印度理工学院入学考试

 

看过电影《三傻大闹宝莱坞》的朋友都知道,在印度,人们通常认为,一流学生上印度理工学院,二流的学生才选择国外著名大学.因此,几乎所有的印度学生都将印度理工学院视为自己理想学府,并为之而奋斗.在印度的高等教育系统中,印度理工学院拥有自己独立的管理系统,其入学考试也区别于一般的大学入学考试,他们通过理工学院联合入学考试JEE (Joint Entrance Examination)来招收学生. JEE被誉为“世界上最可信的和最具竞争性的入学考试之一”,为各印度理工学院招收了大量高素质学生.每年约有 20 万考生报名参加该考试,而录取率仅为2%左右.


其初试名为“JEE Main”,每年举行两次.学生可以参加两次考试,取其中最高的成绩,在JEE Main中名列前茅的考生可参加JEE Advanced (联合入学考试复试).


JEE Advanced (以前称为IIT-JEE)是JEE考试的第二轮,通常在JEE Main考试之后进行,通常由印度理工学院七个不同的校区轮流举行.

JEE Main所有试题均为单选题,线上进行测试.


**2021年JEE Main 8月考试数学试题**

考试日期: 2021年8月26日

时间:上午9:00-12:00

1.若f(x)=cos(2arctan(sin(arccot1xx))),

(A) (1x)2f(x)2(f(x))2=0

(B) (1x)2f(x)+2(f(x))2=0

(C) (1+x)2f(x)2(f(x))2=0

(D) (1+x)2f(x)+2(f(x))2=0


2.如果允许重复,使用数字0,1,3,4,6,7可以得到多少个三位数?


3.一个点到(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)这四点距离的平方和是18,其轨迹是一个圆.如果d是此圆的直径,求d2.


4.若ln(x+y)=4xy,求d2ydx2x=0处的取值.


5.设椭圆x28+y24=1的离心率为e,求5e2.


6.在医院里, 89%的患者患有A型疾病, 98%的患者患有B型疾病, K%的患者同时患有这两种疾病,求K的最大可能值和最小可能值之和.


7.已知P(A)=p,P(B)=2p,P(AB中恰有一个发生)=59.求p的最大可能值.

8.求1212[(1x1+x)2+(1+x1x)22]dx.

9.求方程cosx1+sinx=|tanx|[0,2π]内解的个数.


10.若A,AR,AR2,AR3,这无穷多项的和为15,这些项的平方和为150,求AR2,AR4,AR6,的和.

11.若复平面上arg(z1z+1)=π4,求平面直角坐标系下此圆的标准方程.

12.一根36个单位长的金属丝被切割成两部分,分别弯曲形成一个边长为x个单位的正方形的和半径为r个单位的圆.如果由此形成的正方形和圆的面积之和最小,求此时圆的周长.

13.求limn1nr=02n1n2n2+4r2.

14.若ac=3,a=i+j+k,b=jk,a×c=b,求混合积[a b c].

15.求1212(1x1+x)2+(1+x1x)22dx.


16.求r=020r2C20r.


17.求解(1+y)tan2x+tanxy+y=0.


18.若y=11+x+21+x2+221+x4++21001+x2100,
yx=2处的值.


**2021年JEE Main 8月考试数学试题2**

考试日期: 2021年8月27日

时间:上午9:00-12:00

1.若U(n)=(1+12n2)(1+22n2)2(1+32n2)3(1+n2n2)n,
limn[U(n)]4n2.

2.若0<x<1,求32x2+53x3+74x4+的和函数.

3.求n=020(C20n)2.

 

4.若椭圆x2b2+y24a2=1 (a,b>0)上的切线与坐标轴围成三角形面积的最小值为Kab,求K的值.


5.若线性方程组2xyz=3,x+y2z=α,3x+3yβz=3有无穷多组解,求α+βαβ的值.


6. 616lnx2lnx2+ln(x244x+484)dx的值为

(A) 5

(B) 8

(C) 6

(D) 10


7.长度为20的金属丝被分割成两部分,一部分制成边长为a的正六边形,另一部分则制成正方形.如果正方形和正六边形面积之和最小,求a.

