清华大学2020年强基计划招生考试数学试题

清华大学2020年强基计划招生考试数学试题

本卷共35道不定项选择题,每题5分,错选或漏选均不得分. (学生只回忆了其中的20道题)

1.若$x^2+y^2\leqslant 1$,则$x^2+xy-y^2$的取值范围是
$$\begin{tasks}(4) \task $\left[ -\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$ \task $\left[ -1,1 \right]$ \task $\left[ -\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}}{2} \right]$ \task $\left[ -2,2 \right]$ \end{tasks}$$

2.在非等边三角形$ABC$中, $CA=CB$,若$O,P$分别为$\triangle ABC$的外心和内心,点$D$在线段$BC$上,且满足$OD\bot BP$,则下列说法正确的是
$$\begin{tasks}(2) \task $O,C,P$三点共线 \task $OD\parallel AC$ \task $B,D,O,P$四点共圆 \task $PD\parallel AC$ \end{tasks}$$

3.已知集合$A,B,C\subseteq \{1,2,3,\cdots,2020\}$,且$A\subseteq C,B\subseteq C$,则有序集合组$(A,B,C)$的个数是
$$\begin{tasks}(4) \task $2^{2020}$ \task $3^{2020}$ \task $4^{2020}$ \task $5^{2020}$ \end{tasks}$$

4.已知数列$\{a_n\}$满足$a_0=1,|a_{i+1}|=|a_i +1\, (i\in \mathbb{N})$,则$A=\left|\sum_{k=1}^{20}a_k\right|$的值可能是
$$\begin{tasks}(4) \task $0$ \task $2$ \task $10$ \task $12$ \end{tasks}$$

5.已知$P$在椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上, $A(1,0),B(1,1)$,则$|PA|+|PB|$的最大值是
$$\begin{tasks}(4) \task $4$ \task $4+\sqrt{3}$ \task $4+\sqrt{5}$ \task $6$ \end{tasks}$$

6.已知$\triangle ABC$的三条边长均为整数,且面积为有理数,则$|AB|$的可能值有
$$\begin{tasks}(4) \task $1$ \task $2$ \task $3$ \task $4$ \end{tasks}$$

7.己知$P$为双曲线$\frac{x^2}{4}-y^2=1$上一点, $A(-2,0),B(2,0)$,令$\angle PAB=\alpha,\angle PBA=\beta$, $\triangle PAB$的面积为$S$,则下列表达式为定值的是
$$\begin{tasks}(4) \task $\tan\alpha \tan \beta$ \task $\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}$ \task $S\tan(\alpha+\beta)$ \task $S\cot(\alpha+\beta)$ \end{tasks}$$

8.甲、乙、丙三人一起做同一道题,甲说:“我做错了.”乙说:“甲做对了.”丙说:“我做错了.”而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了,那么谁可能做对了题目.
$$\begin{tasks}(4) \task 甲 \task 乙 \task 丙 \task 没有人 \end{tasks}$$

9.在直角$\triangle ABC$中, $\angle ABC=90^\circ,AB=\sqrt{3},BC=1$,且$\frac{\overrightarrow{PA}}{\left| \overrightarrow{PA} \right|}+\frac{\overrightarrow{PB}}{\left| \overrightarrow{PB} \right|}+\frac{\overrightarrow{PC}}{\left| \overrightarrow{PC} \right|}=\overrightarrow{0}$,则下列说法正确的是
$$\begin{tasks}(4) \task $\angle APB=120^\circ$ \task $\angle BPC=120^\circ$ \task $PC=2PB$ \task $PA= 2PC$ \end{tasks}$$

10.求值: $\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n} \arctan\frac{2}{k^2}\right)=$
$$\begin{tasks}(4) \task $\frac{\pi}{2}$ \task $\frac{3\pi}{4}$ \task $\frac{5\pi}{4}$ \task $\frac{3\pi}{2}$ \end{tasks}$$

11.从$0-9$这十个数中任取五个数组成一个 五位数$\overline{ABCDE}$ ($A$可以为$0$),则$396\mid \overline{ABCDE}$的概率是
$$\begin{tasks}(4) \task $\frac{1}{396}$ \task $\frac{1}{324}$ \task $\frac{1}{315}$ \task $\frac{1}{210}$ \end{tasks}$$

 

12.随机变量$X(=1,2,3,\cdots),Y(=0,1,2)$,满足$P(X =k)=\frac{1}{2^k}$且$Y\equiv X(\bmod\,3)$,则$E(Y)=$
$$\begin{tasks}(4) \task $\frac{4}{7}$ \task $\frac{8}{7}$ \task $\frac{12}{7}$ \task $\frac{16}{7}$ \end{tasks}$$

