人大附初一与西城高三期末

(人大附2019-2020学年七年级上学期数学期中)如图,设$A$是由$n\times n$个有理数组成的$n$行$n$列的数表,其中$a_{ij}\, (i,j=1,2,3,\cdots,n)$表示位于第$i$行第$j$列的数,且$a_{ij}$取值为$1$或$-1$.

$$\begin{table}[!htbp] \centering %\caption{彩色的表格} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $a_{11}$ & $a_{12}$ & $\cdots$ & $a_{1n}$\\ \hline $a_{21}$ & $a_{22}$ & $\cdots$ & $a_{2n}$\\ \hline $\vdots$ & $\vdots$ & $\cdots$ & $\vdots$\\ \hline $a_{n1}$ & $a_{n2}$ & $\cdots$ & $a_{nn}$\\ \hline \end{tabular} \end{table}$$

对于数表$A$给出如下定义:记$x_i$为数表$A$的第$i$行各数之积, $y_j$为数表$A$的第$j$列各数之积.令$S=(x_1+x_2+\cdots+x_n)+(y_1+y_2+\cdots+y_n)$,将$S$称为数表$A$的"积和".

(1)当$n=4$时,对如下数表$A$,求该数表的"积和" $S$的值;

$$\begin{table}[!htbp] \centering %\caption{彩色的表格} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $1$ & $1$ & $-1$ & $-1$\\ \hline $1$ & $-1$ & $1$ & $1$\\ \hline $1$ & $-1$ & $-1$ & $1$\\ \hline $-1$ & $-1$ & $1$ & $1$\\ \hline \end{tabular} \end{table}$$

(2)是否存在一个$3\times 3$的数表$A$,使得该数表的“积和" $S=0$?并说明理由;

(3)当$n=10$时,直接写出数表$A$的“积和” $S$的所有可能的取值.

 

解. (1)由题意得$S= (x_1+x_2+x_3+x_4)+(y_1+y_2+y_3+y_4)=(1-1+1+1)+(-1-1+1-1)=0$.

(2)不存在$3\times 3$的数表$A$,使得$S=0$.

证明如下:

设存在$3\times 3$的数表$A$,使得$S=0$.

因为$x_i\in \{1,-1\},y_j\in \{1,-1\}$, $(i,j=1,2,3)$,而$S=(x_1+x_2+x_3)+(y_1+y_2+y_3)=0$,所以数表$A$这9个数中有3个$1$, 3个$-1$.

令$M=x_1x_2x_3y_1y_2y_3$.

一方面,由于这9个数中有3个$1$, 3个$-1$,从而$M=-1$. \quad \ding{172}

另一方面, $x_1x_2x_3$表示数表中所有元素之积(记这9个实数之积为$m$);

$y_1y_2y_3$也表示$m$,从而$M=m^2=1$.\quad \ding{173}

\ding{172}、\ding{173}相矛盾,从而不存在$3\times 3$的数表$A$,使得$S=0$.

(3)注意到$x_1x_2\cdots x_n=y_1y_2\cdots y_n$,则$x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_n$这$2n$个数中,一定有偶数个$-1$,不妨设有$2k\, (0\leq k\leq n)$个$-1$,则有$2n-2k\, (0\leq k\leq n)$个$1$,此时$S=-(2k)+(2n-2k)=2n-4k$.

下面通过构造说明所有形如$2n-4k\, (0\leq k\leq n)$的数都能被$S$取到.

对数表$A_0:a_{ij}=1\,(i,j=1,2,3,\cdots,n)$,显然$S=2n$.

将数表$A_0$中的$a_{11}$由$1$变为$-1$,得到数表$A_1$,显然$S=2n-4$.

将数表$A_1$中的$a_{22}$由1变为$-1$,得到数表$A_2$,显然$S=2n-8$.

依此类推,将数表$A_{i-1}$中的$a_{kk}$由1变为$-1$,得到数表$A_k$.

即数表$A_k$满足: $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{kk}=-1\, (1\leq k\leq n)$,其余$a_{ij}=1$.
则$x_1=x_2=\cdots=x_k=-1,y_1=y_2=\cdots=y_k=-1$.
所以$S=2[(-1)\times k+(n-k)]=2n-4k$,其中$k=1,2,\cdots,n$.

当$n=10$时,数表$A$的“积和"$S$的所有可能的取值为: $20,16,12,8,4,0,-4,-8,-12,-16,-20$.

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实数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=0$.求证:

(1) $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a+b+c)^2$.

(2) $(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4=2(a+b+c)^4$.

解. (1)左边$=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=2(a^2+b^2+c^2)$.

右边$=2(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)=2(a^2+b^2+c^2)$.

因此两者相等.

(2)
对
$$\left( a-b \right) ^2+\left( b-c \right) ^2+\left( c-a \right) ^2=2\left( a+b+c \right) ^2$$
两边平方可得
$$\begin{align*} &\left( a-b \right) ^4+\left( b-c \right) ^4+\left( c-a \right) ^4+2\left( a-b \right) ^2\left( b-c \right) ^2 \\ &+2\left( a-b \right) ^2\left( c-a \right) ^2+2\left( b-c \right) ^2\left( c-a \right) ^2=4\left( a+b+c \right) ^4, \end{align*}$$
又
$$\left( ab+bc+ca \right) ^2=\left( a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2 \right) +2\left( acb^2+bca^2+abc^2 \right) =0,$$
故
$$2\left( acb^2+bca^2+abc^2 \right) =-\left( a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2 \right).$$
因此
$$\begin{align*} &\left( a-b \right) ^2\left( b-c \right) ^2+\left( a-b \right) ^2\left( c-a \right) ^2+\left( b-c \right) ^2\left( c-a \right) ^2 \\ &=\left( ab+bc-ac-b^2 \right) ^2+\left( ac+ab-bc-a^2 \right) ^2+\left( ac+bc-ab-c^2 \right) ^2 \\ &=\left( -2ac-b^2 \right) ^2+\left( -2bc-a^2 \right) ^2+\left( -2ab-c^2 \right) ^2 \\ &=a^4+b^4+c^4+4acb^2+4bca^2+4abc^2+4\left( a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2 \right) \\ &=a^4+b^4+c^4+4\left( acb^2+bca^2+abc^2 \right) +4\left( a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2 \right) \\ &=a^4+b^4+c^4+2\left( a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2 \right). \end{align*}$$
而
$$\left( a+b+c \right) ^4=\left( a^2+b^2+c^2 \right) ^2=a^4+b^4+c^4+2\left( a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2 \right),$$
于是
$$\left( a-b \right) ^2\left( b-c \right) ^2+\left( a-b \right) ^2\left( c-a \right) ^2+\left( b-c \right) ^2\left( c-a \right) ^2=\left( a+b+c \right) ^4.$$

从而有
$$(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4=2(a+b+c)^4.$$