北京大学2020年强基计划招生考试数学试题

北京大学2020年强基计划招生考试数学试题

选择题共20小题;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错或不选得0分.

1.正实数$x,y,z,w$满足$x\geq y\geq w$和$x+y\leq 2(z+w)$,则$\frac{w}{x}+\frac{z}{y}$的最小值等于
$$\begin{tasks}(4) \task $\frac{3}{4}$ \task $\frac{7}{8}$ \task $1$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

2.在$(2019 \times 2020)^{2021}$的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为
$$\begin{tasks}(4) \task $16$ \task $31$ \task $32$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

3.整数列$\{a_n\}_{n\geq 1}$满足$a_1=1,a_2=4$,且对任意$n\geq 2$有$a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}=2^{n-1}$,则$a_{2020}$的个位数字是
$$\begin{tasks}(4) \task $8$ \task $4$ \task $2$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

4.设$a,b,c,d$是方程$x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$的$4$个复根,则$\frac{a-1}{a+2}+\frac{b-1}{b+2}+\frac{c-1}{c+2}+\frac{d-1}{d+2}$的值为
$$\begin{tasks}(4) \task $-\frac{4}{3}$ \task $-\frac{2}{3}$ \task $\frac{2}{3}$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

5.设等边三角形$ABC$的边长为$1$,过点$C$作以$AB$为直径的圆的切线交$AB$的延长线与点$D$, $AD> BD$,则三角形$BCD$的面积为
$$\begin{tasks}(4) \task $\frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{16}$ \task $\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{16}$ \task $\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{16}$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

6.设$x,y,z$均不为$\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi$,其中$k$为整数,已知$\sin(y+z-x),\sin (x+z-y),\sin (x+ y-z)$成等差数列,则依然成等差数列的是
$$\begin{tasks}(4) \task $\sin x,\sin y,\sin z$ \task $\cos x,\cos y,\cos z$ \task $\tan x,\tan y,\tan z$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

7.方程$19x+93y=4xy$的整数解个数为
$$\begin{tasks}(4) \task $4$ \task $8$ \task $16$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

8.从圆$x^2+y^2=4$上的点向椭圆$C:\frac{x^2}{2}+y^2= 1$引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆$C$内不与任何切点弦相交的区域面积为
$$\begin{tasks}(4) \task $\frac{\pi}{2}$ \task $\frac{\pi}{3}$ \task $\frac{\pi}{4}$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

9.使得$5x+12\sqrt{xy}\leq a(x+y)$对所有正实数$x,y$都成立的实数$a$的最小值为
$$\begin{tasks}(4) \task $8$ \task $9$ \task $10$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

10.设$P$为单位立方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$上的一点,则$PA_1 + PC_1$的最小值为
$$\begin{tasks}(4) \task $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ \task $\sqrt{2+2\sqrt{2}}$ \task $2-\frac{\sqrt{2}}{2}$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

11.数列$\{a_n\}_{n\geq 1}$满足$a_1= 1,a_2=9$,且对任意$n\geq 1$有$a_{n+2}= 4a_{n+1}-3a_n-20$,其前$n$项和为$S_n$,则函数$S_n$的最大值等于
$$\begin{tasks}(4) \task $28$ \task $35$ \task $47$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

12.设直线$y=3x+m$与椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$交于$A,B$两点, $O$为坐标原点,则三角形$OAB$面积的最大值为
$$\begin{tasks}(4) \task $8$ \task $10$ \task $12$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

13.正整数$n\geq 3$称为理想的,若存在正整数$1\leq k\leq n-1$使得$C_n^{k-1},C_n^k,C_n^{k+1}$构成等差数列,其中$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$为组合数,则不超过$2020$的理想数个数为
$$\begin{tasks}(4) \task $40$ \task $41$ \task $42$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

14.在$\triangle ABC$中, $\angle A= 150^\circ$, $D_1,D_2,\cdots,D_{2020}$依次为边$BC$上的点,且$BD_1= D_1D_2= D_2D_3=\cdots = D_{2019}D_{2020}= D_{2020}C$,设$\angle BAD_1=\alpha_1,\angle D_1AD_2 =\alpha_2,\cdots,\angle D_{2019}AD_{2020}= \alpha_{2020},\angle D_{2020}AC =\alpha_{2021}$,则$\frac{\sin\alpha_1\sin\alpha_3\cdots \sin\alpha_{2021}}{\sin\alpha_2\sin\alpha_4\cdots \sin\alpha_{2020}}$的值为
$$\begin{tasks}(4) \task $\frac{1}{1010}$ \task $\frac{1}{2020}$ \task $\frac{1}{2021}$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

15.函数$\sqrt{3+ 2\sqrt{3}\cos\theta+\cos^2\theta} +\sqrt{5-2\sqrt{3}\cos\theta + \cos^2\theta+ 4\sin^2\theta}$的最大值为
$$\begin{tasks}(4) \task $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ \task $2\sqrt{2}+\sqrt{3}$ \task $\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

16.方程$\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}= 1$的实根个数为
$$\begin{tasks}(4) \task $1$ \task $2$ \task $3$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

17.凸五边形$ABCDE$的对角线$CE$分别与对角线$BD$和$AD$交于点$F$和$G$,已知$BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3$, $S_{\triangle CFD}$和$S_{\triangle ABE}$分别为$\triangle CFD$和$\triangle ABE$的面积,则$S_{\triangle CFD}:S_{\triangle ABE}$的值等于
$$\begin{tasks}(4) \task $8:15$ \task $2:3$ \task $11:23$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

18.设$p,q$均为不超过$100$的正整数,则有有理根的多项式$f(x)=x^5+px+q$的个数为
$$\begin{tasks}(4) \task $99$ \task $133$ \task $150$ \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

19.满足对任意$n\geq 1$有$a_{n+1}=2^n-3a_n$且严格递增的数列$\{a_n\}_{n\geq 1}$的个数为
$$\begin{tasks}(4) \task $0$ \task $1$ \task 无穷多个 \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$

20.设函数$f(x,y,z)=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$,其中$x,y,z$均为正实数,则有
$$\begin{tasks}(2) \task $f$既有最大值也有最小值 \task $f$有最大值但无最小值 \task $f$有最小值但无最大值 \task 前三个答案都不对 \end{tasks}$$