8.若圆的方程为x2+y2+px+y(1p)=0,半径r(0,5],q=p2,则满足条件的整数对(p,q)的个数为

(A) 16

(B) 14

(C) 19

(D) 21


9.在某个有偏差的骰子中,获得某特定正面的概率为(16+x),反面概率为(16x)0<x<16.获得其他各面的概率是16.骰子中两对立面的总和均为7.如果掷2次骰子得到和为7的概率是1396,则x

(A) 18

(B) 112

(C) 118

(D) 120


10.若y(0)=7dydx=2(y2sinx10)x+2cosx,求y(π).


11.若α,β为方程x2+bx+c=0的两个不同的根,求
limxβe2(x2+bx+c)12(x2+bx+c)(xβ)2.


12.若z+iz+2i为实数,则z的轨迹为

(A) x

(B) y

(C) y=x

(D) y=x2

 

13.抛物线在点P(2,4)处的切线和法线分别与准线交于A,B两点. Q(a,b)满足四边形APBQ为正方形.求2a+b

(A) 12

(B) 16

(C) 20

(D) 18


14.若y=lgx+lgx13+lgx19+2+4+6++2y3+6+9++3y=19lgx,则xy的值为

(A) x=105,y=8

(B) x=106,y=9

(C) x=106,y=8

(D) x=105,y=9


15.在ABC中,若sinAsinB=sin(AB)sin(AC), a,b,cABC的三边,则a,b,c满足的关系式为

(A) c2(a2+b2)=a2(c2b2)

(B) a2(b2c2)=b2(a2c2)

(C) ac(a2c2)=b2(a2b2)

(D) bc(a2c2)=a2(b2c2)


16.已知平面方程为xy+z=5,直线的方向向量为(2,3,6),则点P(1,3,5)沿着此直线到给定平面的距离为

(A) 2

(B) 23

(C) 3

(D) 32


17.对于0<x<1(arcsinx)2(arccosx)2=a.求2x21

(A) sin(2aπ)

(B) cos(4aπ)

(C) cos(2aπ)

(D) sin(4aπ)


18.若(2,2)满足y+xdydx=x2,则

(A) x2+2xy+12=0

(B) x2+2xy12=0

(C) x2+2xy+4=0

(D) x33xy4=0


19. 1(x2+x+1)2dx=

(A) 43arctan(2x13)+34(2x1x2+x+1)+C

(B) 433arctan(2x13)34(2x1x2+x+1)+C

(C) 433arctan(2x+13)+13(2x+1x2+x+1)+C

(D) 433arctan(2x+13)13(2x+1x2+x+1)+C

 



**2021年JEE (ADVANCED)数学试题一**

**第一部分**

本部分包含四个问题.

每个问题有四个选项(A), (B), (C)和(D).这四个选项中只有一个是正确答案.


对于每个问题,选择与正确答案相对应的选项.

每个问题的回答将根据以下评分方案进行评分:

满分:如果选择了正确的选项,加3分;

零分:如果没有选择任何选项(即问题未回答), 0分;

负分:其它情况,减1分.

1.考虑三角形Δ,它的两边位于x轴和直线x+y+1=0.如果Δ的垂心是(1,1),则经过三角形Δ三个顶点的圆的方程为

(A) x2+y23x+y=0

(B) x2+y2+x+3y=0

(C) x2+y2+2y1=0

(D) x2+y2+x+y=0


2.区域
{(x,y):0x94,0y1,x3y,x+y2}
的面积为

(A) 1132

(B) 3596

(C) 3796

(D) 1332


3.考虑三个集合E1={1,2,3},F1={1,3,4}G1={2,3,4,5}.从集合E1中不放回地随机选取两个元素,用S1表示这些所选元素的集合.设E2=E1S1F2=F1S1.现在从集合F2中不放回地随机选取两个元素,用S2表示这些所选元素的集合.


