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数学相关教材介绍

数学分析

数学分析是数学系最重要的一门课,经常一个点就会引申出今后的一门课,并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课,这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应,其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计 15 学分 270 学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》,或者叫数学一的高数部分。

记住以下几点

  1. 对于数学分析的学习,勤奋永远比天分重要。
  2. 学数学分析不难,难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。
  3. 别指望第一遍就能记住和掌握什么,请看第二遍,第三遍,…,第阿列夫遍。
  4. 看得懂的仔细看,看不懂的硬着头皮看。
  5. 课本一个字一个字的看完,至少再看一本参考书,尽量做一本习题集。
  6. 开始前三遍,一本书看三遍效果好于三本书看一遍;第四遍开始相反。
  7. 经常回头看看自己走过的路。

以上几点请在学其他课程时参考。

数学分析书

初学从中选一本教材,一本参考书就基本够了。我强烈推荐 11,推荐 1,2,7,8。另外建议看一下当不了教材的 16,20。

中国人自己写的

  1. 《数学分析》陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中著(新版作者顺序颠倒)。
    • 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》,是数学系用的时间最长,用的最多的书,大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版,现在出了第三版,但是里面仍有一些印刷错误,不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案,不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂,而且比其他书少了一俩个知识点,比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理,实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。
  2. 《数学分析》华东师范大学数学系著
    • 师范类使用最多的书,课后习题编排的不错,也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书,难度比上一本有一些降低,不过还是值得一看的。
  3. 《数学分析》陈纪修等著
    • 以上三本是考研用的最多的三本书。
  4. 《数学分析》李成章,黄玉民
    • 是南开大学一个系列里的数学分析分册,这套教材里的各本都经常被用到,总体还是不错的,是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。
  5. 《数学分析讲义》刘玉链
    • 数学分析老师推荐的一本书,不过我没有看,最近应该出了新版,貌似是第五版,最初是一本函授教材,写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起,事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了,总之可以看看。
  6. 《数学分析》曹之江等著
    • 内蒙古大学数理基地的教材,偏重于物理的实现,会打一个很好的基础,不会盲目的向 n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。
  7. 《数学分析新讲》张筑生
    • 公认是一本新观点的书,课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。
  8. 《数学分析教程》常庚哲,史济怀著
    • 中国科学技术大学教材,课后习题极难。
  9. 《数学分析》徐森林著
    • 与上面一本同出一门,清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚,看起来很慢。
  10. 《数学分析简明教程》邓东翱著
    • 也是一本可以经常看到的书,作者已经去世。国家精品课程的课本。
  11. 《数学分析教程》许绍浦著
    • 南京大学出版社这些书应该够了,其他书不一一列举。从中选择一本当作课本就可以了。

外国数学分析教材

  1. 《微积分学教程》菲赫金格尔茨著
    • 数学分析第一名著,不要被它的大部头吓到。我大四上半年开始看,发现写的非常清楚,看起来很快的。强烈推荐大家看一下,哪怕买了收藏。买书不建议看价格,而要看书好不好。一本好的教科书能打下坚实的基础,影响今后的学习。
  2. 《数学分析原理》菲赫金格尔茨著
    • 上本书的简写,不提倡看,要看就看上本。
  3. 《数学分析》卓立奇
    • 观点很新,最近几年很流行,不过似乎没有必要。
  4. 《数学分析简明教程》辛钦
    • 课后没有习题,但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。但是随着习题集的更新,题已经对不上号了,不过辛钦的文笔还是不错的。
  5. 《数学分析讲义》阿黑波夫等著
    • 莫斯科大学的讲义,不过是一本讲义,看着极为吃力,不过用来过知识点不错。
  6. 《数学分析八讲》辛钦
    • 大师就是大师,强烈推荐。
  7. 《数学分析原理》rudin
    • 中国的数学是从前苏联学来的,和俄罗斯教材比较像,看俄罗斯的书不会很吃力。不过这本美国的书还是值得一看的。写的简单明了,可以自己试着把上面的定理推导一遍。
  8. 《微积分与分析引论》库朗
    • 又一本美国的经典数学分析书。有人认为观点已经不流行了,但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。
  9. 《流形上的微积分》斯皮瓦克
    • 分析的进一步。中国的数学分析一般不讲流形上的微积分,不过流形上的微积分是一种潮流,还是看一看的好。
  10. 《在南开大学的演讲》陈省身
    • 从中会有一些领悟,不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。
  11. 华罗庚《高等数学引论》科学出版社

数学分析习题集

不做题就如同没有学过一样。希望将课本后的习题一道道自己做完,不要看答案。买习题集也要买习题集,不买习题集的答案。

  1. 《吉米多维奇数学分析习题集》
    • 最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好,批评计算题数目过多,不适合数学系等等。但这本习题集不再被广泛使用的原因是那本习题解答的出现,学生对答案的抄袭使这部书失去了价值。如果你不看答案的话它依然是数学分析第一习题集。不要没有做过就盲目的批评。 有 .没有做过自己心里知道,并会影响自己今后的学习。
  2. 《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第二版,林源渠,方企勤等
    • 两本书一样的,再版换了名字。第一版网上有电子版,第二版可以买纸版。和 3 成一套。
  3. 《数学分析习题集》林源渠,方企勤等
    • 由于《吉米多维奇数学分析习题集》答案的出现使这本书得到的评价变高了,原因是这本书没有答案。只能自己做。
  4. 《数学分析习题精解》科学出版社版,还有裴礼文或者钱吉林的书
    • 过考试不错,要学数学分析不提倡。

解析几何

解析几何有被代数吃掉的趋势,不过就数学系的学生而言,还是应该好好学一下,我大一没有好好学,后来学别的课时总感觉哪里有些不太对劲,后来才发现是自己的数学功底尤其是几何得功底没有打好。

  1. 吴光磊《解析几何简明教程》高等教育出版社
    • 写的简单明了,我基础没有打好,快速翻了一下这本书收获还是不少的。不过打基础的时候还是从下面三本选一本看,把这本当参考书。
  2. 《解析几何》丘维声,北京大学出版社我大一时的课本
  3. 《解析几何》吕根林,许子道
  4. 《解析几何》尤承业

2,3,4 写的大同小异习题集有巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》不过不是那么容易找的到了代数前面说过代数有吃掉几何的倾向,所以有许多与时俱进的《代数与几何》。不过还是建议分开学,一门一门的打好基础。许多所谓的简明教程,还有将代数与解析几何合在一起的课本目前都还不是非常成熟。不建议使用。

