中国科学院大学2023年考研试题
中国科学院大学2023年数学分析考研试题
1. (20分) (1)求$\displaystyle\lim _{n\rightarrow +\infty}\left( \frac{2+\sqrt[n]{64}}{3} \right) ^{2n+1}$.
(2)证明:数列$\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$收敛.
2.设$f(x)$在$[a,b]$上连续,且对任何$x\in [a,b]$,存在$y\in [a,b]$,使得
$$|f(y)|\leqslant \frac{1}{2}|f(x)|.$$
证明:存在$\xi\in[a,b]$,使得$f(\xi)=0$.
3.设$f(x)$为$[a,b]$上的二阶可导函数, $f(a)=f(b)=0$,并存在一点$c\in (a,b)$,使得$f(c)=0$,且$f(x)$非常值函数.求证:存在$\xi\in(a,b)$,使得$f''(\xi)<0$.
4.对于Dirichlet级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^x}$,若级数在$x=x_0$处收敛,证明: $\displaystyle\sum_ {n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^x}$
在$[ x_0, +\infty)$上一致收敛.
特别地,级数在$x>x_0+1$时绝对收敛.
5.设$f(x)$是$\mathbb{R}$上的周期为$2\pi$的二阶连续可微函数,证明: $f$的傅里叶级数在$\mathbb{R}$上一致收敛于$f$.
6. (12分)证明:曲面$\displaystyle f\left( \frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c} \right) =0$上任一点处的切平面过某定点,其中$f$是连续可微函数.
7.求点$P$,使得$\displaystyle\begin{cases}
z=x^2+2y^2 \\
x+y=c
\end{cases}$中的$z$取得最小值.
8.计算
$$
\int_L{\frac{\left( x-\frac{1}{2}-y \right) dx+\left( x-\frac{1}{2}+y \right) dy}{\left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+y^2}},
$$
其中$L$是连接$(0,-1),(0,1)$的曲线且位于$\left(\frac{1}{2},0\right)$的右侧.
9.证明:
$$
\frac{1}{2}\iint_{\Omega}{\cos \left( \overrightarrow{r},\overrightarrow{n} \right) dS}=\iiint_V{\frac{1}{r}dxdydz},
$$
其中$\Omega$是包围$V$的曲面, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\overrightarrow{r}= (x,y,z)$, $\overrightarrow{n}$为$\Omega$的外法线方向.
10.计算$\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\cos(\alpha x)dx$.
中国科学院大学2023年高等代数考研试题
1. (1)设$g(x),h(x)$互素,求证: $\gcd (fh,g)=\gcd (f,g)$.
(2)设$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$为整系数多项式, 证明:若$ac+bc$为奇数,则$f(x)$在有理数域上不可约.
2.设$f$是一元多项式, $B$是$n$阶方阵.
(1)设$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$是$B$的所有特征值,证明: $f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n)$是$f(B)$的所有特征值.
(2)设$f$是$A$的特征多项式,证明: $A,B$有公共根的充要条件是$f(B)$是奇异的.
3.设有$n$元实二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1+a_1x_2)^2+(x_2+a_2x_3)^2+\cdots
+(x_{n-1}+a_{n-1}x_n)^2+(x_n+a_nx_1)^2$,其中$a_i\ (i=1,2,\cdots,n)$为实数.试问:当$a_1,a_2,\cdots,a_n$满足何种条件时,二次型为正定二次型?
4.设$M_{2\times 2}$是二阶矩阵集合,$\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
2 & 0
\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
3 & 1
\end{pmatrix},L:X\mapsto AXB$.
求: $L$的迹和行列式
5. (12分)设$A,B$是$\mathbb{R}^{n\times n}$上的线性变换,且$A^2=B^2=E$,其中$E$为恒等变换.
证明: (1)若$n$为奇数,则$A,B$有公共特征值;
(2)若$n$为偶数,则存在一子空间$W$,同时是$A,B$的不变子空间,且$\dim W=1$或$2$.
6.求$\displaystyle\mathrm{rank}\begin{pmatrix}
A & \alpha^T \\
\alpha & 0
\end{pmatrix}$,这里$A$是反对称矩阵.
7.设$U,V,W$是某一线性空间的子空间,证明:
$$(U+V)\cap (U+W)\cap (W+V)=U\cap (W+V)+V\cap (U+W).$$
8.证明:存在正交矩阵$Q$,使得$Q^TAQ$为对角矩阵的充要条件是$A$的特征值均为实数且$A^TA=AA^T$.
9.设$V$是內积空间, $f$是$V$上一线性变换且保持向量夹角不变.证明:存在$\lambda>0$,使得$\lambda f$是正交变换.
