\section{中国科学院大学2021年考研数学分析试题}
一.计算
(1) limn→∞(1+1n)n2en;
(2) limx→0(1+x)1x−(1+2x)12xsinx.
二.设f在R上连续可微, 且f(0)=0,f(1)=1,试证明:
∫10|f(x)−f′(x)|dx⩾1e.
三.设
fn(x)=x+x2+⋯+xn(n=2,3,⋯)
证明: fn(x)=1在[0,+∞)内有唯一解,并求limn→∞xn.
四.计算
(1) I=∫+∞0∫+∞0e−(x2+y2)dxdy;
(2) J=∫+∞0e−x2dx.
五.设f(x)在[a,+∞)内有界可微,且limx→+∞f′(x)存在,求证: limx→+∞f′(x)=0.
六.判断
∞∑n=1(1−xnxn+1)
的敛散性,其中xn(n⩾1)是有界递增的正数列.
七.设u关于x,y的偏导数存在,且u=x+ysinu,证明:
∂u∂y=sinu∂u∂x.
八.求
I=∫Dx2+y2−2(x2+y2)52dxdy,
其中D={(x,y)|x2+y2⩾2,x⩽1}.
九.证明:%当a>0时,有不等式
∣∣∣∫a+1asint2dt∣∣∣⩽1a.(a>0)
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\section{中国科学院大学2021年考研高等代数试题}
一. (15分)构造一个次数尽可能低的多项式f(x),满足下述条件:
f(1)=0,f′(1)=1,f′′(1)=2,f(0)=3,f′(0)=−1.
二. (20分)计算下面的行列式(n⩾2)
∣∣
∣
∣
∣
∣∣2+a1c1+b1d1a2c1+b2d1⋯anc1+bnd1a1c2+b1d22+a2c2+b2d2⋯anc2+bnd2⋮⋮⋱⋮a1cn+b1dna2cn+b2dn⋯2+ancn+bndn∣∣
∣
∣
∣
∣∣.
%∣∣
∣
∣
∣∣2E+⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝lc1d1c2d2⋮⋮cndn⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠(la1a2⋯anb1b2⋯bn)∣∣
∣
∣
∣∣
三. (20分)用正交线性变换将下面二次型化为标准形
f(x1,x2,x3)=x21+2x22+3x23−4x1x2−4x2x3.
四. (15分)设A为n阶实对称半正定矩阵,证明: A的伴随矩阵A∗也是实对称半正定矩阵.
%第i个列向量不能写成前r个列向量线性组合.
五. (20分)设A=(aij)是一个n×n的秩为r的复矩阵,且A的第r个顺序主子式不为零,即A(1,2,⋯,r1,2,⋯,r)≠0.证明:如果r<n,则对每个r<i⩽n,都存在复数xi,1,⋯,xi,r,使得对任意1⩽j⩽n, ai,j=xi,1a1,j+xi,2a2,j+⋯+xi,rar,j.
六. (15分)设V是一个有限维复线性空间, A:V→V是一个可逆线性变换.如果存在V中的一组非零向量v1,v2,⋯,vm使得它们张成向量空间V,且对所有的i,有A(vi)∈{v1,⋯,vm}.证明: A可以对角化,且特征值为单位根.
七. (20分)设Mn(C)为所有n阶复方阵构成的向量空间, T:Mn(C)→C为线性映射且满足T(AB)=T(BA),∀A,B∈Mn(C).证明: 存在λ∈C使得T(A)=λtr(A), ∀A∈Mn(C).
八. (15分)设A,B为n阶实对称矩阵,且AB=BA,证明:存在n阶正交矩阵T,使得T−1AT与T−1BT均为对角矩阵.
%https://wenku.baidu.com/view/3993de5365ce0508773213ca.html
%可交换矩阵的对角化问题_魏慧敏
九. (15分)设A,B,E都是n阶复数方阵, A,B非奇异, E的元素均为1, m是不等于1的复数, σ(W)表示矩阵W的所有元素之和.
(1) 若A+B=mE,证明:
[1−mσ(A−1)][1−mσ(B−1)]=1.
(2) 问结论(1)的逆命题是否成立.若成立,证明之;若不成立,试举一反例.
每份考研题的回忆版都隐藏着不为人知的故事,有人欢喜有人愁,我愿意尽我的一份力,将此试卷流传下来!
特别感谢中科院数学系统院考研QQ群群友:斓、ScxKnight、氮-1萘基乙二胺盐酸钾等人提供的帮助。我比对了网上几个版本的真题回忆版,还原出了以下两份真题,作为Xionger对考研岁月、对朝理想方向勇敢前行的追光者的致敬!
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