高等代数

  1. 《高等代数》北京大学数学系代数与几何教研室代数小组
    • 目前国内各大学尤其是综合大学数学系广泛采用的代数教材,有着悠久的传统。目前通常使用的是第三版。也是各大学的考研指定用书。这本书更多以教师为主,给了教师以很大的发挥空间,受到教师的普遍欢迎。不过对基础不好的学生在某些地方有一定的难度。讲到了所有应该讲的内容。
  2. 《高等代数》张禾瑞,郝鈵新
    • 被各个师范大学的数学系广泛使用,和 1 同分天下。张禾瑞已经去世,但书已经出到第五版。
  3. 《线性代数》李烔生,中国科学技术大学出版社
    • 中科大的书一向比较难。
  4. 《线性空间引论》叶明训,武汉大学出版社
  5. 《高等代数学》张贤科,清华大学出版社
  6. 《线性代数与矩阵论》许以超,高等教育出版社
    • 以上三本是一份书单上写的,拿了过来,不过我知道 5 还是不错的
  7. 《代数学引论》柯斯特利金
    • 一本和菲赫金戈尔茨的《微积分学教程》齐名的伟大数学著作。一本传世经典,没有什么可多说的。最近刚刚有新译本出版,共分了三册,但都不是很厚,也不贵。
  8. 《线性代数习题集》普罗斯库列柯夫
  9. 《高等代数习题集》法捷耶夫,索明斯基
    • 8,9 是前苏联的经典代数习题集分别有两千道和一千道题,做完会打下非常好的基本功。
  10. 《高等代数》丘维声著
    • 书写的不错,不过是北京大学数学系用书,北京大学的教学内容和重点一贯与国内其他大学的不太一样,而且邱维声采用了与其他教材完全不同的编排方式,所以用这本书研也许有一些不适应。建议用来作参考书而不是教材。
  11. 《高等代数习题集》杨子胥著
    • 相对 8,9 很容易买到,很多人用来做考研的参考书,而且符合所谓的教学或考研大纲。
  12. 《线性代数》蒋尔雄,高锟敏,吴景琨
    • 著名为线性代数,实际上是一本高等代数教材。是一本非常老的为当时计算数学专业编写的书。 市面上根本找不到,但各大学的藏书中肯定会有。

近世代数

近世代数不光是数学系最重要的几门课,而且在计算机方面有很多应用,通常的离散数学第二部分就是近世代数内容,也叫抽象代数。

  1. 《近世代数引论》冯克勤
  2. 《近世代数》熊全淹
  3. 《代数学》莫宗坚
  4. 《代数学引论》聂灵沼
  5. 《近世代数》盛德成
    • 分析的后继课程有常微分方程,偏微分方程,实变函数,复变函数,泛函分析。

常微分方程

  1. 《常微分方程教程》丁同仁、李承治,高等教育出版社
    • 公认的国内写的最好的教材。
  2. 《常微分方程》王高雄等
    • 使用相当广泛的教材。初学建议从 1,2 中选
  3. 《常微分方程》V.I.Arnold
    • 常微分不可不读的书。
  4. 《常微分方程》庞特里亚金
    • 前苏联教材,作者是数学奇才,因为化学实验的一次事故导致双目失明,不得已转而学数学,成为一代数学大师。
  5. 《常微分方程习题集》菲利波夫
    • 很简单,打通这本书。不是题目简单,是对你的要求简单。

复变函数

  1. 《简明复分析》龚昇
    • 写的非常有特色的一本书。
  2. 《Complex Analysis 》L.V.Ahlfors
    • 学数学还是提倡多看大师的著作
  3. 《复变函数》余家荣
  4. 《复变函数》钟玉泉上面
    • 两本是国内数学系用的最多的书,不过通常会剩下一到两章讲不完。
  5. 《解析函数论初步》H.嘉当
  6. 《应用复分析》任尧福
  7. 《复变函数论习题集》沃尔科维斯

实变函数

  1. 《实变函数与泛函分析概要》郑维行
    • 很好的入门书。
  2. 《实变函数论》周民强
    • 普遍认为是一本非常好的书,不过个人认为对基础不是很好的人来说比较难懂。写法和其他几本不太一样。
  3. 《实变函数》江泽坚,吴志泉
    • 我初学时用的书,和 2 相比我更愿意用这本和 4
  4. 《实变函数与泛函分析》夏道行,伍卓人,严绍宗,舒五昌
    • 上世纪八十年代中国大学数学系的标准课本,2009 年 3 月会出新版。强烈推荐这本和上一本。虽然厚,但是相当详细。
  5. 《实变函数论的定理与习题》鄂强
  6. 《实变函数论习题集》捷利亚科夫斯基
    • 和分析一样要多做题。

泛函分析

  1. 《泛函分析讲义》张恭庆
    • 个人感觉写的比较混乱,不过各个大学数学系都在用。
  2. 《实变函数与泛函分析》夏道行
    • 上面说过,再推荐一次,虽然有点厚。
  3. 《实变函数与泛函分析概要》郑维行
  4. 《泛函分析习题集》安托涅维奇
  5. 《函数论与泛函分析初步》柯尔莫哥洛夫
    • 好好看完会有收获。大师的经典名著,包括了实变函数,泛函分析,变分等各方面的内容
  6. 《泛函分析理论习题解答》克里洛夫

偏微分方程

  1. 《偏微分方程》陈祖墀
  2. 《广义函数与数学物理方程》齐民友
  3. 《数学物理方程讲义》姜礼尚
  4. 《数学物理方程》谷超豪,李大潜等
  5. 《偏微分方程教程》华中师范大学
  6. 《数学物理方程习题集》弗拉基米洛夫
    • 谷超豪,李大潜的书是用的时间相当长的一本老教材,5 添加了一些新内容,将一阶方程的解法也加了进来。
  7. 《数学物理方法》梁昆淼。
    • 数学物理方法是非数学专业的课相当于数学系的偏微分方程和复变函数
  8. 《数学物理方程》柯朗
    • 学物理的人趁着年轻还是好好打一打基础。
  9. 《特殊函数概论》王竹溪中国人写的书里面足以自豪的一本,王老先生是杨振宁的老师。

概率论

分三部分内容:概率论,数理统计和随机过程

概率论

  1. 《概率论基础》李贤平
  2. 《概率论引论》汪仁官
  3. 《概率论与数理统计》(上、下),中山大学数学力学系编
    • 概率论学起来很容易,但是题做起来就不是那么一回事了。

