济南2024年高一下期末新定义问题的探究

(济南2024年高一下期末)给定三棱锥$\Omega$,设$\Omega$的四个顶点到平面$a$的距离所构成的集合为$M$,若$M$中元素的个数为$k$,则称$\alpha$为$\Omega$的$k$阶等距平面,称$M$为$\Omega$的$k$阶等距集.

(1)若$\Omega$为三棱锥$A-BCD$,满足$AB=CD=AD=BC=4$, $AC=BD=2$,求出$\Omega$的$1$阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积(求出其中的一个即可);

(2)如图所示, $\Omega$是棱长为$\sqrt2$的正四面体$ABCD$.

(i)若$\alpha$为$\Omega$的$1$阶等距平面且$1$阶等距集为$\{a\}$,求$a$的所有可能取值以及相对应的$a$的个数;

(ii)已知$\beta$是$\Omega$的$4$阶等距平面,点$A$与点$B,C,D$分别位于$\beta$两侧,是否存在$\beta$,使$\Omega$的$4$阶等距集为$\{b,2b, 3b,4b\}$,其中点$A$到$\beta$的距离为$b$ ?若存在,求出$\beta$截$\Omega$所得的平面多边形的最大边长;若不存在,说明理由.

【思考题】(iii)若$\alpha$为$\Omega$的$2$阶等距平面且$2$阶等距集为$\{a,2a\}$,求$a$的所有可能取值以及相对应的$\alpha$的个数;

(iv)若$\beta$为$\Omega$的$4$阶等距平面且$4$阶等距集为$\{b,2b,3b,4b\}$,求$b$的所有可能取值以及相对应的$\beta$的个数.