中科院2021考研试题
\section{中国科学院大学2021年考研数学分析试题}
一.计算
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}
\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}{e^n}$;
(2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}$.
二.设$f$在$\mathbb{R}$上连续可微, 且$f(0)=0,f(1)=1$,试证明:
$$\int_{0}^{1}|f(x)-f'(x)|dx\geqslant \frac{1}{e}.$$
三.设
$$f_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n\,(n=2,3,\cdots)$$
证明: $f_n(x)=1$在$[0,+\infty)$内有唯一解,并求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$.
四.计算
(1) $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy$;
(2) $\displaystyle J=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$.
五.设$f(x)$在$[a,+\infty)$内有界可微,且$\displaystyle\lim_ {x\to+\infty}f'(x)$存在,求证: $\displaystyle\lim_ {x\to+\infty}f'(x)=0$.
六.判断
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x_n}{x_{n+1}}\right)$$
的敛散性,其中$x_n\,(n\geqslant 1)$是有界递增的正数列.
七.设$u$关于$x,y$的偏导数存在,且$u=x+y\sin u$,证明:
$$\frac{\partial u}{\partial y}=\sin u\frac{\partial u}{\partial x}.$$
八.求
$$I=\int_D\frac{x^2+y^2-2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{5}{2}}}dxdy,$$
其中$D=\left\{(x,y)|x^2+y^2\geqslant 2,x\leqslant 1\right\}$.
九.证明:%当$a>0$时,有不等式
$$\left|\int_{a}^{a+1}\sin t^2dt\right|\leqslant \frac{1}{a}.\quad (a>0)$$
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\section{中国科学院大学2021年考研高等代数试题}
一. (15分)构造一个次数尽可能低的多项式$f(x)$,满足下述条件:
$$f(1)=0,f'(1)=1,f''(1)=2,f(0)=3,f'(0)=-1.$$
二. (20分)计算下面的行列式$(n\geqslant 2)$
$$
\left| \begin{matrix}
2+a_1c_1+b_1d_1& a_2c_1+b_2d_1& \cdots& a_nc_1+b_nd_1\\
a_1c_2+b_1d_2& 2+a_2c_2+b_2d_2& \cdots& a_nc_2+b_nd_2\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
a_1c_n+b_1d_n& a_2c_n+b_2d_n& \cdots& 2+a_nc_n+b_nd_n\\
\end{matrix} \right|.
$$
%$$\left| 2E+\left( \begin{matrix}{l} c_1& d_1\\ c_2& d_2\\ \vdots& \vdots\\ c_n& d_n\\\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}{l} a_1& a_2& \cdots& a_n\\ b_1& b_2& \cdots& b_n\\\end{matrix} \right) \right|$$
三. (20分)用正交线性变换将下面二次型化为标准形
$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-4x_1x_2-4x_2x_3.$$
四. (15分)设$A$为$n$阶实对称半正定矩阵,证明: $A$的伴随矩阵$A^\ast$也是实对称半正定矩阵.
%第i个列向量不能写成前r个列向量线性组合.
五. (20分)设$A=(a_{ij})$是一个$n\times n$的秩为$r$的复矩阵,且$A$的第$r$个顺序主子式不为零,即$A\left( \begin{array}{c}
1,2,\cdots,r\\
1,2,\cdots,r\\
\end{array} \right)\neq 0$.证明:如果$r<n$,则对每个$r<i\leqslant n$,都存在复数$x_{i,1},\cdots,x_{i,r}$,使得对任意$1\leqslant j\leqslant n$, $a_{i,j}=x_ {i,1}a_{1,j}+x_ {i,2}a_{2,j}+\cdots+x_ {i,r}a_{r,j}$.
六. (15分)设$V$是一个有限维复线性空间, $A:V\to V$是一个可逆线性变换.如果存在$V$中的一组非零向量$v_1,v_2,\cdots,v_m$使得它们张成向量空间$V$,且对所有的$i$,有$A(v_i)\in \{v_1,\cdots,v_m\}$.证明: $A$可以对角化,且特征值为单位根.
七. (20分)设$M_n(\mathbb{C})$为所有$n$阶复方阵构成的向量空间, $T:M_n(\mathbb{C})\to \mathbb{C}$为线性映射且满足$T(AB)=T(BA),\forall A,B\in M_n(\mathbb{C})$.证明: 存在$\lambda\in\mathbb{C}$使得$T(A)= \lambda\mathrm{tr}(A)$, $\forall A\in M_n(\mathbb{C})$.
八. (15分)设$A,B$为$n$阶实对称矩阵,且$AB=BA$,证明:存在$n$阶正交矩阵$T$,使得$T^{-1}AT$与$T^{-1}BT$均为对角矩阵.
%https://wenku.baidu.com/view/3993de5365ce0508773213ca.html
%可交换矩阵的对角化问题_魏慧敏
九. (15分)设$A,B,E$都是$n$阶复数方阵, $A,B$非奇异, $E$的元素均为$1$, $m$是不等于$1$的复数, $\sigma (W)$表示矩阵$W$的所有元素之和.
(1) 若$A+B=mE$,证明:
$$
\left[ 1-m\sigma \left( A^{-1} \right) \right] \left[ 1-m\sigma \left( B^{-1} \right) \right] =1.
$$
(2) 问结论(1)的逆命题是否成立.若成立,证明之;若不成立,试举一反例.
每份考研题的回忆版都隐藏着不为人知的故事，有人欢喜有人愁，我愿意尽我的一份力，将此试卷流传下来！
特别感谢中科院数学系统院考研QQ群群友:斓、ScxKnight、氮-1萘基乙二胺盐酸钾等人提供的帮助。我比对了网上几个版本的真题回忆版，还原出了以下两份真题，作为Xionger对考研岁月、对朝理想方向勇敢前行的追光者的致敬！