数理统计

  1. 《数理统计学教程》陈希孺
  2. 《数理统计学讲义》陈家鼎
  3. 《数理统计基础》陆璇
  4. 《数理统计习题集》中国科学技术大学统计与金融系
  5. 《数理统计》赵选民

随机过程

  1. 《随机过程及应用》陆大金
  2. 《随机过程》孙洪祥
  3. 《随机过程论》钱敏平,龚鲁光
    • 很多学校没有随机过程,但这部分还是相当重要的,无论工科还是经济或者数学本身。

微分几何

  1. 《微分几何》彭家贵
  2. 《微分几何》陈省身
  3. 《微分几何讲义》吴大任
  4. 《微分几何》陈维垣
  5. 《微分几何习题集》菲金科
  6. 《微分几何理论与习题》里普希茨

拓扑学

  1. 《点集拓扑讲义(第二版)》熊金城
  2. 《拓扑空间论》儿玉之宏
  3. 《基础拓扑学》M.A.Armstrong
  4. 《点集拓扑学》《点集拓扑学题解与反例》陈肇姜
  5. 《几何学与拓扑学习题集》巴兹列夫
    • 再说一次,忽视几何,包括解析几何,微分几何,拓扑学会后悔的。

数学基础

  1. 《数学基础》汪芳庭
  2. 《数学概观》戈丁刚开始学时翻一翻会知道数学什么。
  3. 《什么是数学》克朗,罗宾一代名著。

离散数学

  1. 《基础集合论》北师大
  2. 《面向计算机科学的数理逻辑》陆钟万
  3. 《图论及其算法》王树禾
  4. 《图论及其应用》Bondy ,Murty
  5. 《离散数学》耿素云,屈婉玲
  6. 《具体数学》格拉厄姆,高德纳等有英文版与中文版

数值分析

计算数学方向传统的科目是数值逼近,数值代数,数值优化,微分方程数值解法。 数值逼近,数值代数,微分方程数值解法合称数值分析,数值优化和运筹学有点像。 传统的教材是下面四本(不算 1):全部由人民教育出版社出版

  1. 蒋尔雄,高坤敏,吴景坤的《线性代数》
  2. 李岳生,黄友谦的《数值逼近》
  3. 曹志浩,张德玉,李瑞遐的《矩阵计算和方程求根》
  4. 王德人的《非线性方程组解法与最优化方法》
  5. 李荣华,冯果忱的《微分方程数值解法》
  6. 《数值分析方法》奚梅成
  7. 《数值计算方法》林成森
  8. 《数值逼近》王仁宏
  9. 《矩阵数值分析》邢志栋
  10. 《最优化理论与算法》陈宝林
    • 要求不高的话可以只看一本《数值分析》就够用了,一些大学似乎就是这么干的,只讲数值分析一门,将剩下的时间用来讲计算机的内容。
  11. 《数值分析》李庆扬,王能超,易大义
    • 似乎是不错的选择,应用数学专业好像都是用这本。
  12. 《数值分析基础》李庆扬,王能超,易大义
  13. 《数值逼近》蒋尔雄,赵风光
  14. 《微分方程数值解法》余德浩,汤华中
  15. 《微分方程数值解法》李立康,於崇华,朱政华
    • 看一个学校的计算数学是真的计算数学还是所谓的信息与计算,只要看一下上不上微分方程数值解就行了。
  16. 《数值优化》袁亚湘,孙文瑜书名
    • 好像不是这个,看作者
  17. 《数值分析引论》,易大义

信息论

  1. 《信息论基础》叶中行
    • 专门为数学系写的信息论
  2. 《信息论,编码与密码学》Ranjan Bose

来源:https://github.com/yuerYDP/Math_learning_group/blob/master/recommended_textbooks.md

 

 

史怀济《数学分析》学习笔记

《数学分析》,史怀济,中国科学大学,视频:共220讲,B站视频链接

因为此文件包含大量的公式,如果:

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第一章 实数和数列极限

1.1 实数

问题1.1

1. 非负整数 aabb 使得 a2+b2ab+1a2+b2ab+1为整数,求证这个整数必是某一个整数的平方。

方法一(反证法、韦达跳跃):

k=a2+b2ab+1k=a2+b2ab+1

  • 假设存在一个或更多不是完全平方数的解 kk 。
  • 对特定 kk ,(x,y)=(A,B)(x,y)=(A,B) 是方程 x2+y2mxy=0x2+y2mxy=0 正整数解对。
  • 由于 x2+y2mxym=0x2+y2mxym=0 是关于 x,y 对称的方程,先设 ABAB
  • 再设原整数方程关于 AA 的二次方程,即为:x2+b21kBxm=0x2+b21kBxm=0x=Ax=A 是其中一个正整数根。利用韦达定理,可将另一根表示成x2=kBAx2=kBA或是x2=B2kAx2=B2kA
  • 从 x2x2的第一个表示式可得x2x2为整数,第二个表示式可得x20x20,因为kk不是完全平方数。进一步,从x22+b2x2B+1=k>0x22+b2x2B+1=k>0可得x2x2为正整数。
  • 最后,从A>BA>B可推出x2=B2kA<Ax2=B2kA<A,所以x2+B<A+Bx2+B<A+B,与A+BA+B为最小矛盾。

方法二(无穷递降法):

