清华大学2020年强基计划招生考试数学试题

清华大学2020年强基计划招生考试数学试题

本卷共35道不定项选择题,每题5分,错选或漏选均不得分. (学生只回忆了其中的20道题)


1.若x2+y21,则x2+xyy2的取值范围是
\begin{tasks}(4)         \task $\left[ -\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$         \task $\left[ -1,1 \right]$         \task $\left[ -\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}}{2} \right]$         \task $\left[ -2,2 \right]$ \end{tasks}

2.在非等边三角形ABC中, CA=CB,若O,P分别为ABC的外心和内心,点D在线段BC上,且满足ODBP,则下列说法正确的是
\begin{tasks}(2)         \task $O,C,P$三点共线         \task $OD\parallel AC$         \task $B,D,O,P$四点共圆         \task $PD\parallel AC$ \end{tasks}


3.已知集合A,B,C{1,2,3,,2020},且AC,BC,则有序集合组(A,B,C)的个数是
\begin{tasks}(4)         \task $2^{2020}$         \task $3^{2020}$         \task $4^{2020}$         \task $5^{2020}$ \end{tasks}

4.已知数列{an}满足a0=1,|ai+1|=|ai+1(iN),则A=|k=120ak|的值可能是
\begin{tasks}(4)         \task $0$         \task $2$         \task $10$         \task $12$ \end{tasks}


5.已知P在椭圆x24+y23=1上, A(1,0),B(1,1),则|PA|+|PB|的最大值是
\begin{tasks}(4)         \task $4$         \task $4+\sqrt{3}$         \task $4+\sqrt{5}$         \task $6$ \end{tasks}

6.已知ABC的三条边长均为整数,且面积为有理数,则|AB|的可能值有
\begin{tasks}(4)         \task $1$         \task $2$         \task $3$         \task $4$ \end{tasks}

7.己知P为双曲线x24y2=1上一点, A(2,0),B(2,0),令PAB=α,PBA=β, PAB的面积为S,则下列表达式为定值的是
\begin{tasks}(4)         \task $\tan\alpha \tan \beta$         \task $\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}$         \task $S\tan(\alpha+\beta)$         \task $S\cot(\alpha+\beta)$ \end{tasks}

8.甲、乙、丙三人一起做同一道题,甲说:“我做错了.”乙说:“甲做对了.”丙说:“我做错了.”而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了,那么谁可能做对了题目.
\begin{tasks}(4)         \task 甲         \task 乙         \task 丙         \task 没有人 \end{tasks}

9.在直角ABC中, ABC=90,AB=3,BC=1,且PA|PA|+PB|PB|+PC|PC|=0,则下列说法正确的是
\begin{tasks}(4)         \task $\angle APB=120^\circ$         \task $\angle BPC=120^\circ$         \task $PC=2PB$         \task $PA= 2PC$ \end{tasks}


10.求值: limn(k=1narctan2k2)=
\begin{tasks}(4)         \task $\frac{\pi}{2}$         \task $\frac{3\pi}{4}$         \task $\frac{5\pi}{4}$         \task $\frac{3\pi}{2}$ \end{tasks}


11.从09这十个数中任取五个数组成一个 五位数ABCDE¯ (A可以为0),则396ABCDE¯的概率是
\begin{tasks}(4)         \task $\frac{1}{396}$         \task $\frac{1}{324}$         \task $\frac{1}{315}$         \task $\frac{1}{210}$ \end{tasks}

 

12.随机变量X(=1,2,3,),Y(=0,1,2),满足P(X=k)=12kYX(mod3),则E(Y)=
\begin{tasks}(4)         \task $\frac{4}{7}$         \task $\frac{8}{7}$         \task $\frac{12}{7}$         \task $\frac{16}{7}$ \end{tasks}

13.已知向量a,b,c满足|a|1,|b|1,|a+2b+c||a2b|,则下列说法正确的是
\begin{tasks}(2)         \task $\left| \overrightarrow{c} \right|$的最大值是$4\sqrt{2}$         \task $\left| \overrightarrow{c} \right|$的最大值是$2\sqrt{5}$         \task $\left| \overrightarrow{c} \right|$的最小值是$0$         \task $\left| \overrightarrow{c} \right|$的最小值是$2$ \end{tasks}

14.若存在x,yN,使得x2+ky,y2+kx均为完全平方数,则k的可能值是
\begin{tasks}(4)         \task $2$         \task $4$         \task $5$         \task $6$ \end{tasks}

15.求值: sin(arctan1+arccos310+arcsin15)=
\begin{tasks}(4)         \task $0$         \task $\frac{1}{2}$         \task $\frac{\sqrt{2}}{2}$         \task $1$ \end{tasks}

16.已知正四棱锥中,相邻两侧面构成的二面角为α,侧棱和底面夹角为β,则
\begin{tasks}(2)         \task $\cos\alpha + \tan^2 \beta=1$         \task $\sec\alpha + \tan^2 \beta=-1$         \task $\cos\alpha + 2\tan^2 \beta=1$         \task $\sec\alpha + 2\tan^2 \beta=-1$ \end{tasks}


17.已知函数f(x)=2exex+ex+sinx(2x2),则f(x)的最大值与最小值的和是
\begin{tasks}(4)         \task $2$         \task $e$         \task $3$         \task $4$ \end{tasks}


18.已知函数f(x)的图像如右图所示,记y=f(x),x=a,x=t(a<t<c)
x轴围成的曲边梯形面积为S(t),则下列说法正确的是
\begin{tasks}(4)         \task $S(t)<cf(b)$         \task $S'(t)\leqslant f(a)$         \task $S'(t)\leqslant f(b)$         \task $S'(t)\leqslant f(c)$ \end{tasks}

 

19.我们称数列{an}为好数列,若对于任意nN,存在mN,使得am=i=1mai,则下列说法正确的是
\begin{tasks}(1)         \task 若$a_n=\left\{ \begin{array}{c}  1,n=1\\  2^{n-2},n\geqslant 2\\ \end{array} \right.$,则数列$\{a_n\}$为好数列         \task 若$a_n=kn$ ($k$为常数),则数列$\{a_n\}$为好数列         \task 存在任意两项均不相同的好数列$\{a_n\}$,且对于任意$n\in \mathbb{N}^\ast$, $|a_n|<n$         \task 对于任意等差数列$\{a_n\}$,存在好数列$\{b_n\},\{c_n\}$,使得对于任意$n\in \mathbb{N} ^\ast$,有$a_n=b_n+c_n$ \end{tasks}


20.求值: 02πsin2xsin4x+cos4xdx=
\begin{tasks}(4)         \task $\pi$         \task $\sqrt{2}\pi$         \task $2\pi$         \task $\sqrt{5}\pi$ \end{tasks}

解.
02πsin2xsin4x+cos4xdx=40π2sin2xsin4x+cos4xdx=40π2tan2xtan4x+11cos2xdx=40u2u4+1du=4[01u2u4+1du+1u2u4+1du]=4[01u2u4+1du+011u4+1du]=401u2+1u4+1du=4011+1u2u2+1u2du=4011(u1u)2+2d(u1u)=22011(u1u2)2+1du1u2=22[arctanu1u2]01=2π.

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