济南2024年高一下期末新定义问题的探究

(济南2024年高一下期末)给定三棱锥$\Omega$,设$\Omega$的四个顶点到平面$a$的距离所构成的集合为$M$,若$M$中元素的个数为$k$,则称$\alpha$为$\Omega$的$k$阶等距平面,称$M$为$\Omega$的$k$阶等距集.

(1)若$\Omega$为三棱锥$A-BCD$,满足$AB=CD=AD=BC=4$, $AC=BD=2$,求出$\Omega$的$1$阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积(求出其中的一个即可);

(2)如图所示, $\Omega$是棱长为$\sqrt2$的正四面体$ABCD$.

(i)若$\alpha$为$\Omega$的$1$阶等距平面且$1$阶等距集为$\{a\}$,求$a$的所有可能取值以及相对应的$a$的个数;

(ii)已知$\beta$是$\Omega$的$4$阶等距平面,点$A$与点$B,C,D$分别位于$\beta$两侧,是否存在$\beta$,使$\Omega$的$4$阶等距集为$\{b,2b, 3b,4b\}$,其中点$A$到$\beta$的距离为$b$ ?若存在,求出$\beta$截$\Omega$所得的平面多边形的最大边长;若不存在,说明理由.

【思考题】(iii)若$\alpha$为$\Omega$的$2$阶等距平面且$2$阶等距集为$\{a,2a\}$,求$a$的所有可能取值以及相对应的$\alpha$的个数;

(iv)若$\beta$为$\Omega$的$4$阶等距平面且$4$阶等距集为$\{b,2b,3b,4b\}$,求$b$的所有可能取值以及相对应的$\beta$的个数.

 

 

$$\begin{Example}{2024年阿里巴巴数学竞赛决赛}{} 假设$M$和$Q$是给定的正的常数.定义函数 $$f(r)=1-\frac{M}{r^2}+\frac{Q}{r^4}-r^2,\quad r>0.$$ 如果$f$有三个不同的正根$r_c>r_+>r_->0$,证明$f'(r_+)+f'(r_-)<0$. \end{Example}$$
$$\begin{proof} 123 \end{proof}$$

Hadarmad不等式

 

\section{各高校联合暑期夏令营竞赛题}

师大，中科大，川大，大连理工，西南,东北师范联合暑期夏令营竞赛题第二天试题.

六校联合夏令营

2024年8月9日:微积分 Part1

注: 1-4题每题 10分, 5-8题每题 15 分

1.设$x_{1}=\sqrt{5},x_{n+1}=x_{n}^{2}-2$,
则$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{x_{n+1}}=$\underline{\hspace{2cm}}.

 

2.设$A_{n}(x)=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2+\sqrt{x}}}}}$,其中有$n$个根号,则
$\lim_{n\to\infty}\frac{A_{n}\left(2\right)} {A_{n}\left(3\right)}=$\underline{\hspace{2cm}}.

 

3.设$0<x_{0}<\pi$, $x_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sin x_{k}$,则$\lim_{n\to\infty}x_{n}\ln n=$\underline{\hspace{2cm}}.

 

4.设$f_{1}(x)=x$, $f_{n+1}(x)=x^{f_{n}(x)}$,则$\lim_{x\to1} \frac{f_{n}(x)-f_{n-1}(x)}{(1-x)^{n}}=$
\underline{\hspace{2cm}}.

 

5.是否存在连续函数$f(x)$,使得$f\left(f(x)\right)=-x,\forall x\in \mathbf{R}$.

6.设$y>x>0$,证明$y^{x^y}>x^{y^x}$.

7.设$f(x)$二阶连续可导, $\varepsilon>0$, $f''(x)+f(x)+\varepsilon f(x)^{3}=0,\forall x\in \mathbf{R}$,证明$f$为周期函数.

8.设函数$f:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$.若$\forall\varepsilon>0$,都存在$a_1,\cdots,a_n\in[0,1]$,使得$\forall x\in[0,1]$,都有某个$a_i$,对任意$y\in[0,1]$,都有$|f(x,y)-f(a_i,y)|<\varepsilon$,则称$f$为左一致的.类似地,可定义右一致.

问题 1: 请写出右一致的定义.

问题 2:证明左一致等价于右一致.

六校联合夏令营

2024年8月8日一线性代数:Part 2

注:选作10道题,每题10分.

 

$\mathbf{1.}$设$A,B$是$\mathbb{F}$上的$n$阶方阵,且存在互不相同的$t_1,\cdots,t_{n+1}\in\mathbb{F}$使得$A+t_iB$
是幂零的,证明: $A,B$都是幂零的.