G2=G1S2.最后,从集合G2中不放回地随机选择两个元素,用S3表示这些所选元素的集合.

E3=E2S3.已知E1=E3,设p为事件S1={1,2}的条件概率.则p的值为

(A) 15

(B) 35

(C) 12

(D) 25

 

4.设θ1,θ2,,θ10为正值角度(弧度制)使得θ1+θ2++θ10=2π.对于k=2,3,,10,定义复数z1=eiθ1,zk=zk1eiθk,其中i=1.考虑下列命题PQ:
P:|z2z1|+|z3z2|++|z10z9|+|z1z10|2π,Q:|z22z12|+|z32z22|++|z102z92|+|z12z102|4π.

(A) P正确, Q错误

(B) Q正确, P错误

(C) PQ都正确

(D) PQ都错误

 

**第二部分**

本部分包含三个题干.

每个题干对应两个问题.

每个问题的答案都是一个**数值**.

对于每个问题,使用鼠标和屏幕上的虚拟数字键盘在指定位置输入与答案对应的正确数值.


如果数值的小数位数超过两位,请将数值**截断或四舍五入**到两位小数.


每个问题的答案将根据以下评分方案进行评分:

满分:如果在指定位置只输入了正确的数值,加2分;

零分:所有其它情况, 0分.

**问题5和6的题干**

**题干**

从集合S={1,2,3,,100}中可放回地随机选择三个数字.
p1为所选数的最大值至少为81的概率, p2为所选数的最小值最多为40的概率.

5. 6254p1的值为?


6. 1254p2的值为?


**问题7和8的题干**

**题干**

α,βγ为实数使得线性方程组
x+2y+3z=α,4x+5y+6z=β,7x+8y+9z=γ1
有解.设|M|表示矩阵M=[α2γβ10101]的行列式.设P为包含所有这些(α,β,γ)点的平面,使得上述线性方程组有解,且D为点(0,1,0)到平面P距离的平方.

7. |M|的值为?

8. D的值为?


**问题9和10的题干**

**题干**

考虑直线L1L2,定义为
L1:x2+y1=0L2:x2y+1=0.
对于定值λ,设C为点P的轨迹,使得PL1的距离和PL2的距离的乘积为λ2.直线y=2x+1C交于两点RS,其中RS两点间的距离为270.

RS的垂直平分线与C交于不同两点RS.设DRS两点间距离的平方.

9. λ2的值为?


10. D的值为?


**第三部分**

本部分包含六个问题.


每个问题有四个选项(A), (B), (C)和(D).这四个选项中的**一个或多个**是正确答案.

对于每个问题,选择正确答案对应的选项.


每个问题的答案将根据以下评分方案进行评分:

满分:选择了正确的选项,加4分;

部分分:如果四个选项都正确,但只选择了三个选项,加3分;

部分分:如果三个或更多选项正确,但只选择了两个选项,这两个选项都正确,加2分;


部分分:如果两个或更多选项正确,但只选择了一个选项,并且该选项正确,加1分;


零分:如果未回答,得 0分;

负分:其它情况,减2分.

 

例如,在一个问题中,如果只有(A) (B)和(D)是与正确答案相对应的三个选项,那么

仅选择(A) (B)和(D)将获得+4分;

仅选择(A)和(B)将获得+2分;

仅选择(A)和(D)将获得+2分;

仅选择(B)和(D)将获得+2分;

仅选择(A)将获得+1分;

仅选择(B)将获得+1分;

仅选择(D)将获得+1分;

不选择(即问题未回答)将得到0分,

选择任何其他选项将获得2分.

 

11.对于任意3×3矩阵M,设|M|表示M的行列式.设
E=[12323481318],P=[100001010]F=[13281813243].
Q3×3非奇异矩阵,则以下哪些命题是正确的?

(A) F=PEPP2=[100010001]

(B) |EQ+PFQ1|=|EQ|+|PFQ1|

(C) |(EF)3|>|EF|2

(D) P1EP+F对角线元素的和等于E+P1FP对角线元素的和


12.设f:RR定义为
f(x)=x23x6x2+2x+4.
则以下哪些命题是正确的?

