数学系参考书单(法国巴黎高等师范学校)
数学是最复杂的研究性学科之一，其研究的先修基础要求很高，所以学习过程也非常需要技术性。中国的数学教材多偏向于苏联风格，不易读，无形中提高了门槛。所以一个合适的教学体系和教材推荐对于数学的学习至关重要。
这份数学书单，是根据法国巴黎高等师范学校（数学最牛校，没有之一）的指定教材及教授推荐给出，在保持了学术难度的情况下降低学习门槛。这套书目是这套教材构成一个完整的数学教材体系，都是教得特别深入浅出的专著，特别适合自学提高。
以下是按照学习推荐进度排序的，分本科生和研究生的课程。自学起点是高中毕业。
数学本科：
如果大家对微积分已经可以定量算了（例如可以计算面积分），就请跳过第一本，否则需要补充一下普通微积分的基础。
《Calculus》 (揭密系列书之一) 这是绝对的入门书籍，基础向。如果大家之前学过高数，就可以忽略这一本了。
下面就开始严格的数学训练了：
数学分析（一）（英文版）byApostol
数学分析（二）（英文版）byApostol
本书为美国大学标准数分教材。数分是一切的基础，没有数分的底子，实变学十遍也没用。可是很多人在初入数学殿堂就立志不做数学了，就是因为采用了苏联风格的中文教材，实在悲剧。学数学本来就是一件快乐而清晰的事情，所以第一本至关重要。请看这本吧，看完之后你会发现中文数分教材很坑爹。
《Linear.Algebra.done.right》by Axler
好书能让人顺理成章地领悟新概念，烂书能让人放弃理想。这是一本中规中矩但清晰易读的好书。薄薄两百多页，很快就能读完。
《All the Mathematics you missed but need to know》by Garrity
校长建议大家学完数分和线代之后，不要直接开始学复变或者实变，可以先开始感受一下高级数学的美。这本书可以使读者很容易看透其中的数学本质。仿佛度假观光一样，举重若轻地谈了很多深刻的数学领域，例如拓扑和“形式(form)”。数学系的人，先读点轻松的数学入门，日后在读深入的著作将有高屋建瓴之效。
有了一定的数学概念以后，再开始读基础向的书籍。
分析类：
对于实变和复变之争的问题，校长认为应该先学复变。虽然复数域大家比较不熟悉，可是复数域的性质比实数域要规整很多，一阶可导，阶阶可导。这么完美的属性在数学中可不多。学习应该先学简单的在学复杂的。
复变和实变皆推荐Princeton大神Stein的著作
《ComplexAnalysis 》by EliasM. Stein, Rami Shakarchi
实变
《Real Analysis》by Elias M. Stein, Rami Shakarchi
对于数学这种复杂度和抽象程度极高的学科，光看不行，必须有配套的习题作为质量保证。推荐这本《A ComplexAnalysis Problem Book》。
有了实变复变的分析学基础后，看泛函分析将是如鱼得水。
泛函推荐两本，第一本入门，第二本提高（建议在学完拓扑后再看）
第一本：《Functional Analysis》byPeter Lax
第二本：《functioanl analysis》by.Walter.Rudin
Rudin和物理中的Griffith一样，Rudin在数学分析领域所做的杰出工作可能并不广为人知，但他的三本教科书被翻译成多种语言版本，供世界各地的大学生使用。这是他的第三本也是最成功的一本分析学教材，获得1993年美国数学会颁发的Leroy P.Steel奖。大家看完这一本，下一个该做的事情就是把中文版泛函分析教材烧了（当然，中英互译的附录可以留下来背单词用）。
概率类：
数学系的同学先通过工科概统有一个直观的感受：（关于这一点，我想很多人都有类似的想法吧）
《Foundamental of Probability and Statistics for engineers》by Soong
在加强数学严密性训练：
《Foundation of Modern Probability》by Kallenberg
代数类：
《A.first.course.in.abstract.algebra》by Rotman
你会惊讶于，为什么对新手而言这么难的一门课能够被他讲得如此生动。你应该知道看完它应该做什么了吧？对的——烧中文书。另外说一句，群论的始祖伽罗华就出自巴黎高师。
下面就进入经典的点集拓扑的学习，点集拓扑推荐这本
《Basic Topology》byArmstrong.