 

$\mathbf{2.}$求$M_n( \mathbb{R} )$的满足如下条件的子空间$V$的最大维数:对任意$A,B\in V$都有
$\mathrm{tr}\left(AB\right)=0$.

 

$\mathbf{3.}$设$A=\left(a_{ij}\right)$是$n$阶方阵, $H$是线性空间.设存在线性无关的$h_1,\cdots,h_n\in H$和
线性无关的$f_1,\cdots,f_n\in H^\ast$ ($H$的对偶空间)使得 $f_i(h_j)=a_{ji},1\leqslant i,j\leqslant n$.证明: $\mathrm{dim} H\geqslant 2n-r(A)$.

 

$\mathbf{4.}$设$A=\left(a_{ij}\right)$是$n$阶方阵, $A'=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n'}$是$A$的由前$n'$行和前$n'$列构成的子矩阵.证明: $2(n-n') \geqslant r(A)-r(A')$,并举例说明: $n- n'\geqslant r(A)-r(A')$不成立.

 

$\mathbf{5.}$. 设 $n$是正整数, $f(x)$是$n$次多项式.证明: 存在不全为$0$的$a_{0},\cdots,a_{n}$使得$f(x)$整除$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{2^{i}}$.

$\mathbf{6.}$对任意正整数$d,n$定义$Q(n,d)$为$1,2,\cdots,n$的满足$\sum_{k=1}^{n}\left|i_k-k\right|=d$的排列
$i_1i_2\cdots i_n$的个数.
证明:当$d\geqslant 2n$时, $Q(n,d)$是偶数.

$\mathbf{7.}$设$A$是$n$阶实方阵, $A'$是$A$的转置.设$V(A)$是满足$AX=XA'$的$n$阶实方阵所组成的线性空间.

(1)任意取定$V(A)$的一个基$X_1,\cdots,X_s$.证明: $f(t_1,\cdots,t_s)=\det\left(\sum_ {i=1}^{s}t_iX_i\right)$不是零多项式.

(2)设$A$有一个几何重数(特征子空间的维数)为$m$的实特征值$\lambda$.证明: $V(A)$中至少有$m^{2}$个线性无关的秩为$1$的矩阵.

 

$\mathbf{8.}$对任意方阵$A$定义$\sin A=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}A^{2n+1}$.
问:是否存在二阶实方阵$A$使
得$\sin A=\left(\begin{array}{cc}1&2024\\ 0&1\end{array}\right)?$说明理由.

若存在这样的$A$,由谱映射定理知$\sin A$特征值应该为$\sin x=1$的零点,注意到$\begin{pmatrix}1&2024\\0&1\end{pmatrix}$不可对
角化,因此$A$必然有一个二重根$2n\pi+\frac\pi2,n\in\mathbb{Z}$且不可对角化.

考虑2阶实可逆矩阵$P$使 得 $P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 2n\pi + \frac \pi 2& 1\\ 0& 2n\pi + \frac \pi 2\end{pmatrix}$,

直接计算知
$$\begin{align*} P\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}P^{-1}&=P\begin{pmatrix}1&\cos\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\\0&1\end{pmatrix}P^{-1}=P\sin\begin{pmatrix}2n\pi+\frac{\pi}{2}&1\\0&2n\pi+\frac{\pi}{2}\end{pmatrix}P^{-1}\\&=\sin\biggl[P\biggl(\begin{matrix}2n\pi+\frac{\pi}{2}&1\\0&2n\pi+\frac{\pi}{2}\end{matrix}\biggr)P^{-1}\biggr]=\sin A=\begin{pmatrix}1&2024\\0&1\end{pmatrix}, \end{align*}$$
这就是一个矛盾！

$\mathbf{9.}$设$n$次多项式$P(x)$满足: $P(x)=P''(x)Q(x)$.证明:如果$P(x)$有两个互不相
同的根,则$P(x)$的$n$个根都互不相同.

$\mathbf{10.}$设$n$是整数且$n\geqslant 2$.在矩阵元互不相同且取自$1,2,\cdots,n^2$的所有$n$阶方阵中,求秩的最大值和最小值

$\mathbf{11.}$设$S_n$是$1,2,\cdots,n$的所有排列所构成的集合.对任意$\sigma\in S_n$,用$\tau(\sigma)$表示$\sigma$的逆序数,用$\mu(\sigma)$表示$\sigma=i_1i_2\cdots i_n$中满足$i_k=k$的$k$的个数.证明: $\sum_{\sigma\in S_{n}}\frac{\left(-1\right)^{\tau\left(\sigma\right)}} {\mu\left(\sigma\right)+1} =\left(-1\right)^{n+1}\frac{n}{n+1}$.