13.已知向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$满足$\left| \overrightarrow{a} \right|\leqslant 1,\left| \overrightarrow{b} \right|\leqslant 1,\left| \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right|\leqslant \left| \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right|$,则下列说法正确的是
$$\begin{tasks}(2) \task $\left| \overrightarrow{c} \right|$的最大值是$4\sqrt{2}$ \task $\left| \overrightarrow{c} \right|$的最大值是$2\sqrt{5}$ \task $\left| \overrightarrow{c} \right|$的最小值是$0$ \task $\left| \overrightarrow{c} \right|$的最小值是$2$ \end{tasks}$$

14.若存在$x,y\in \mathbb{N}^\ast$,使得$x^2+ky,y^2+ kx$均为完全平方数,则$k$的可能值是
$$\begin{tasks}(4) \task $2$ \task $4$ \task $5$ \task $6$ \end{tasks}$$

15.求值: $\sin \left( \mathrm{arc}\tan 1+\mathrm{arc}\cos \frac{3}{\sqrt{10}}+\mathrm{arc}\sin \frac{1}{\sqrt{5}} \right)=$
$$\begin{tasks}(4) \task $0$ \task $\frac{1}{2}$ \task $\frac{\sqrt{2}}{2}$ \task $1$ \end{tasks}$$

16.已知正四棱锥中,相邻两侧面构成的二面角为$\alpha$,侧棱和底面夹角为$\beta$,则
$$\begin{tasks}(2) \task $\cos\alpha + \tan^2 \beta=1$ \task $\sec\alpha + \tan^2 \beta=-1$ \task $\cos\alpha + 2\tan^2 \beta=1$ \task $\sec\alpha + 2\tan^2 \beta=-1$ \end{tasks}$$

17.已知函数$f(x)=\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}+\sin x\, (-2\leqslant x\leqslant 2)$,则$f(x)$的最大值与最小值的和是
$$\begin{tasks}(4) \task $2$ \task $e$ \task $3$ \task $4$ \end{tasks}$$

18.已知函数$f(x)$的图像如右图所示,记$y=f(x),x=a,x=t\,(a<t<c)$
及$x$轴围成的曲边梯形面积为$S(t)$,则下列说法正确的是
$$\begin{tasks}(4) \task $S(t)<cf(b)$ \task $S'(t)\leqslant f(a)$ \task $S'(t)\leqslant f(b)$ \task $S'(t)\leqslant f(c)$ \end{tasks}$$

 

19.我们称数列$\{a_n\}$为好数列,若对于任意$n\in \mathbb{N}^\ast$,存在$m\in \mathbb{N}^\ast$,使得$a_m=\sum_{i=1}^{m}a_i$,则下列说法正确的是
$$\begin{tasks}(1) \task 若$a_n=\left\{ \begin{array}{c} 1,n=1\\ 2^{n-2},n\geqslant 2\\ \end{array} \right.$,则数列$\{a_n\}$为好数列 \task 若$a_n=kn$ ($k$为常数),则数列$\{a_n\}$为好数列 \task 存在任意两项均不相同的好数列$\{a_n\}$,且对于任意$n\in \mathbb{N}^\ast$, $|a_n|<n$ \task 对于任意等差数列$\{a_n\}$,存在好数列$\{b_n\},\{c_n\}$,使得对于任意$n\in \mathbb{N} ^\ast$,有$a_n=b_n+c_n$ \end{tasks}$$

20.求值: $\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin^2x}{\sin^4x+\cos^4x}dx=$
$$\begin{tasks}(4) \task $\pi$ \task $\sqrt{2}\pi$ \task $2\pi$ \task $\sqrt{5}\pi$ \end{tasks}$$

解.
$$\begin{align*} \int_0^{2\pi}{\frac{\sin ^2x}{\sin ^4x+\cos ^4x}dx} &=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin ^2x}{\sin ^4x+\cos ^4x}dx}=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\tan ^2x}{\tan ^4x+1}\frac{1}{\cos ^2x}dx} \\ &=4\int_0^{\infty}{\frac{u^2}{u^4+1}du}=4\left[ \int_0^1{\frac{u^2}{u^4+1}du}+\int_1^{\infty}{\frac{u^2}{u^4+1}du} \right] \\ &=4\left[ \int_0^1{\frac{u^2}{u^4+1}du}+\int_0^1{\frac{1}{u^4+1}du} \right] =4\int_0^1{\frac{u^2+1}{u^4+1}du} \\ &=4\int_0^1{\frac{1+\frac{1}{u^2}}{u^2+\frac{1}{u^2}}du}=4\int_0^1{\frac{1}{\left( u-\frac{1}{u} \right) ^2+2}d\left( u-\frac{1}{u} \right)} \\ &=2\sqrt{2}\int_0^1{\frac{1}{\left( \frac{u-\frac{1}{u}}{\sqrt{2}} \right) ^2+1}d\frac{u-\frac{1}{u}}{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}\left[ \mathrm{arc}\tan \frac{u-\frac{1}{u}}{\sqrt{2}} \right] _{0}^{1}=\sqrt{2}\pi. \end{align*}$$