当然，既然已经学过了分析和拓扑，下一步学习流形就顺理成章了。
这本流形上的张量分析很好地介绍了广义相对论中数学的应用。作为本科生，了解一下未来各个方向的内容至关重要。
《Tensoranalysis on Manifolds》
学抽代和拓扑完直接学代数拓扑？其实没必要，高师就是把代数拓扑放在研究生一年级的。你可以先更好地理解一下群论中的Isomor phism和FreeGroup这个概念。感受一下应用的美妙（当然不是生活层面的应用，而是稍微具象一些的数学理论，虽然knot theory本身也是研究生的一个细分的专业）推荐这本书：
《Introductionto Knot Theory》CrowellFox
最后你还需要补这两本书就能够本科数学毕业了。
《DifferentialEquations, Dynamical Systems & A Introduction to Chaos》
很好的微分方程入门，对理解nonlinear有奇效。洛伦兹吸引子的魅力也被充分展示。
《An Introduction to Modern Mathematical Computing 》by Borwein, Skerritt
数学研究生：
数学的领域众多，但低年级的研究生入门课程的都必须掌握的。在这些的基础上才有可能谈及后期的研究。
Hatcher的代数拓扑可以说成功地把这门课教得赏心悦目。
《Algebraic.Topology》by A.Hatcher
学研究生基础课代数几何之前要先学交换代数，推荐这本《交换代数六讲》
《Six Lectures on Commutative Algebra》by Elias
《LecturesOn Algebraic Geometry I Sheaves, Cohomology》
《Lectureson Algebraic Geometry II Basic Concepts, Coherent Cohomology, Curves and theirJacobians》
在之前Manifold的张量分析基础上，更好地理解黎曼面，这两本套装不可或缺。
《AnIntroduction To Lie Groups And Lie Algebras 》by Kirillov
连续群在数学和物理各领域的应用极广，这本李群和李代数是不可或缺的好书。
有了以上基础，可以看李群领域的Vinberg三卷套神书（好想吐槽，理论物理中也有Weinberg三卷套神书。。。难道叫berg的都是神？）
Lie groups and algebraic groups I -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
Lie groups and algebraic groups II -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
Lie groups and algebraic groups III -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
最后研究生领域一本基础读物就是这本Operator Theory的书了
Operator Algebras, Operator Theoryand Applications
最近有一些大一刚入学的学弟学妹问我，刚进入数学系应该读哪些书，我想了想就把推荐的书目整理一下存在知乎上以备不时之需吧。
- 数学分析、高等代数
大一最重要的两门基础课无疑是数学分析与高等代数。数学分析张筑生老师的《数学分析新讲》比较好，观点新，不足之处是没有习题，可以使用林源渠的《数学分析解题指南》作为配套习题集。进阶一点的数学分析可以读Rudin的《数学分析原理》。
当系统地学完一遍数学分析之后，可以看一看辛钦的《数学分析八讲》，很薄的一本小册子，但是把数学分析最核心最本质的东西体现出来了，可以解答诸如“为什么要学数学分析”、“数学分析是干嘛的”此类问题。