 

\section{中科院2024数学夏令营试题}

 

1. (1)设数列$a_n>0$并且$\lim_{n\to\infty} a_n=a$.计算极限
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2} +\cdots+\sqrt[n]{a_n}}n\right)^n.$$

(2) 对$\alpha\geqslant 2$,求极限
$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\int_0^xe^{-t^\alpha}\mathrm{d}t-\sin x}{\sin x-x}.$$

2. (1) 设$n$为正整数,计算积分$\int_0^{\frac \pi 2}\frac {\sin (2n+1)\theta}{\sin\theta}\mathrm{d}\theta$.

(2) 计算二重积分$\iint_D( x+ y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,其中$D=\{(x,y)\mid (x-1)^2+(y-1)^2\leqslant 2,y\geqslant x\}$.

3.设$f(x)$在$[0,1]$上有连续的二阶导函数, $f(0)=f(1)=0$,当$x\in(0,1)$时, $f(x)\neq 0$.证明:
$$\int_0^1\left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right|\mathrm{d}x \geqslant 4.$$

4. 设$A,B,C$是三个$n$阶实方阵,并且满足: $(AB)^7=C,\det(C)\neq 0$,以及$AC=CA$或者
$BC=CB$.求$(BA)^{14}$与$C$的关系.

5.令$x,y,z$表示三维空间中的点. 设定义在三维空间中的开区域$D$上的函数$u(x)$二阶连续可导,且满足调和条件$\Delta u=0$.对任意的$x\in D$,定义如下关于半径$r$的函数
$$\phi(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\oiint_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma(y).$$
其中, $B(x,r)$表示以$x$为球心, $r$为半径的球. $\partial B(x,r)$表示这个球的外表面,这里$r$充分小使得
$B(x,r)\subseteq D$.

(1)证明:
$$\frac{\partial\phi}{\partial r}=0.$$

(2)证明:
$$u(x)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\oiint_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma(y).$$

(3)证明:
$$u(x)=\frac{3}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(y)\mathrm{d}y.$$

6. 证明如下两个结论:

(1)设$f$是$n$维欧式空间$V$上的一个正交变换,证明: $f$的不变子空间的正交补也是$f$的不变子空间.

(2)令$A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})$,记$\mathrm{tr}(A) =a_{11}+ a_{22}+ \cdots + a_{nn}$,证明: $\det(e^A)=e^ {\mathrm{tr}(A)}$.

第十九届中国北方数学邀请赛(2024.8.9)

一 填空题(本大题共 8 小题，每题 8 分，满分 64 分)

2. 若$\log_2\log_8x=\log_8\log_2x$,则$\left(\log_2x\right)^2=\underline{-}$

3. 已知$a>1,b>2$,则$\frac{a^2}{b-2}+\frac{b^2}{a-1}$的最小值为\_\_\_\_\_\_

4. 设$o$ 为锐角$\triangle.ABC$ 的外心，$\overrightarrow AO=m(\vec{AB}+\overrightarrow{AC})$, 若$m\in[\frac15,\frac13]$, 则$m^2\cos A$的取值范

围为\_\_\_\_

5. 满足方程$\left(3x+y\right)^5+x^5+4x+y=0$ 的点$\left(x,y\right)$的轨迹方程是\_\_\_\_\_\_

6. 已知方程 $x^4+ax^3+9x^2+ax+1=0$ 无实根，且$|x|\neq1$,则实数$a$的取值范围是

7.如图，空间四面体$ABCD$中，$\angle ACD=30^{\circ}$,二面角$A-CD-B$的大小为60°, 在平面$.ABC$内过点$B$作$AC$的垂线$l$,则$l$与平面$BCD$所成的最大角的正弦值为

 

8. 设函数 $f(x)=\begin{cases}|x+1|,&x\leq0,\\|\mathrm{lg}|,&x>0,\end{cases}$若方程$f(x)=a$有四个不同的实数解$x_1<x_2<$
$x_{3}<x_{4}$,则$x_3(x_1+x_2)+\frac1{x_3^2x_4}$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

二、解答题(本大题共3小题,第9题16分、第10、11 题 20 分,满分 56分)

 

9.在非直角$\triangle ABC$中, $\sin A=2\sin B\sin C$,求$\cos^2B+\cos^2C$的取值范围.

 

$\mathbf{10.}$ 若正项数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n,3S_k=1\geq S_k\geq2S_{k+1}$(其中$k=2,3,4,\cdots,n$, n>2
且$n\in\mathbf{N}^{*})$,求$\frac{a_{1}}{a_{2}}+\frac{a_{2}}{a_{3}}+\cdots+\frac{a_{2023}}{a_{2024}}$的最大值和最小值.

