简证朋友问的乙卷高考难题

(2022年高考乙卷)
已知$x=x_1$和$x=x_2$分别是函数$f(x)=2a^x-ex^2$ ($a>0$且$a\neq 1)$的极小值点和极大值点.若$x_1< x_2$,则$a$的取值范围是?

解.由$f(x)=2a^x-ex^2$得$f'(x)=2a^x\ln a-2ex$.

问题等价于方程$a^x\ln a=ex$有两个实数根$x_1,x_2\ (x_1< x_2)$,且$x_1$为$f(x)$的极小值点.

若$a>1$,当$x<0$时, $f'(x)>0$,此时$x_1$必为极大值点,矛盾.

若$0< a < 1$,由$a^x\ln a=e^{x\ln a}\ln a=ex$可得
$$e^{x\ln a}\cdot x\ln a=ex^2.$$
令$t=x\ln a$,则有
$$te^t=e\left( \frac{t}{\ln a} \right) ^2\Rightarrow \left( \ln a \right) ^2=te^{1-t}.$$
令$g(t)=te^{1-t}$,则$g'(t)=(1-t)e^{1-t}$.故$g(t)$在$(-\infty,1]$上递增,在$(1,+\infty)$上递减.

注意到$t>0$时$g(t)>0$且$g(1)=1$.则要使水平直线$y=\left( \ln a \right) ^2$与$g(t)$的图象有两个不同交点,只需满足$0<\left( \ln a \right) ^2<1$,于是$\displaystyle a\in \left(\frac{1}{e},1\right)$.