另外，不是很推荐《吉米多维奇数学分析习题集》，当然做题是必不可少的一个环节，我觉得把每本书的课后习题弄清楚就可以了，如果非要习题集的话，可以做一做胡适耕的《数学分析 定理 问题 方法》或者“裴礼文”。
这里还要强推一下我偶像陶哲轩的《Analysis》，英文原版是上下两册，上册从Peano公理定义自然数说起，逐步建立有理数、实数，读起来一气呵成，不会让你不知道他在说啥，同时下册也有对测度论和Lebesgue积分的介绍，是一本挺好的分析学入门书。
北京大学的《高等代数（第三版）》是一本比较经典的教材，虽然已经出版30年了，却仍被许多院校作为考研指定参考书。但是不可否认，其中的许多观点已经有点陈旧，一些地方的处理略显土鳖。不过北京大学蓝以中老师的《高等代数简明教程》倒是还可以，虽然并不简明，习题部分可以和《高等代数学习指南》配合使用。
- 复分析、实分析
复分析和实分析均推荐E. Stein的作品《Complex Analysis》和《Real Analysis》。Stein的书有一个特点，就是行文流畅，思路清晰，读起来像“小说”。值得一提的是，读Stein的书一定一定要做课后习题！有很多重要的结论和推广都放在习题里，这也是很多人吐槽Stein书正文部分too naive而习题却广受好评的一个原因。
初学实分析的时候也可以配合看看周民强《实变函数论》，至于进阶一点的书，那必然是Rudin的《Real and Complex Analysis》。需要说明的是，这本书的最初受众者并不是本科生，对于我们天赋一般的人来说，读起来有一定的难度，可以在学过一遍实分析复分析之后来尝试一下。
- 泛函分析
很惭愧，我至今没有认真学过一遍泛函分析，只是在课堂上跟随老师听了一遍留了个印象。Stein第四卷《Functional Analysis》据说质量一般，Rudin第三卷《Functional Analysis》据说非常变态（当然以上两本书我都没看过）。张恭庆的《泛函分析讲义（上）》我是读了一点的，普遍评价也还不错。Peter Lax那本泛函分析据说非常好，当然我也没有看过。
- ODE、PDE
ODE没啥好说的，随便找本书看看就差不多了，比如丁同仁《常微分方程》。至于延伸出来的动力系统等理论就要去找专门的书来读。Arnold那本《ODE》写的很几何（当然如果他愿意的话他可以把任何课程写的很几何），有兴趣可以看看。
说到PDE，我曾有一段时间是比较喜欢这种暴力美学的，预习了一下Evans的第一部分，开学上课用的是陈祖墀的《偏微分方程》（基本上是翻译Evans的），所以就没怎么听过课，期末考的也还行。下学期选了一个现代偏微分方程选讲，不知道是个什么级别的。另外据可靠的人透露，Gilbarg有一本《二阶椭圆偏微分方程》是方程方向学生的必刷书，有兴趣可以考虑。
- 抽象代数
由于本人代数极其辣鸡（高等代数都学不好的那种），所以本科阶段代数类课程仅仅学过抽象代数。一开始读的是Artin的《Algebra》，中途听别人推荐换成了GTM73，一段时间之后实在受不了世界图书出版公司的影印质量，遂换回Artin。总之Artin这本书还是非常好的，门槛低，证明详细，习题不难，咸鱼之友。Artin最后一章讲了Galois理论，读完正好接着读他爹E. Artin写的《Galois Theory》。
- 微分几何（流形理论、黎曼几何）
一开始学古典微分几何我是看的小林昭七的《曲线与曲面的微分几何》，这本书比较小众，年代也比较久远，翻译的也比较不好，电子版也比较不清晰，但这都不影响这是一本比较好的书。内容主要是古典的曲线曲面论，也简单介绍了一点整体微分几何，包括微分形式的积分、Gauss-Bonnet定理。
关于微分流形，参见我的一个回答，说的很详细了。
在本科数学阶段你学过最有趣的一门数学课是什么？为什么？www.zhihu.com
黎曼几何我还没学，不过教材已经准备好了，do Carmo《Riemannian Geometry》+GTM275。至于评价，等学完再来更新（估计是来不了了）。
- 拓扑学（代数拓扑、微分拓扑）