令 k=a2+b2ab+1k=a2+b2ab+1

  1. 当 a=ba=b时,
  • k = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = (2 - k)a^2 &gt; 0k = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = (2 - k)a^2 &gt; 0,即: 2 - k &gt; 0, k \in (0, 2)2 - k &gt; 0, k \in (0, 2),因为kk是整数,那么 k=1k=1
  1. 当 abab,设 a &gt; ba &gt; b,则
  • k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} &gt; \frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} &gt; 1k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} &gt; \frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} &gt; 1
  • 根据题目条件,得到a2bka+b2k=0a2bka+b2k=0, 且该方程必有正整数根 aa。设另一根为 a1a1。得到
    • a2bka+b2k=0,a2bka+b2k=0,(1)
    • a21bka1+b2k=0,a21bka1+b2k=0,(2)
  • (1),(2)(1),(2)两式相减及相加(其实这是韦达定理),可以得到
    • a+a1=bk,a+a1=bk,(3)
    • b2k=aa1,b2k=aa1,(4)
    • 根据题目定义,b,kb,k 是整数,所以 a1a1是整数。
  • 接着证明 a1a1 的正负性:
    • 设 a11a11, 则 (a21+b2)=k(a1b+1)k(b+1)0(a21+b2)=k(a1b+1)k(b+1)0 不成立,所以 a10a10
    • 所以 0 \leq a_1 = \frac{b^2 - k}{a} &lt; \frac{b^2}{a} &lt; b &lt; a0 \leq a_1 = \frac{b^2 - k}{a} &lt; \frac{b^2}{a} &lt; b &lt; a
    • 如果 a1=0a1=0,那么kk为平方数,所以只用讨论 0 &lt; a_1 &lt; b &lt; a0 &lt; a_1 &lt; b &lt; a的情况
  • 对 k=a2+b2ab+1k=a2+b2ab+1重复上面的推理,可知存在整数b1b1满足 b &gt; a_1 &gt; b_1 \ge 0b &gt; a_1 &gt; b_1 \ge 0,使得 k=a21+b21a1b1+1k=a21+b21a1b1+1
  • 这样回到了原来的情况,不过这时有 a &gt; b &gt; a_1 &gt; b_1a &gt; b &gt; a_1 &gt; b_1
  • 上述过程可以无限循环,最后必然有一个 ai=0ai=0 或 bi=0bi=0。不论任何情况,kk都是一个平方数。

问题1.2

2.若a1a2ana1a2anb1b2bnb1b2bn,证明Tchebycheff不等式: ni=1aini=1binni=1aibini=1aini=1binni=1aibi

证明:

排序不等式可知,最大的和为顺序和:a1b1++anbna1b1++anbn

因此有:

  • a1b1+a2b2++anbn=a1b1+a2b2++anbna1b1+a2b2++anbn=a1b1+a2b2++anbn
  • a1b1+a2b2++anbna1b2+a2b3++anb1a1b1+a2b2++anbna1b2+a2b3++anb1
  • a1b1+a2b2++anbn=a1b3+a2b4++anb2a1b1+a2b2++anbn=a1b3+a2b4++anb2
  • a1b1+a2b2++anbna1bn+a2b1++anbn1a1b1+a2b2++anbna1bn+a2b1++anbn1

将这nn个不等式分边相加,同时对右边进行因式分解,便得到:

n(a1b1+a2b2++anbn)(a1+a2+a3++an)(b1+b2++bn)n(a1b1+a2b2++anbn)(a1+a2+a3++an)(b1+b2++bn) 两边同时处于nn,即证明了命题。

1.2 数列和收敛数列

例四里用到 几何平均-算术平均不等式:

nx1x2xnx1+x2++xnnnx1x2xnx1+x2++xnn

1.3 收敛数列的性质

练习题 1.3 第3、4、5题

1.4 数列极限的推广

练习题 1.4 第3题

1.5 单调数列

练习题 1.5 第1题

1.6 自然对数的底 e

对于

en=(1+1n)nen=(1+1n)n

是单调递增数列,并且有上界。

证明用到二项式定理有: en=1+nk=1(nk)1nken=1+nk=1(nk)1nk

自然对数 ee : e=limn(1+11!+12!++1n!)e=limn(1+11!+12!++1n!) 练习题 1.6 第2题

1.7 基本列和Cauchy收敛原理

基本列的定义:设anan是一列实数列。对任意给定的ϵ>0ϵ>0,若存在$N\in N^使m, n\in N^m,n&gt;N|a_m-a_n|&lt;\epsilon$

数列收敛的充分必要条件是,数列是基本列。

引理:从任一数列中必可取出一个单调子列。

定理 Bolzano-Weierstrass定理:从任何有界的数列中必可选出一个收敛的子列。

定理:一个数列收敛的充分必要条件是它是基本列。

1.8上确界和下确界

定义1.8.1:设E为一非空的有上界的集合,实数β满足一下两个条件:

  • 对任何xE,有xβ
  • 对任意给定的ϵ>0,必可找到一个xϵE,使得xϵ>βϵ

这时,称β为集合E的上确界,记作β=supE

定义1.8.2:设E为一非空的有上界的集合,实数α满足一下两个条件:

  • 对任何xE,有xα
  • 对任意给定的ϵ>0,必可找到一个$y\epsilon \in E使x\epsilon < \alpha + \epsilon$

这时,称α为集合E的下确界,记作α=infE

定理1.8.1:非空的有上界的集合必有上确界;非空的有下界的集合必有下确界。

1.9 有限覆盖定理

定义1.9.1:如果A是实数集,\mathscr{J}=\left{I_{\lambda}\right}是一个开区间族,其中λΛ,这里的Λ称为指标集。如果 AλΛIλ 称开区间族IλA的一个开覆盖,或者说Iλ盖住了A

\mathscr{J}=\left{I_{\lambda}\right}A开覆盖也可以等价叙述为:任取 aA,总有J中的一个成员,记为Iλ(a),使得aIλ(a)

定理1.9.1(紧致性定理):设[a,b]是一个有限闭区间,并且它有一个开覆盖Iλ,那么从这个开区间族中必可选取有限个成员(开区间)来,这有限个开区间所成的族任事[a,b]的开覆盖。也称为有限覆盖定理、Heine-Borel定理。

1.10 上极限和下极限

定义1.10.1:设an是一个数列,E是由an的全部极限点构成的集合。记 a =supE,a =infE a ,a 分别称为数列an的上极限和下极限,记为 $$ \limsup {n \rightarrow \infty} a{n}, \quad \liminf {n \rightarrow \infty} a{n} $$ 定理1.10.1:设an是一个数列,Ea的定义同前,那么:

  • aE
  • 若$x > a^N \in N^使n \geq Na_n < x$;
  • a是满足前两条性质的唯一数。

定理1.10.2:设anbn是两个数列:

  • $\liminf {n \rightarrow \infty} a{n} \leq\limsup {n \rightarrow \infty} a{n}$;
  • limnan=a当且仅当$\liminf {n \rightarrow \infty} a{n} = \limsup {n \rightarrow \infty} a{n} = a$;
  • N是某个正整数,当n>N时,anbn,那么

<p>lim infnanlim infnbn,lim supnanlim supnbn</p>

定理1.10.3:对于数列an,定义αn=infknakβn=supknak,那么:

  • αn是递增数列,βn是递减数列;
  • $\lim_{n\rightarrow \infty}\alpha_n = a_,\lim_{n\rightarrow \infty}\beta_n = a^$。