 

$\mathbf{11.}$ 已知双曲线$C: \frac {x^2}{a^2}- \frac {y^2}{b^2}= 1$ $( a> 0, b> 0)$ 的离心率为 2,经过其右焦点 $F$的
直线 $\iota_{1}$与$c\text{ 相交于 }_A,B$ 两点 .
$(1)判断以弦.AB为直径的圆与圆(x-3a)^2+y^2=4a^2$的位置关系，并说明理由； (2)若直线$l_2$(异于直线$l_1$)经过点$F$与$C$ 相交于$M,N$两点，求证：以弦$.AB$、 $MN$为直径的圆的公共弦所在直线经过定点，

第十九届中国北方数学邀请赛(2024.8.9)

二试解答题(本大题共 4 小题,分别为 40 分、40 分、50 分、50 分,满分 180 分)

 

$\mathbf{1.}$如图,已知在$\triangle ABC$的顶点$A$处所作其外接圆$\odot\Gamma$的切线上任取一点$P$,直线$BP$与$\odot F$交于点$B_{1}$、$CP$与$\odot\Gamma$交于点$C$ .在$\odot F$上任取一个不同的点$D$,直线$DA、DB_{1}、DC_{1}$的分别与三边$BC、AC、AB$所在直线交于点$X$、$Y$、$Z$.证明：$X$、 $Y、Z\equiv 点共线$

 

2.求函数$y=\sqrt2x^2-2x+1+\sqrt{2x^2-(\sqrt3-1)x+1}+\sqrt{2x^2+(\sqrt3+1)x+1}$的最小值

3.若存在无穷多组正整数$x,y,z$满足$x<y<z$,且$xy+z,yz+x,zx+y$均为同一个素数
的方幂，确定这样的素数构成的集合.

4. 是否存在整数集$Z$ 的非空子集 $A_1,A_2,A_3$同时满足：

(1) 对任意的$i,j\in\{1,2,3\}$,若$i\neq j$,则$A_i\cap A_j=\phi;$

(2) 对 1,2,3 的任意排列$i,j,k$,若 $x\in A_i,y\in A_j$,则 $x+y\in A_k$

证明你的结论.

Mathematics for the international student Mathematics HL(Core) third edition

 

 

\section{第十九届中国北方数学奥林匹克 (2024.8.10)}

解答题(共6 题,每题 40 分,满分 240 分)

1.证明:
$$\frac{1}{2^{2}\times3^{2}}+\frac{1}{3^{2}\times5^{2}} +\frac{1}{4^{2}\times7^{2}}+\cdots +\frac{1}{(n+1)^{2}(2n+1)^{2}}<\frac{1}{12}.$$

 

2.已知 $\triangle ABC$ ($AB>AC$)内接于$\odot O$,点$E$在高 $AD$的延长线上,使得$AE$长度等于$\odot O$直径, $I$为$\triangle ABC$内心, $AI$交边$BC$于$F$,交$\odot O$于点$M$, $EM$的延长线交$CB$的延长线于点$P$, $PI$交$AD$于点$N$,交$MD$延长线于点$K$, $EJ\perp NF$于点$J$.
证明: $P$、$J$、$D$、$K$四点共圆.

3.试求出所有函数$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$,使得对于任意实数$x,y$,都有
$$f(x+y)\geqslant x+(1-x)f(y)+yf(x).$$

4.已知数列
$$a_n=\left[\left(\sqrt{26}-5\right)^{-n} +2^{-n}\right]\quad (n\geqslant 0),$$
求$a_{2024}$的个位数字及和式$\sum_{n=1}^\infty\frac1{a_{n-1}a_{n+1}}$ 的值.

5.令$f_n(x)=\sum_{k=1}^nkx^k$.设$\{a_n\}$为正整数数列,若对任意$n\geqslant 2024$,及任意
$1\leqslant k<n$,均有 $a_n^n\mid f_n(a_k)$.求证:存在$m\in\mathbb{Z}^+$,使得对任意$n\geqslant m$, $a_n=1$.

6.按照国际象棋规则,棋子“后”可以攻击所在格同一行、同一列、同在一条平行于主对角线或副对角线的任何位置上的棋子(即棋子“后”可以横着走、竖着走、斜着走,且步数不限).在$8\times 8$的方格表中,选择$n$个方格放置棋子“后”,使得任何两个棋子“后”不能互相攻击,并且如果再在某个空白方格放置一个棋子“后”, 则必存在两个棋子“后”互相攻击,确定$n$的最小值.

 

例 (1996年全国初中数学联赛试题)如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形

的...............( )

(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心

 

比imo还难的考试压轴? 官方指定的大学生数学竞赛夏令营级数题.

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