中国科学院大学2023年考研试题

中国科学院大学2023年数学分析考研试题

1. (20分) (1)求 $\displaystyle\lim _{n\rightarrow +\infty}\left( \frac{2+\sqrt[n]{64}}{3} \right) ^{2n+1}$ .

(2)证明:数列 $\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$ 收敛.

2.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,且对任何 $x\in [a,b]$ ,存在 $y\in [a,b]$ ,使得
$|f(y)|\leqslant \frac{1}{2}|f(x)|.$
证明:存在 $\xi\in[a,b]$ ,使得 $f(\xi)=0$ .

3.设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的二阶可导函数, $f(a)=f(b)=0$ ,并存在一点 $c\in (a,b)$ ,使得 $f(c)=0$ ,且 $f(x)$ 非常值函数.求证:存在 $\xi\in(a,b)$ ,使得 $f''(\xi)<0$ .

4.对于Dirichlet级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^x}$ ,若级数在 $x=x_0$ 处收敛,证明: $\displaystyle\sum_ {n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^x}$
在 $[ x_0, +\infty)$ 上一致收敛.
特别地,级数在 $x>x_0+1$ 时绝对收敛.

5.设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的周期为 $2\pi$ 的二阶连续可微函数,证明: $f$ 的傅里叶级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $f$ .

6. (12分)证明:曲面 $\displaystyle f\left( \frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c} \right) =0$ 上任一点处的切平面过某定点,其中 $f$ 是连续可微函数.

7.求点 $P$ ,使得 $\displaystyle\begin{cases} z=x^2+2y^2 \\ x+y=c \end{cases}$ 中的 $z$ 取得最小值.

8.计算
$\int_L{\frac{\left( x-\frac{1}{2}-y \right) dx+\left( x-\frac{1}{2}+y \right) dy}{\left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+y^2}},$
其中 $L$ 是连接 $(0,-1),(0,1)$ 的曲线且位于 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 的右侧.

9.证明:
$\frac{1}{2}\iint_{\Omega}{\cos \left( \overrightarrow{r},\overrightarrow{n} \right) dS}=\iiint_V{\frac{1}{r}dxdydz},$
其中 $\Omega$ 是包围 $V$ 的曲面, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\overrightarrow{r}= (x,y,z)$ , $\overrightarrow{n}$ 为 $\Omega$ 的外法线方向.

10.计算 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\cos(\alpha x)dx$ .

中国科学院大学2023年高等代数考研试题

1. (1)设 $g(x),h(x)$ 互素,求证: $\gcd (fh,g)=\gcd (f,g)$ .

(2)设 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 为整系数多项式, 证明:若 $ac+bc$ 为奇数,则 $f(x)$ 在有理数域上不可约.

2.设 $f$ 是一元多项式, $B$ 是 $n$ 阶方阵.

(1)设 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 是 $B$ 的所有特征值,证明: $f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n)$ 是 $f(B)$ 的所有特征值.

(2)设 $f$ 是 $A$ 的特征多项式,证明: $A,B$ 有公共根的充要条件是 $f(B)$ 是奇异的.

3.设有 $n$ 元实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1+a_1x_2)^2+(x_2+a_2x_3)^2+\cdots +(x_{n-1}+a_{n-1}x_n)^2+(x_n+a_nx_1)^2$ ,其中 $a_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 为实数.试问:当 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足何种条件时,二次型为正定二次型?

4.设 $M_{2\times 2}$ 是二阶矩阵集合, $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix},L:X\mapsto AXB$ .
求: $L$ 的迹和行列式