(A) f在区间(2,1)上递减

(B) f在区间(1,2)上递增

(C) f是满射

(D) f的值域为[32,2]


13.设E,FG为三个事件,具有概率P(E)=18,P(F)=16P(G)=14,且P(EFG)=110.对任一事件H,若Hc表示它的对立事件,则以下哪些命题是正确的?

(A) P(EFGc)140

(B) P(EcFG)115

(C) P(EFG)1324

(D) P(EcFcGc)512


14.对于任意3×3矩阵M,设|M|表示M的行列式.设I3×3单位矩阵.设EF为两个3×3矩阵,使得IEF可逆.若G=(IEF)1,则以下哪些命题是正确的?

(A) |FE|=|IFE||FGE|

(B) (IFE)(I+FGE)=I

(C) EFG=GEF

(D) (IFE)(IFGE)=I


15.对于任意正整数n,设Sn:(0,)R定义为
Sn(x)=k=1narccot(1+k(k+1)x2x),
其中对任意xR, arccotx(0,π)arctanx(π2,π2).则以下哪些命题是正确的?

(A) 对所有x>0, S10(x)=π2arctan(1+11x210x)

(B) 对所有x>0, limncot(Sn(x))=x

(C) 方程S3(x)=π4(0,)上有根

(D) 对所有n1x>0, tan(Sn(x))12


16.对任意复数w=c+id,设arg(w)(π,π),其中i=1.设αβ为实数,使得对所有复数z=x+iy满足arg(z+αz+β)=π4,有序数对(x,y)位于圆x2+y2+5x3y+4=0上.则以下哪些命题是正确的?

(A) α=1

(B) αβ=4

(C) αβ=4

(D) β=4

 

**第四部分**

本部分包含三个问题.

每个问题的答案都是一个**非负整数**.


对于每个问题,使用鼠标和屏幕上虚拟数字键盘,输入与答案对应的正确整数.

每个问题的回答将根据以下评分方案进行评分:

满分:如果只输入了正确的整数,加4分;

零分:所有其它情况, 0分.


17.对于xR,方程
3x24|x21|+x1=0
实数根的个数为?

 

18.在三角形ABC中,设AB=23, BC=3CA=4.
cotA+cotCcotB的值为?


19.设u,vw为三维空间中的向量,其中uv为互不垂直的单位向量,且uw=1,vw=1,ww=4.
如果相邻边由向量u,vw表示的平行六面体的体积为2,则|3u+5v|的值为?

 



看过电影《三傻大闹宝莱坞》的朋友都知道,在印度,人们通常认为,一流学生上印度理工学院,二流的学生才选择国外著名大学.因此,几乎所有的印度学生都将印度理工学院视为自己理想学府,并为之而奋斗.在印度的高等教育系统中,印度理工学院拥有自己独立的管理系统,其入学考试也区别于一般的大学入学考试,他们通过理工学院联合入学考试JEE (Joint Entrance Examination)来招收学生. JEE被誉为“世界上最可信的和最具竞争性的入学考试之一”,为各印度理工学院招收了大量高素质学生.每年约有 20 万考生报名参加该考试,而录取率仅为2%左右.

其初试名为“JEE Main”,每年举行两次.学生可以参加两次考试,取其中最高的成绩,在JEE Main中名列前茅的考生可参加JEE Advanced (联合入学考试复试).

JEE Advanced (以前称为IIT-JEE)是JEE考试的第二轮,在JEE Main考试之后进行,通常由印度理工学院七个不同的校区轮流举行.

 


**2021年JEE (ADVANCED)数学试题二**


**第一部分(最高分: 24)**

本部分包含六个问题.


每个问题有四个选项(A), (B), (C)和(D).这四个选项中的**一个或多个**是正确答案.

对于每个问题,选择正确答案对应的选项.