1.11 Stolz定理

定理1.11.1 (Stolz,):设bn是严格递增且趋于+的数列。如果 $$ \lim {x \rightarrow \infty} \frac{a{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A \lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}=A $$ 其中A可以是+或者

第二章 函数的连续性

2.1 集合的映射

定义 2.1.1:设A,Bs是两个集合,如果f是一种规律,使得对A中的每一个元素xB中唯一确定的元素——记作f(x)——与x对应,则称f是一个AB的映射,用 f:AB 来表示。集合A叫作映射f的定义域;f(x)B叫作x在映射f之下的像或fx的值。

定义2.1.2:相等:设f:AB,且g:AB。如果对任何xA,均有f(x)=g(x),则称映射fg相等,记为f=g

定义2.1.3:满射:设f:AB,如果f(a)=B,则称f是从AB上的满射,也就是说,B中的任何元素都是A中某一元素在f之下的像。

定义2.1.4:单射:设f:AB,如果当x,yA,且xy时,有f(x)f(y),则称f为单射。

定义2.1.5:一对一:设f:AB,既是单射又是满射,则称映射f是一对一的,这时,也说f在集合AB之间建立一个一一对应。

逆映射:f1:BA,其规律是:如果y=f(x),则f1(y)=x

定义2.1.6:设f:AB,fB,则A的子集 f1(F)=xA:f(x)F 叫做F的原像。

定义2.1.7:设映射f:BC,映射g的定义域为A。当xA1=g1(B)时,定义映射 fg(x)=f(g(x)) 显然,fg:A1C,称为映射fg的复合。

f2=ff,f3=fff,,fn=fn1f

2.2 集合的势

AB两个集合,如果存在一个从AB的一对一映射,称集合AB有相同的“势”或有相同的“基数”,称AB等价。用AB表示。这种关系具有以下性质:

  • 自反性:AA
  • 对成性:ABBA
  • 传递性:若ABBC,则AC

定义2.2.1:令N为正整数的全体,且 Nn=1,2,,n.

  • 有限集:如果存在一个正整数n,使得集合ANn,那么A叫做有限集。
  • 无限集:如果集合A不是有限集,则称A为无限集。
  • 可数集:若ANn,则称A为可数集。
  • 不可数集:若A既不是有限集,也不是可数集,则称A为不可数集。
  • 至多可数:若A是有限集或者A是可数集,则称A是至多可数的。

定理2.2.1:可数集A的每一个无限子集是可数集。

定理2.2.3:R中的全体有理数是可数的。

定理2.2.4:[0,1]上的全体实数是不可数的。

2.3 函数

函数是一类特殊的映射,如果对映射f:XYXY都是由实数组成,则f称为一个函数。

分段函数:由多个公式联合起来表示的函数

函数的和:设fg是两个函数,定义域分别为AB,那么在AB上,f+g称作fg的和,写作: (f+g)(x)=f(x)+g(x),xAB 类似的,可以定义fg的差、积、商: (fg)(x)=f(x)g(x) (fg)(x)=f(x)g(x) (fg)(x)=f(x)g(x) 反函数:设函数fXY之间建立了一个一一对应,那么有逆映射f1:YX,称f1f的反函数。

定义2.3.1:递增(递减)函数:对于函数f:XY,如果对于任何x1,x2X,只要 x_1 &lt; x_2,便有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)。严格(递减)函数:对于函数f:XY,如果对于任何x1,x2X,只要 x_1 &lt; x_2,便有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

定义2.3.1(严格)单调函数:在X上的(严格)递增或(严格)递减函数。

定理2.3.1:设函数f在其定义域X上是严格递增(递减)的,那么反函数f1必存在,f1的定义域为f(X)f1在这一集合上也是严格递增(递减)的。

练习题 2.3

2、反证法:如果f没有不动点,那么ff也没有不动点;如果f有多个不动点,那么ff也有多个不动点。

3、反证法:假设存在f(a)=d,f(d)=a,db,那么d也是不动点,与题目矛盾

4、(1)f(x)=x,f(x)=x (2)f(x)=x

7、以任何正数为周期,那么对于任意lf(x+l)=f(x)

8、(1)sin()的周期是 2π,如果sinx2是周期函数,存在l使得(x+l)2=x2+2nπ对所有的x取值成立。唯一的解是 l=0

(2)

2.4 函数的极限

定义2.4.1 函数极限:设函数f在点x0的附近有定义,但x0这一点自身可以是例外。设l是一个实数,如果对任意给定的ϵ>0,存在一个δ>0,使得对一切满足不等式0<|xx0|<δx,均有 |f(x)l|<ϵ 则称当x趋于点x0时函数f有极限l,记作 limxx0f(x)=lf(x)l(xx0) 定理2.4.2(函数极限的唯一性):若limxx0f(x)存在,则它是唯一的。

定理2.4.3:若fx0处有极限,那么fx0的一个近旁是有界的。也就是,存在整数M,δ,使得当0<|xx0|<δ时,f(x)|<M

定理2.4.4:$\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)\lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$都存在时,那么有:

  • $\lim {x \rightarrow x{0}}(f \pm g)(x)=\lim {x \rightarrow x{0}} f(x) \pm \lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$
  • $\lim {x \rightarrow x{0}}fg(x)=\lim {x \rightarrow x{0}} f(x) \cdot \lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$
  • $\lim {x \rightarrow x{0}}\frac{f}{g}(x)=\frac{\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)}{\lim {x \rightarrow x{0}} g(x)}\lim {x \rightarrow x{0}} g(x) \neq 0$

定理2.4.5:设函数f,gh在点x0的近旁(点x0自身可能是例外)满足不等式 f(x)h(x)g(x) 如果f,g在点x0有相同的极限l,那么hx0也有极限l

定理2.4.6:设存在r>0,使得当0<|xx0|<r时,不等式f(x)g(x)成立,又设在x0出这两个函数都有极限,那么 limxx0f(x)limxx0g(x) 定理2.4.7:函数fx0有极限,必须且只需对任意给定的ϵ>0,存在δ>0,使得对任意的x1,x2Bδ(ˆx0),都有|f(x1)f(x2)|<ϵ

定理2.4.8:设limxx0f(x)=l,limxt0g(t)=x0,如果在t0的某个领域Bη(t0)g(t)x0,那么 limtt0f(g(t))=l 定义2.4.2:设函数f(x0,x0+r)上有定义。设l是一个给定的实数,若对任意给定的ϵ>0,存在一个δ(0,r),使得0<xx0<δ时,有 |f(x)l|<ϵ 则称lfx0处的右极限,表示为 l=limxx+0f(x) 右极限通常记作f(x0+),类似地,可以定义fx0处的左极限f(x0)

