清华大学2020年强基计划招生考试数学试题
本卷共35道不定项选择题,每题5分,错选或漏选均不得分. (学生只回忆了其中的20道题)
1.若x2+y2⩽1,则x2+xy−y2的取值范围是
[Math Processing Error]
2.在非等边三角形ABC中, CA=CB,若O,P分别为△ABC的外心和内心,点D在线段BC上,且满足OD⊥BP,则下列说法正确的是
\begin{tasks}(2) \task $O,C,P$三点共线 \task $OD\parallel AC$ \task $B,D,O,P$四点共圆 \task $PD\parallel AC$ \end{tasks}
3.已知集合A,B,C⊆{1,2,3,⋯,2020},且A⊆C,B⊆C,则有序集合组(A,B,C)的个数是
\begin{tasks}(4) \task $2^{2020}$ \task $3^{2020}$ \task $4^{2020}$ \task $5^{2020}$ \end{tasks}
4.已知数列{an}满足a0=1,|ai+1|=|ai+1(i∈N),则A=∣∣∑20k=1ak∣∣的值可能是
\begin{tasks}(4) \task $0$ \task $2$ \task $10$ \task $12$ \end{tasks}
5.已知P在椭圆x24+y23=1上, A(1,0),B(1,1),则|PA|+|PB|的最大值是
\begin{tasks}(4) \task $4$ \task $4+\sqrt{3}$ \task $4+\sqrt{5}$ \task $6$ \end{tasks}
6.已知△ABC的三条边长均为整数,且面积为有理数,则|AB|的可能值有
\begin{tasks}(4) \task $1$ \task $2$ \task $3$ \task $4$ \end{tasks}
7.己知P为双曲线x24−y2=1上一点, A(−2,0),B(2,0),令∠PAB=α,∠PBA=β, △PAB的面积为S,则下列表达式为定值的是
[Math Processing Error]
8.甲、乙、丙三人一起做同一道题,甲说:“我做错了.”乙说:“甲做对了.”丙说:“我做错了.”而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了,那么谁可能做对了题目.
\begin{tasks}(4) \task 甲 \task 乙 \task 丙 \task 没有人 \end{tasks}
9.在直角△ABC中, ∠ABC=90∘,AB=√3,BC=1,且−−→PA∣∣∣−−→PA∣∣∣+−−→PB∣∣∣−−→PB∣∣∣+−−→PC∣∣∣−−→PC∣∣∣=→0,则下列说法正确的是
[Math Processing Error]
10.求值: limn→∞(∑nk=1arctan2k2)=
[Math Processing Error]
11.从0−9这十个数中任取五个数组成一个 五位数¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ABCDE (A可以为0),则396∣¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ABCDE的概率是
[Math Processing Error]
12.随机变量X(=1,2,3,⋯),Y(=0,1,2),满足P(X=k)=12k且Y≡X(mod3),则E(Y)=
\begin{tasks}(4) \task $\frac{4}{7}$ \task $\frac{8}{7}$ \task $\frac{12}{7}$ \task $\frac{16}{7}$ \end{tasks}
13.已知向量→a,→b,→c满足∣∣→a∣∣⩽1,∣∣∣→b∣∣∣⩽1,∣∣∣→a+2→b+→c∣∣∣⩽∣∣∣→a−2→b∣∣∣,则下列说法正确的是
[Math Processing Error]
14.若存在x,y∈N∗,使得x2+ky,y2+kx均为完全平方数,则k的可能值是
\begin{tasks}(4) \task $2$ \task $4$ \task $5$ \task $6$ \end{tasks}
15.求值: sin(arctan1+arccos3√10+arcsin1√5)=
\begin{tasks}(4) \task $0$ \task $\frac{1}{2}$ \task $\frac{\sqrt{2}}{2}$ \task $1$ \end{tasks}
16.已知正四棱锥中,相邻两侧面构成的二面角为α,侧棱和底面夹角为β,则
[Math Processing Error]
17.已知函数f(x)=2exex+e−x+sinx(−2⩽x⩽2),则f(x)的最大值与最小值的和是
\begin{tasks}(4) \task $2$ \task $e$ \task $3$ \task $4$ \end{tasks}
18.已知函数f(x)的图像如右图所示,记y=f(x),x=a,x=t(a<t<c)
及x轴围成的曲边梯形面积为S(t),则下列说法正确的是
[Math Processing Error]
19.我们称数列{an}为好数列,若对于任意n∈N∗,存在m∈N∗,使得am=∑mi=1ai,则下列说法正确的是
[Math Processing Error]
20.求值: ∫2π0sin2xsin4x+cos4xdx=
\begin{tasks}(4) \task $\pi$ \task $\sqrt{2}\pi$ \task $2\pi$ \task $\sqrt{5}\pi$ \end{tasks}
解.
∫2π0sin2xsin4x+cos4xdx=4∫π20sin2xsin4x+cos4xdx=4∫π20tan2xtan4x+11cos2xdx=4∫∞0u2u4+1du=4[∫10u2u4+1du+∫∞1u2u4+1du]=4[∫10u2u4+1du+∫101u4+1du]=4∫10u2+1u4+1du=4∫101+1u2u2+1u2du=4∫101(u−1u)2+2d(u−1u)=2√2∫101(u−1u√2)2+1du−1u√2=2√2[arctanu−1u√2]10=√2π.
【推荐】国内首个AI IDE,深度理解中文开发场景,立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 开发者必知的日志记录最佳实践
· SQL Server 2025 AI相关能力初探
· Linux系列:如何用 C#调用 C方法造成内存泄露
· AI与.NET技术实操系列(二):开始使用ML.NET
· 记一次.NET内存居高不下排查解决与启示
· Manus重磅发布:全球首款通用AI代理技术深度解析与实战指南
· 被坑几百块钱后,我竟然真的恢复了删除的微信聊天记录!
· 没有Manus邀请码?试试免邀请码的MGX或者开源的OpenManus吧
· 园子的第一款AI主题卫衣上架——"HELLO! HOW CAN I ASSIST YOU TODAY
· 【自荐】一款简洁、开源的在线白板工具 Drawnix