中科院2021考研试题

\section{中国科学院大学2021年考研数学分析试题}

一.计算

(1) limn(1+1n)n2en;

(2) limx0(1+x)1x(1+2x)12xsinx.

二.设fR上连续可微, 且f(0)=0,f(1)=1,试证明:
01|f(x)f(x)|dx1e.


三.设
fn(x)=x+x2++xn(n=2,3,)
证明: fn(x)=1[0,+)内有唯一解,并求limnxn.

四.计算

(1) I=0+0+e(x2+y2)dxdy;

(2) J=0+ex2dx.

 

五.设f(x)[a,+)内有界可微,且limx+f(x)存在,求证: limx+f(x)=0.

六.判断
n=1(1xnxn+1)
的敛散性,其中xn(n1)是有界递增的正数列.


七.设u关于x,y的偏导数存在,且u=x+ysinu,证明:
uy=sinuux.

八.求
I=Dx2+y22(x2+y2)52dxdy,
其中D={(x,y)|x2+y22,x1}.


九.证明:%当a>0时,有不等式
|aa+1sint2dt|1a.(a>0)

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\section{中国科学院大学2021年考研高等代数试题}

一. (15分)构造一个次数尽可能低的多项式f(x),满足下述条件:
f(1)=0,f(1)=1,f(1)=2,f(0)=3,f(0)=1.

二. (20分)计算下面的行列式(n2)
|2+a1c1+b1d1a2c1+b2d1anc1+bnd1a1c2+b1d22+a2c2+b2d2anc2+bnd2a1cn+b1dna2cn+b2dn2+ancn+bndn|.

%|2E+(lc1d1c2d2cndn)(la1a2anb1b2bn)|


三. (20分)用正交线性变换将下面二次型化为标准形
f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x324x1x24x2x3.

四. (15分)设An阶实对称半正定矩阵,证明: A的伴随矩阵A也是实对称半正定矩阵.

 

%第i个列向量不能写成前r个列向量线性组合.

五. (20分)设A=(aij)是一个n×n的秩为r的复矩阵,且A的第r个顺序主子式不为零,即A(1,2,,r1,2,,r)0.证明:如果r<n,则对每个r<in,都存在复数xi,1,,xi,r,使得对任意1jn, ai,j=xi,1a1,j+xi,2a2,j++xi,rar,j.

六. (15分)设V是一个有限维复线性空间, A:VV是一个可逆线性变换.如果存在V中的一组非零向量v1,v2,,vm使得它们张成向量空间V,且对所有的i,有A(vi){v1,,vm}.证明: A可以对角化,且特征值为单位根.

 


七. (20分)设Mn(C)为所有n阶复方阵构成的向量空间, T:Mn(C)C为线性映射且满足T(AB)=T(BA),A,BMn(C).证明: 存在λC使得T(A)=λtr(A), AMn(C).

八. (15分)设A,Bn阶实对称矩阵,且AB=BA,证明:存在n阶正交矩阵T,使得T1ATT1BT均为对角矩阵.

%https://wenku.baidu.com/view/3993de5365ce0508773213ca.html
%可交换矩阵的对角化问题_魏慧敏

九. (15分)设A,B,E都是n阶复数方阵, A,B非奇异, E的元素均为1, m是不等于1的复数, σ(W)表示矩阵W的所有元素之和.

(1) 若A+B=mE,证明:
[1mσ(A1)][1mσ(B1)]=1.


(2) 问结论(1)的逆命题是否成立.若成立,证明之;若不成立,试举一反例.

每份考研题的回忆版都隐藏着不为人知的故事,有人欢喜有人愁,我愿意尽我的一份力,将此试卷流传下来!

特别感谢中科院数学系统院考研QQ群群友:斓、ScxKnight、氮-1萘基乙二胺盐酸钾等人提供的帮助。我比对了网上几个版本的真题回忆版,还原出了以下两份真题,作为Xionger对考研岁月、对朝理想方向勇敢前行的追光者的致敬!

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