定理2.4.9:设函数fx0的某个领域内(x0可能是例外)有定义,那么limxx0f(x) 存在的充分必要条件是 f(x0+)=f(x0) 例子: limx0sinxx=1

练习题

11、(3)xm1+xm2++1=m

(4)同理,m/n

(5)11+x+1=12

(7)

(8)=limx1(x1x1+x21x1++xm1x1)=1+2++m=(1+m)m2

2.5 极限过程的其他形式

定义2.5.1:设l是一确定实数,表达式 limxf(x)=l 的意思是,对任意给定的ϵ>0,存在一个正数A,当x满足|x|>A时,有|f(x)l|<ϵ。这时,我们说“当x趋向于无穷时,函数f有极限l”。

定义2.5.2:对任意给定的ϵ>0,存在一个正数A>0,使得当x<A时,有 |f(x)l|<ϵ

在这种情况下,我们说“在负无穷处函数f有极限l”,记作 f()=limxf(x)=l 定理2.5.1:limxf(x)=l 当且仅当 f()=limxf(x)=l,f(+)=limx+f(x)=l 同时成立。

2.6 无穷小与无穷大

定义2.6.1:设x0是一个实数,函数f(x)x0的一个近旁(可能除x0之外)有定义。如果对任意给定的正数A,存在δ>0,使得0<|xx0|<δ时,有|f(x)|>A,则称“当x趋向于x0时,函数f趋向于**无穷大**”,记作 limxx0f(x)=, 或者 f(x)(xx0)

类似的,如果limf(x)=0,则称“在该过程中,f是一个**无穷小(量)**”。

定义2.6.2:设当xx0时,fg都是无穷小,并且gx0的一个充分小的近旁(除x0外)不取零值。

(1)如果limxx0f(x)g(x)=0,那么称f是比g更高阶的无穷小;

(2)如果limxx0f(x)g(x)0,那么称f是和g同阶的无穷小;

(3)如果(2)中的极限值l=1,那么称fg石等阶的无穷小,记作fg(xx0)

类似的,如果f,g都是无穷大:

(1)如果limxx0f(x)g(x)=0,那么称g是比f更高阶的无穷大;

(2)如果limxx0f(x)g(x)0,那么称f是和g同阶的无穷大;

定理2.6.1:如果当xx0x0可以是±)时,f,g等价的无穷小或无穷大时,那么:

(1)limxx0f(x)h(x)=limxx0h(x)f(x)

(1)limxx0f(x)h(x)=limxx0g(x)h(x)

定义2.6.3:设函数f,gx0的近旁(x0除外)有定义,并且g(x)0

(1)当xx0时,若比值f(x)/g(x)保持有界,即存在正常数M,使得|f(x)|M|g(x)|成立,就用f(x)=O(g(x))(xx0)来表示;

(2)当xx0时,若比值f(x)/g(x)是一个无穷小,即limxx0f(x)g(x)=0,就用f(x)=o(g(x))(xx0)表示。

2.7 连续函数

定义2.7.1:设f:[a,b]R,我们称函数f在点x0(a,b)连续,如果 limxx0f(x)=f(x0) 也就是说,对任意给定的ϵ>0,存在一个适当的δ>0,使得当|xx0|<δ时,有 |f(x)f(x0)|<ϵ

存在处处不连续的函数(如Dirichlet函数),也存在只在一点连续的函数。

定义2.7.2:如果f(x0+)=f(x0),则函数在x0处右连续,如果f(x0)=f(x0),则函数左连续。

定理2.7.1:如果函数fgx0处连续,那么f±gfgx0处连续,进一步,若g(x0)0,则f/g也在x0处连续。

定理2.7.2:如果函数gt0处连续,记作g(t0)x0,如果函数fx0处连续,那么复合函数fgt0处连续。

定义2.7.3:设I是一个开区间,例如(a,b),(a,+),(,b),(,+)。如果函数fI上的每一点都连续,则称fI上连续,是指f(a,b)上连续,并且在a点处右连续,同时在b点处左连续。人们也称fI上的**连续函数**。不论区间I是开区间或闭区间,有限或无穷的,用C(I)I上连续函数的全体。

定理2.7.3:设f是在区间I上严格递增(减)的连续函数,那么f1f(I)上的严格递增(减)函数。

初等函数:多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数,以及经过它们有限次的四则运算、有限次复合所形成的函数,统称初等函数。

定理2.7.4:初等函数在它们各自的定义域上都是连续的。

x0是函数f定义域中的一点,如果fx0连续,则称x0为f的**连续点,否则为间断点**。

定义2.7.4:设x0是函数f的间断点:

  1. 如果f(x0+)f(x0)存在,且是有限的数,但f(x0+)f(x0),那么x0f的一个**跳跃点。差值|f(x0+)f(x0)|>0称为f在这一点的跳跃**。
  2. 如果f(x0+)f(x0)存在且有限,并且f(x0+)=f(x0)但是不等于f(x0),则称x0f可去间断点。
  3. 如果f(x0+)f(x0)中至少有一个不存在或者不是有限的数,那么x0叫做f的**第二类间断点**。
  4. 跳跃点和可去间断点统称为f的**第一类间断点**。

定理2.7.5:设f是区间(a,b)上的递增(减)函数,则f的间断点一定是跳跃点,而且跳跃点集是至多可数的。

2.8 连续函数与极限计算

如果函数fx0处连续,那么 limxx0f(x)=f(x0) 函数fx0处连续的事实可以表示为 limxx0f(x)=f(limxx0x) 极限的计算:

  1. limx0(1+x)1/x=limy(1+1/y)y=e

幂指函数:u(x)v(x)(u(x)>0)

  • u,v时连续函数时,幂指函数也是连续函数。

2.9 函数的连续性

定义2.9.1:如果对任意给定的ϵ>0,总是存在一个δ>0,使得当x1,x2I|x1x2|<δ时,有|f(x1)f(x2)|<δ,则称函数f在区间I上是**一致连续**的。

不是一致连续:当且仅当存在一个ϵ0>0,对每一个nN,都可以在I中找到两个点,记为sntn,使得虽然有|sntn|<1/n,但是 |f(sn)f(tn)ϵ0.