每个问题的答案将根据以下评分方案进行评分:

满分:选择了正确的选项,加4分;

部分分:如果四个选项都正确,但只选择了三个选项,加3分;

部分分:如果三个或更多选项正确,但只选择了两个选项,这两个选项都正确,加2分;


部分分:如果两个或更多选项正确,但只选择了一个选项,并且该选项正确,加1分;


零分:如果未回答,得 0分;

负分:其它情况,减2分.

 

例如,在一个问题中,如果只有(A) (B)和(D)是与正确答案相对应的三个选项,那么

仅选择(A) (B)和(D)将获得+4分;

仅选择(A)和(B)将获得+2分;

仅选择(A)和(D)将获得+2分;

仅选择(B)和(D)将获得+2分;

仅选择(A)将获得+1分;

仅选择(B)将获得+1分;

仅选择(D)将获得+1分;

不选择(即问题未回答)将得到0分,

选择任何其他选项将获得2分.

1.设
S1={(i,j,k):i,j,k{1,2,,10}},S2={(i,j):1i<j+210,i,j{1,2,,10}},S3={(i,j,k,l):1i<j<k<l,i,j,k,l{1,2,,10}},

S4={(i,j,k,l):i,j,kl{1,2,,10}中的不同元素}.

若集合Sr中的元素总数为nr, r=1,2,3,4,则以下哪些命题是正确的?

(A) n1=1000

(B) n2=44

(C) n3=220

(D) n412=420


2.考虑三角形PQR,它的角P,QR的对边长分别为p,qr.则以下哪些命题是正确的?

(A) cosP1p22qr

(B) cosR(qrp+q)cosP+(prp+q)cosQ

(C) q+rp<2sinQsinRsinP

(D) 若p<qp<r,则cosQ>prcosR>pq


3.设f:[π2,π2]R为连续函数,使得f(0)=10π3f(t)dt=0.则以下哪些命题是正确的?

(A) 方程f(x)3cos3x=0(0,π3)上至少有一个解

(B) 方程f(x)3sin3x=6π(0,π3)上至少有一个解

(C) limx0x0xf(t)dt1ex2=1

(D) limx0sinx0xf(t)dtx2=1

 

4.对任意实数αβ,设yα,β(x),xR为微分方程dydx+αy=xeβx,y(1)=1的解.设S={yα,β(x):α,βR}.则以下哪些函数属于集合S?

(A) f(x)=x22ex+(e12)ex

(B) f(x)=x22ex+(e+12)ex

(C) f(x)=ex2(x12)+(ee24)ex

(D) f(x)=ex2(12x)+(e+e24)ex

 

5.设O为原点, OA=2i+2j+k,OB=i2j+2k且对某个λ>0,有
OC=12(OBλOA).
|OB×OC|=92,则以下哪些命题是正确的?

(A) OCOA上的投影为32

(B) 三角形OAB的面积为92

(C) 三角形ABC的面积为92

(D) 以OAOC为邻边的平行四边形的对角线所夹的锐角为π3

 

6.设E为抛物线y2=8x.设P=(2,4),并设QQE上不同两点,使得直线PQPQE上的切线.设FE的焦点.则以下哪些命题是正确的?

(A) 三角形PFQ为直角三角形

(B) 三角形QPQ为直角三角形

(C) PF间的距离为52

(D) FQQ的连线上

 

**第二部分(最高分: 12)**

本部分包含三个题干.

每个题干对应两个问题.

每个问题的答案都是一个**数值**.

对于每个问题,使用鼠标和屏幕上的虚拟数字键盘在指定位置输入与答案对应的正确数值.


如果数值的小数位数超过两位,请将数值**截断或四舍五入**到两位小数.


每个问题的答案将根据以下评分方案进行评分:

满分:如果在指定位置只输入了正确的数值,加2分;

零分:所有其它情况, 0分.

**问题7和8的题干**

考虑区域R={(x,y)R×R:x0y24x}.设F为包含在R内所有圆心在x轴上的圆族.设CF中半径最大的圆.设(α,β)是圆C与曲线y2=4x的交点.

