人大附早培：函数方程

前几天给人大附早培高一的学生讲了一道函数方程的问题，现在分享一下给大家参考！

>求所有的映射$f:\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$,使得对任意正实数$x,y,z,k$,均有

(1) $xf(x,y,z)=zf(z,y,x)$;

(2) $f(x,ky,k^2z)=kf(x,y,z)$;

(3) $f(1,k,k+1)=k+1$.

**解.** 由(2)可知$f(1,m k,m^2(k+1))=mf(1,k,k+1)=m(k+1)$.

令$b=mk,c=m^2(k+1)$, 解得$m=\frac{\sqrt{b^2+4c}-b}{2}$,则$f(1,b,c)=f(1,m k,m^2(k+1))=m(k+1)=\frac{c}{m}=\frac{b+\sqrt{b^2+4c}}{2}$.

因此$$

在(2)中令$x=a,k=\sqrt{c},z=1$,则$f(a,b,c)=\sqrt{c}f\left(a,\frac{b}{\sqrt{c}},1\right)$.

由(1)可知$af\left(a,\frac{b}{\sqrt{c}},1\right)=f\left(1,\frac{b}{\sqrt{c}},a\right)$.

于是
$$\begin{align*} f(a,b,c)&=\sqrt{c}f\left(a,\frac{b}{\sqrt{c}},1\right)=\frac{\sqrt{c}}{a}f\left(1,\frac{b}{\sqrt{c}},a\right)\\ &=\frac{\sqrt{c}}{a}\frac{\frac{b}{\sqrt{c}}+\sqrt{\left(\frac{b}{\sqrt{c}}\right)^2+4a}}{2}=\frac{b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}. \end{align*}$$

即一元二次方程$ax^2-bx-c=0$的正根.