2.10 有限闭区间上连续函数的性质

定理2.10.1:设函数f[a,b]上连续,那么f[a,b]上一致连续。(注意,此区间必须是有界的)

定理2.10.2:有界闭区间上的连续函数必在该区间上有界。

定理2.10.3:设f[a,b]上连续,记 M=supx[a,b]f(x),m=infx[a,b]f(x), 则必存在$x^, x_ \in [a, b]使$ f(x^)=M, \quad f(x_) = m. $$ 定理2.10.4(零值定理):设f[a,b]上连续,如果f(a)f(b)<0,则必存在一点c(a,b),使得f(c)=0

定理2.10.5(介值定理):设f是在[a,b]上非常值的连续函数,γ是介于f(a)f(b)之间的任何实数,则必存在c(a,b),使得f(c)=γ

推论2.10.1:设非常数值函数fI=[a,b]上连续,那么f的值域f(I)是一个闭区间。

2.11 函数的上极限和下极限

定义2.11.1:令E=lR:xnBδ(˜x),xnx0,使f(xn)l

这是一个非空集合,设$a^=\sup E, a_=\inf Efx \rightarrow x_0limxx0supf(x),limxx0inff(x).2.11.1fI$上,那么:

  1. aE
  2. y>a,则存在δ>0,使得当 0 &lt; |x - x_0| &lt; \delta时,f(x)<y
  3. a是满足前述条件性质唯一的数。

定理2.11.2:设f,gI上有定义,那么:

  1. limxx0inff(x)limxx0supf(x)
  2. limxx0f(x)=a, 当且仅当limxx0inff(x)=limxx0supf(x)=a
  3. 若当xI时,f(x)g(x)成立,则

limxx0inff(x)limxx0infg(x),limxx0supf(x)limxx0supg(x)

2.12 混沌现象

自然界中,许多现象,是有严格的因果关系所支配的。例如月亮的阴晴圆缺、四季的更迭、日食和月食的发生……对这一类完全由因果关系支配的系统进行一般研究,自然有重大意义。这种完全由因果关系所制约的系统,通常叫做**决定性系统。研究决定性系统的数学分支称为动力系统理论**。

I是任意一个区间,函数f:II。将f反复地复合,产生f2(x)=ff(x),一般地,fn(x)=ffn1(x)(n3)。规定f0(x)=x,即表示恒等映射;f1(x)=f(x)。称fnf的**第n次迭代**。

对任意固定的xI,考虑序列 x,f(x),f2(x),,fn(x),. 如果正整数m使得fm(x)=x,乘m为点x的一个周期,称xf的一个周期点。

那么m的任何正整数倍一定也是x的一个周期。

对于上述序列叫做点xn周期轨。

定义2.12.1:设f施区间I到自身的连续映射,f满足下列条件:

(1). f的周期点的最小周期没有上界; (2). 存在I的不可数子集S,满足: (a) 对任何x,yS,xy,有 limnsup|fn(x)fn(y)|>0;​ (b) 对任何x,yS,有 limninf|fn(x)fn(y)|=0; 这时称f描述的系统为混沌系统。

第三章 函数的导数

3.1 导数的定义

视频34

定义 3.1.1(可导的定义):设函数f在点x0的近旁有定义,如果极限 limh0f(x0+h)f(x0)h 存在且有限,则称这个极限值为f在点x0的导数,记作f(x0),并称函数f在点x0可导。

定义 3.1.2(左右导数定义):设函数f在点x0的右边[x0,x0+r]上有定义。若极限 limh0f(x0+h)f(x0)h 存在且有限,则称此极限为f在点x0的右导数,记作$f'+(x_0)fx_0f'-(x_0)$。

函数f在点x0可导的充分必要条件是,在点x0左、右导数存在且相等。

定理 3.1.1(可导与连续):若函数f在点x0可导,则f必在点x0连续。

定义 3.1.3(在区间可导):如果函数f在开区间(a,b)中每一点可导,则称f(a,b)可导;如果f(a,b)可导,并且在点a处有右导数,在点b处有左导数,则称f在闭区间[a,b]可导。

3.2 导数的计算

定理 3.2.1(求导的四则运算):设函数fg在点x处可导,则f±gfg也在点x处可导;如果g(x)0,那么函数f/g也在点x处可导。具体为:

  • (1) (f±g)(x)=f(x)±g(x)
  • (2) (fg)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)
  • (3) (fg)(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)

定理 3.2.2(链式法则):设函数ϕ在点t0处可导,函数f在点x0=ϕ(t0)处可导,那么复合函数fϕ在点t0处可导,并且 (fϕ)(t0)=f(ϕ(t0))ϕ(t0) 上述法则可以推广到三个或更多组合的复合函数。

定理 3.2.3(反函数的导数):设y=f(x)在包含x0的区间I上连续且严格单调。如果它在x0处可导,且f(x0)0,那么它的反函数x=f1(y)y0=f(x0)处可导,并且 (f1)(y0)=1f(x0) 导数的几何意义:函数f在点x0处的导数f(x0),可以看成平面曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。

常见的求导公式: c=0 (xμ)=μxμ1 (ex)=ex (ax)=axlna (logax)=1xlna (lnx)=1x (sinx)=cosx (cosx)=sinx (tanx)=1cos2x (cotx)=1sin2x (arcsinx)=11x2 (arccosx)=11x2 (arctanx)=11+x2 (arccot x)=11+x2

3.3 高阶导数

设函数f在区间I上可导,那么f(x)(xI)I上定义了一个函数f,称之为f的导函数。

如果fI上可导,那么f的导函数(f)记作f,称为f的二阶导函数。

对于任何正整数nN,可以定义fn阶导函数f(n)

定理 3.3.1(Leibniz 莱布尼茨)设函数fg在区间I上都有n阶导数,那么乘积fg在区间I上也有n阶导数,并且 (fg)(n)=nk=0(n k)f(nk)g(k) 这里f(0)=f,g(0)=g。其中组合系数(n k)=n!k!(nk)!(k=0,1,,n).

