东京大学和京都大学2024年招生理科数学试题

**东京大学2024年招生数学试题**

**第1题.**
给定空间直角坐标系中一点 $A(0,-1,1)$ ,设 $xOy$ 平面上一点 $P$ 满足以下条件(i), (ii), (iii).

(i) $P$ 与原点 $O$ 不重合;

(ii) $\displaystyle\angle AOP\geqslant \frac{2\pi}{3}$ ;

(iii) $\displaystyle\angle OAP\leqslant \frac{\pi}{6}$ .

请在 $xOy$ 平面上画出点 $P$ 所在的范围.

**第2题.**
考虑函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\frac{|t-x|}{1+t^2}\mathrm{d}t\ (0\leqslant x\leqslant 1)$ .

(1)求满足 $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$ 和 $f'(\tan\alpha)=0$ 的实数 $\alpha$ 的值;

(2)对于(1)中的 $\alpha$ ,求 $\tan \alpha$ 的值;

(3)求函数 $f(x)$ 在区间 $[ 0, 1 ]$ 上的最大值和最小值.可以利用 $0.69<\ln 2<0.7$ .

**第3题.**
在平面直角坐标系中,考虑点 $P$ 按照下面的规则(i), (ii)每隔 $1$ 秒进行移动.

(i) $P$ 的起点为 $(2,1)$ ;

(ii)当某一时刻 $P$ 在点 $(a,b)$ 时,在 $1$ 秒后 $P$

以 $\displaystyle\frac{1}{3}$ 的概率移动到与点 $(a,b)$ 关于 $x$ 轴对称的点;

以 $\displaystyle\frac{1}{3}$ 的概率移动到与点 $(a,b)$ 关于 $y$ 轴对称的点;

以 $\displaystyle\frac{1}{6}$ 的概率移动到与点 $(a,b)$ 关于 $y=x$ 对称的点;

以 $\displaystyle\frac{1}{6}$ 的概率移动到与点 $(a,b)$ 关于 $y=-x$ 对称的点.

请回答以下问题,对于第(1)问,只需写出结论即可.

(1)写出 $P$ 能取到的所有点的坐标;

(2)设 $n$ 为正整数,证明第 $n$ 秒后 $P$ 在点 $(2,1)$ 的概率和第 $n$ 秒后 $P$ 在点 $(-2,-1)$ 的概率相等;

(3)设 $n$ 为正整数,求第 $n$ 秒后 $P$ 移动到点 $(2,1)$ 的概率.

**第4题.**
已知函数 $\displaystyle f(x)=-\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+4\sqrt{2}$ ,对于满足 $0 < t<4$ 的实数 $t$ ,圆心在 $x$ 轴上的圆 $C_t$ 经过平面直角坐标系上的点 $(t,f(t))$ ,并在这点处与抛物线 $y=f(x)$ 有相同的切线.

(1)若圆 $C_t$ 的圆心坐标为 $(c(t),0)$ ,半径为 $r(t)$ .请用 $t$ 的整式表示 $c(t)$ 和 $\{r(t)\}^2$ .

(2)实数 $a$ 满足 $0<a<f(3)$ ,若圆 $C_t$ 经过点 $(3,a)$ ,求满足范围 $0<t<4$ 的实数 $t$ 的个数.

**第5题.**
在空间直角坐标系中取三点 $A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$ , $D$ 为线段 $AC$ 的中点,求三角形 $ABD$ 的边界和内部绕 $x$ 轴旋转一周得到的立体体积.

**第6题.**
在不小于 $2$ 的整数中,除 $1$ 和自身外没有其它正约数的数称为素数.请回答以下问题.

(1)设函数 $f(x)=x^3+10x^2+20x$ ,求使得 $f(n)$ 为素数的整数 $n$ ;

(2)设 $a,b$ 为给定的整数,函数 $g(x)=x^3+ax^2+bx$ ,证明使得 $g(n)$ 为素数的整数 $n$ 不超过 $3$ 个.

**京都大学2024年招生理科数学试题**

**第1题.**
用 $n$ 种不同颜色给正方体各个面涂上颜色,每个面只涂一种颜色,且有公共边的任何两个面涂上不同颜色的概率为 $p_n$ .请回答下面问题.

(1)求 $p_4$ ;

(2)求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ .

**第2题.**
对于满足 $|x|\leqslant 2$ 的复数 $x$ 和满足 $|y-(8+6i)|=3$ 的复数 $y$ ,考虑 $\displaystyle z=\frac{x+y}{2}$ .请画出这样的复数 $z$ 在复平面中所在的区域,并求出其面积.

**第3题.**
空间直角坐标系中的四个点 $O,A,B,C$ 不在同一平面上,记线段 $OA$ 的中点为 $P$ ,线段 $AB$ 的中点为 $Q$ .对于实数 $x,y$ ,直线 $OC$ 上的点 $X$ 和直线 $BC$ 上的点 $Y$ 按如下确定:
$\overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OC},\quad \overrightarrow{BY}=y\overrightarrow{BC}.$
求使得直线 $QY$ 和直线 $PX$ 异面的 $x,y$ 的充要条件.

**第4题.**
对于给定的正整数 $a_0$ ,由正整数构成的数列 $a_0,a_1,a_2,\cdots$ 满足
$\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases} \displaystyle\frac{a_n}{2}, & \mbox{若$a_n$为偶数,} \\ \displaystyle\frac{3a_n+1}{2}, & \mbox{若$a_n$为奇数.} \end{cases}$
请回答以下问题.

(1)求使得 $a_0,a_1,a_2,a_3$ 均为奇数的最小正整数 $a_0$ ;

(2)求使得 $a_0,a_1,\cdots,a_{10}$ 均为奇数的最小正整数 $a_0$ .

**第5题.**
设常数 $a$ 满足 $a\geqslant 1$ .在平面直角坐标系中, $D_a$ 表示以下四个不等式所表示的区域:
$x\geqslant 0,\quad \frac{e^x-e^{-x}}{2}\leqslant y,\quad y\leqslant \frac{e^x+e^{-x}}{2},\quad y\leqslant a.$
请回答下列问题.

(1)求 $D_a$ 的面积 $S_a$ ;

(2)求 $\displaystyle\lim_{a\to\infty}S_a$ .

**第6题.**
对于正整数 $k$ ,记 $a_k=2^{\sqrt{k}}$ .设 $n$ 为正整数, 记 $a_k$ 的整数部分为 $n$ 位的 $k$ 的个数为 $N_n$ .并记 $a_k$ 的整数部分为 $n$ 位,最高次数字为 $1$ 的 $k$ 的个数为 $L_n$ ,求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{L_n}{N_n}$ .