几何
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中国科学技术大学2013年数学夏令营考试试题

(线性代数与解析几何)

所有试题答案写在答题纸上,答案写在试卷上无效,不得使用计算器

一、(15分) 给定空间内直线$l_1:x-1=y=z$与$l_2:x=y=1$.

(1)求$l_1$ 绕$l_2$ 旋转所得旋转面的一般方程和参数方程;

(2)求空间点$A$, 使得$A$到$l_1$ 与$l_2$的距离相等;

(3)求与$l_1$和$l_2$平行,
且到这两条直线的距离相等的平面$\pi$的方程.

二、(10分)求下述行列式:

(1) $\det\begin{pmatrix}1&\cos\theta_1&\cos2\theta_1&\cdots &\cos(n-1)\theta_1\\ 1&\cos\theta_2&\cos2\theta_2&\cdots&\cos(n-1)\theta_2\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1&\cos\theta_n&\cos2\theta_n&\cdots&\cos(n-1)\theta_n\end{pmatrix}$;

(2) $\det\begin{pmatrix}\frac{1} {a_1+b_1}&\frac{1}{a_2+b_1}&\cdots&\frac{1}{a_n+b_1}\\ \frac{1}{a_1+b_2}&\frac{1}{a_2+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_n+b_2}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \frac{1}{a_1+b_n}&\frac{1}{a_2+b_n}&\cdots&\frac{1}{a_n+b_n} \end{pmatrix}$.

三、(10分) 求如下线性方程组的通解:
$$\begin{cases} 2x_1+x_2+x_3-x_4-x_5=2\\ x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=2\\ x_2+x_3-2x_4+6x_5=6\\ 5x_1-4x_2+3x_3-3x_4-x_5=0 \end{cases}$$

四、(10分) 设$K$为特征$0$域, $F/K$为域的有限扩张.
已知$n$阶$K-$方阵$A,B$在域$F$上相似
(即存在可逆的$F-$系数方阵 $T$,使得$T^{-1}AT=B$).
试证明$A,B$在域$K$上相似.

五、(10分)设$A,B$为$n-$阶复幂幺方阵
(即存在整数$r,s$使得$A^r=B^s=I_n$).

(1)证明$A$可相似到一个酉方阵;

(2)若进一步$AB=BA$,
试证明$A,B$可以同时相似到一个酉方阵.

六、(10分)设$\mathscr{A}$为复向量空间 $V$上的线性变换,
且在$V$的一组基$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$下方阵为
$A=\begin{pmatrix}2&-2&3\\1&1&1\\1&3&-1 \end{pmatrix}$.

(1)求$\mathscr{A}$的所有特征值和特征向量;

(2)求$\mathscr{A}$的一组基,
使得$\mathscr{A}$在该组基下的方阵恰好为$A$的Jordan标准形.

七、(10分)令$V$为全体$n$阶方阵在矩阵加法和数乘下形成的向量空间,在$V$上定义双线性函数$(X,Y)=\mathrm{Tr}X^TY,X,Y\in V$.

(1) 验证$(-,-)$定义了$V$上的一个内积;

(2) 试给出$V$在上述内积下的一组标准正交基.

八 、 (15分 )令 $S_4$为$4$元集合的对称群.

(1)写 出 $S_4$的所有共轭类;

(2)试确定$S_4$的所有正规子群;

(3)计算$S_{4}$的自同构群.

九、(10分)令$n\geqslant 2$为正整数.
考察正交群$O_n$在$\mathbb{R}^n$上的自然作用
(即将$\mathbb{R}^n$中的
点看成列向量,而$O_n$在列向量上作用由矩阵乘法给出).

(1) 试刻画$\mathbb{R}^n$在$O_n$ 作用下的各个轨道.

(2) 试确定向量$\vec a=(1,1,0\cdots,0)^T \in\mathbb{R}^n$的稳定子群.

十 、 (10分)证明商环$\mathbb{Q}[x]/(2x^{5}+ 3x^{4} + 9x^{3}+ 27x^{2}+ 6x+ 192)$为域.

十一、(15分) (1)设$F=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$.试判断$F/\mathbb{Q}$是否为正规扩张?

(2)令$E$为多项式$f(x)=x^4-3$在有理数域$\mathbb{Q}$
上的一个分裂域,计算Galois群$\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$.

(3)求域扩张$E/\mathbb{Q}$中间域的个数.

 

2013年中国科技大学数学夏令营试题赏析
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