3.4 微分学的中值定理

定义 3.4.1:设函数f:(a,b)R。如果对点x0(a,b),存在δ>0,使得Δ=(x0δ,x0+δ)(a,b),并且当xΔ时,f(x0)f(x),即f(x0)fΔ上的最大值,那么称f(x0)f(a,b)上的一个极大值,x0称为f的一个极大值点。

类似地,可以定义f(a,b)上的极小值和极小值点。

极小值和极大值统称极值,极小值点和极大值点统称极值点。

定理 3.4.1(Fermat):若函数f在机极值点x0(a,b)处可导,则必有f(x0)=0

定义3.4.2:满足x0(a,b)f(x0)=0,则称x0为函数f的一个驻点。

定理3.4.2(Rolle 罗尔):设函数f[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),那么存在一点ξ(a,b),使得f(ξ)=0

引理3.4.1:设函数fλ[a,b]上连续,在(a,b)上可导,并且λ(a)=1,λ(b)=0,则必存在一点ξ(a,b),使得 f(ξ)=λ(ξ)(f(a)f(b)) 定理3.4.3(Lagrange):设f[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在一点ξ(a,b),使得 f(b)f(a)ba=f(ξ) 推论3.4.1:设函数f[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则函数f[a,b]上为常数的充分必要条件是 f=0(a,b)上成立。

定理3.4.4(Cauchy):设函数fg在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)上可导,且当x(a,b)时,g(x)0,这时必存在一点ξ(a,b),使得 f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ) 定理3.4.5(Darboux达布):如果f[a,b]上可导,那么:

  • 导函数f可以取到f(a)f(b)之间的一切值
  • f无第一类间断点

3.5 利用导数研究函数

定理3.5.1:设函数f在区间[a,b]上连续,在(a,b)上可导,那么f[a,b]上递增(减)的充分必要条件是,f0(0)在区间(a,b)上成立。

定理3.5.2:设函数f[a,b]上连续,在(a,b)上可导。如果f>0(f<0)(a,b)上成立,那么f[a,b]上是严格递增(严格递减)的。

定理3.5.3:设函数f[a,b]上连续,在(a,b)内除了有限点之外,有正(负)的导数,那么f[a,b]上严格递增(严格递减)。

定理3.5.4:设函数f[a,b]上连续,在(a,b)上可导,那么f[a,b]上严格递增(严格递减)的充分必要条件是:

  • x(a,b)时,f0(f0)
  • (a,b)的任何开子区间上 f0

定理3.5.5:设函数f[a,b]上连续,x0(a,b)

  1. 如果存在正数δ>0,使得在(x0δ,x0)f>0,而在(x0,x0+δ)f<0,那么f(x0)f的一个严格极大值,所谓“严格极大值”是指,当0<|xx0|<δ时,f(x)<f(x0)
  2. 如果存在正数δ>0,使得在(x0δ,x0)f<0,而在(x0,x0+δ)f>0,那么f(x0)f的一个严格极小值,所谓“严格极小值”是指,当0<|xx0|<δ时,f(x)>f(x0)

定理3.5.6:设函数f[a,b]上连续,x0(a,b)f的一个驻点,进一步,设f(x0)存在,那么:

  1. f(x0)<0时,f(x0)f的一个严格极大值;
  2. f(x0)>0时,f(x0)f的一个严格极小值;

凸函数(Convex function):设函数f在区间I上有定义,如果对任何x1,x2I,x1x2,以及任意的λ1,λ2>0,且λ1+λ2=1,都有 f(λ1x1+λ2x2)λ1f(x1)+λ2f(x2)fI上的凸函数。如果上述不等式对任何的x1x2,λ1,λ2>0(λ1+λ2=1)不等号总成立,那么fI上是严格凸函数。

凸函数示例图

定理3.5.9:函数fI上市凸函数,当且仅当对任何(x1,x2)I及任何x(x1,x2)f(x)f(x1)xx1f(x2)f(x1)x2x1f(x2)f(x)x2x 如果f是严格凸函数,则上述是严格的不等号。

定理3.5.10:设f[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则f[a,b]上为凸函数(严格凸函数)的一个充分必要条件是,f(a,b)上递增(严格递增)。

定理3.5.11:设函数f[a,b]上连续,在(a,b)上有二阶导数,则f[a,b]上为凸函数的充分必要条件是,f0(a,b)上成立;而f[a,b]上为严格凸函数的充分必要条件是,f0(a,b)上成立,并且在(a,b)的任何子区间内f不恒等于0.

3.6 L'Hospital法则

定理3.6.1(L'Hospital洛必达):设f,g(a,b)上可导,并且g(x)0x(a,b)成立,又设 limxa+f(x)=limxa+g(x)=0 在这些条件下,如果极限limxa+f(x)g(x)存在(或为),那么便有 limxa+f(x)g(x)=limxa+f(x)g(x). 定理3.6.2:设函数f,g(a,+)上可导,并且g(x)0x(a,+)成立,又设 limx+f(x)=limx+g(x)=0, 如果极限limx+f(x)g(x)存在(或为),有 limxa+f(x)g(x)=limxa+f(x)g(x). 定理3.6.3:设函数f,g(a,b)上可导,并且g(x)0,且 limxa+g(x)= 如果极限limxa+f(x)g(x)存在或为,那么 limxa+f(x)g(x)=limxa+f(x)g(x).

3.7 函数作图

定义3.7.1(拐点):设函数fx0的两旁(包括x0在内)有定义,在x0的一侧图像y=f(x)时严格凸的,另一侧是严格凹的,那么称x0f的一个拐点。

定义3.7.2(渐近线):(1)如果limx+f(x)=alimaf(x)=b,则称y=ay=by=f(x)的一条水平渐近线。

(2)如果limxx+0f(x)=±limxx0f(x)=±,则称x=x0y=f(x)的一条垂直渐近线。

(3)如果a0,使得limx+(f(x)(ax+b))=0limx(f(x)(ax+b))=0,则称y=ax+by=f(x)的一条斜渐近线。

作图的步骤:

  1. 确定函数的定义域
  2. 判断函数是否有奇偶性、周期性及其他对称性
  3. 确定函数的增减区间及极值点
  4. 确定函数的凹凸区间及拐点
  5. 确定函数是否有渐近线
  6. 求出一些特殊点的值

第四章 一元微分学的巅峰

4.1 函数的微分

定义4.1.1(可微、微分):设函数f(a,b)上有定义,且x0(a,b),如果存在一个常数λ使得 f(x0+Δx)f(x0)=λΔx+o(Δx)(Δx0), 则称函数f在点x0处可微。函数的改变量的线性主要部分λΔx称为fx0处的微分,记作df(x0)

因此,当|xx0|相当小时有: f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)

一般地,关于函数四则运算的微分,有如下法则:

  • d(f±g)=df±dg
  • d(fg)=gdf+fdg
  • d(fg)=gdf+fdgg2,其中g0

导函数f可以用dfdg来表示,这是导数的Leibniz记号,因为dfdg是函数的微分与自变量的微分的商,因此导数也称为微商。

参考

  1. 数学学习小组

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