7.圆C的半径为?


8. α的值为?

**问题9和10的题干**

f1:(0,)Rf2:(0,)R定义为f1(x)=0xj=121(tj)jdt,x>0
f2(x)=98(x1)50600(x1)49+2450,x>0,其中对任意正整数n和实数a1,a2,,an, i=1nai表示a1,a2,,an的乘积.设mini分别表示函数fi,i=1,2在区间(0,)上极小值点和极大值点的个数.


9. 2m1+3n1+m1n1的值为?

10. 6m2+4n2+8m2n2的值为?


**问题11和12的题干**

gi:[π8,3π8]R,i=1,2f:[π8,3π8]R为函数,使得对所有x[π8,3π8],
g1(x)=1,g2(x)=|4xπ|f(x)=sin2x.
定义Si=π83π8f(x)gi(x)dx,i=1,2.

11. 16S1π的值为?

12. 48S2π2的值为?


**第三部分(最高分: 12)**

本部分包含两段.基于每段有两个问题.

 

每个问题有四个选项(A), (B), (C)和(D).这四个选项中**只有一个**是正确答案.


对于每个问题,选择与正确答案相对应的选项.

每个问题的回答将根据以下评分方案进行评分:

满分:如果选择了正确的选项,加3分;

零分:如果没有选择任何选项(即问题未回答), 0分;

负分:其它情况,减1分.

**段落**

M={(x,y)R×R:x2+y2r2},其中r>0.考虑等比数列an=12n1,n=1,2,3,S0=0,对于n1,设Sn为该数列前n项和.对于n1,设Cn表示圆心在(Sn1,0),半径为an的圆,而Dn表示圆心在(Sn1,Sn1),半径为an的圆.

13.考虑r=1025513时的M.设kM内所有这些圆Cn的个数.设I为这k个圆之间互不相交的最大可能个数.则

(A) k+2l=22

(B) 2k+l=26

(C) 2k+3l=34

(D) 3k+2l=40


14.考虑r=(21991)22198
时的M. M内所有那些圆Dn的个数为

(A) 198

(B) 199

(C) 200

(D) 201


**段落**

ψ1:[0,)R,ψ2:[0,)R,f:[0,)Rg:[0,)R为函数,使得f(0)=g(0)=0, ψ1(x)=ex+x,x0, ψ2(x)=x22x2ex+2,x0,
f(x)=xx(|t|t2)et2dt,x>0g(x)=0x2tetdt,x>0.

15.以下哪个命题是正确的?

(A) f(ln3)+g(ln3)=13

(B) 对于每个x>1,存在α(1,x),使得ψ1(x)=1+αx

(C) 对于每个x>0,存在β(0,x),使得ψ2(x)=2x(ψ1(β)1)

(D) f在区间[0,32]上为递增函数

 


16.以下哪个命题是正确的?

(A) 对于所有的x>0, ψ1(x)1

(B) 对于所有的x>0, ψ2(x)0

(C) 对于所有的x(0,12), f(x)1ex223x3+25x5

(D) 对于所有的x(0,12), g(x)23x325x5+17x7

 


**第四部分(最高分: 12)**

本部分包含三个问题.

每个问题的答案都是一个**非负整数**.


对于每个问题,使用鼠标和屏幕上虚拟数字键盘,输入与答案对应的正确整数.

每个问题的回答将根据以下评分方案进行评分:

满分:如果只输入了正确的整数,加4分;

零分:所有其它情况, 0分.

17.从集合{1,2,3,,2000}中随机选取一个数.设p为该数是3的倍数或7的倍数的概率.则500p的值是?

18.设E为椭圆x216+y29=1.对于E上任意三个不同的点P,QQ,设M(P,Q)是连接PQ的线段的中点,且M(P,Q)是连接PQ的线段的中点.则当P,QQE上变化时, M(P,Q)M(P,Q)间距离的最大可能值为?

19.对于任意实数x,设[x]表示小于或等于x的最大整数.若I=010[10xx+1]dx,则9I的值为?

 

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