两个周期函数的和不是周期函数

(分析中的反例)两个周期函数,它们的和不是周期函数.

证. $\sin x$和$\sin \alpha x$在$(-\infty,+\infty)$上均是周期函数,其中$\alpha$为无理数.但$\sin x+\sin \alpha x$不是周期函数.

假设$\sin x+\sin \alpha x$是具有非零周期$T$的周期函数,则
$$\sin \left( x+T \right) +\sin \alpha \left( x+T \right) =\sin x+\sin \alpha x,$$
故
$$2\cos \left( x+\frac{T}{2} \right) \sin \frac{T}{2}=-2\cos \left( \alpha x+\frac{\alpha T}{2} \right) \sin \frac{\alpha T}{2}.$$

取$x=\frac{\pi}{2}$,则$\sin \frac{\alpha T}{2}=0$,则$\alpha T=2p\pi$;取$\alpha x=\frac{\pi} {2}$,则$\sin \frac{T}{2}=0$,则$T=2q\pi$,其中$p,q$都是非零整数.故$\alpha T=2p\pi=\alpha\cdot 2q\pi$,即$\alpha=\frac{p}{q}$,这与$\alpha$是无理数矛盾.

 

 

 

\begin{verse}
如果你想学会游泳，你必须下水；

如果想成为解题能手，你必须解题。——波利亚
\end{verse}

\section{数系表}

 

$$\text{复数}\left\{ \begin{array}{l} \text{实数}\left\{ \begin{array}{l} \text{有理数}\left\{ \begin{array}{l} \text{正有理数}\left\{ \begin{array}{l} \text{正整数}\\ \text{正分数}\\ \end{array} \right.\\ \text{零}\\ \text{负有理数}\left\{ \begin{array}{l} \text{负整数}\\ \text{负分数}\\ \end{array} \right.\\ \end{array} \right.\\ \text{无理数}\left\{ \begin{array}{l} \text{正无理数}\\ \text{负无理数}\\ \end{array} \right.\\ \end{array} \right.\\ \text{虚数}\\ \end{array} \right.$$

\section{实数}

(1)有理数、无理数、实数

整数与分数统称有理数.有理数集是整数集的扩张.任何一个有理数都可以表示为$p/q$的形式,其中$p$、$q$为互质整数,且$q\neq 0$.包括整数、有限小数和无限循环小数,例如$0,1,-1,\frac{1}{2},0.314,0.\dot{3}$.

无限不循环小数称为无理数.常见的无理数有$\sqrt{2},\pi$等.

“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number.而rational通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思.所以rational number其实就是整数的“比”.与之相对, “无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理.

有理数和无理数统称实数.

(2)实数的绝对值
$$|a|=\begin{cases} a, & a>0, \\ 0, & a=0, \\ -a, & a<0. \end{cases}$$

绝对值的几何意义: $|x|$表示数轴上的点$x$到原点$0$的距离,而$|x-a|$表示数轴上的点$x$到点$a$的距离.

(3)数的运算律

加法满足交换律($a+b=b+a$)、结合律($(a+b)+c=a+(b+c)$);

乘法满足交换律($ab=ba$)、结合律($(ab)c=a(bc)$).

乘法满足对于加法的分配律($a(b+c)=ab+ac$).

(4)数集的记号

复数($\mathbb{C}$)、实数($\mathbb{R}$)、有理数($\mathbb{Q}$)、自然数($\mathbb{N}$,包含0和正整数)、正整数($\mathbb{N_+}$或$\mathbb{N^\ast}$).

 

\section{复数}

为了求解形如$x^2=-1$的没有实数解的一元二次方程,可引入复数.

 

(1)虚数单位

数$i$满足$i^2=-1$, $i$称为虚数单位,规定$i$可与实数在一起按实数的运算律进行四则运算.

$i$的整数幂具有如下周期性质:
$i^{4n}=1,i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i\,(n\in \mathbb{Z})$.

(2)复数

形如$a+bi\,(a,b\in \mathbb{R})$的数叫复数, $a$、$b$分别称为复数的实部和虚部,通常以$\mathbb{C}$表示复数集,以$z$表示复数.

两个复数当且仅当它们的实部和虚部相等时相等.

(3)复数的表示法

(a)复数的代数式: $z=a+bi$.

(b)复数的几何表示:复数$z=a+bi$与复平面上以坐标原点$O$为起点、以点$z(a,b)$为终点的向量$\overrightarrow{Oz}$一一对应.向量$\overrightarrow{Oz}$的长度$r$称为复数$a+bi$的模(或绝对值),记作$|a+bi|$或$\left|\overrightarrow{Oz}\right|$. $x$轴正方向到$\overrightarrow{Oz}$的角$\theta$称为复数$a+bi$的辐角,满足$-\pi<\theta\leq \pi$的辐角$\theta$的值称为辐角的主值.

(c)复数的三角式: $a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$,其中

 

 

 

(2014年华中科技大学理科实验班选拔试题)
1、若$a$为正整数而$\sqrt a$不为整数，证明：$\sqrt a$为无理数.

2、试证：除$0,0,0$外，没有其他整数$m,n,p$使得 $$m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.$$

四、（本题共12分） 证明：设$m$是任一正整数，则$a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}$不是整数．

若$a,b$都是有理数,且$a<b$,则必存在一个无理数$\alpha$,使$a<\alpha<b$.

因为$a<b,\sqrt{2}a<\sqrt{2}b$,
$$\left( \sqrt{2}-1 \right) a<\left( \sqrt{2}-1 \right) b,\quad \sqrt{2}a<\left( \sqrt{2}-1 \right) b+a.\tag{1}$$
又$a<b$,所以$a<\sqrt{2}b-\sqrt{2}b+b$,
即
$$a<\sqrt{2}b-\left( \sqrt{2}-1 \right) b,\quad \left( \sqrt{2}-1 \right) b+a<\sqrt{2}b.\tag{2}$$
由(1)和(2)可得$\sqrt{2}a<\left( \sqrt{2}-1 \right) b+a<\sqrt{2}b$,则
$$a<\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right) b+a}{\sqrt{2}}<b,$$
即$a,b$之间必存在一个无理数
$$\alpha=\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right) b+a}{\sqrt{2}}=\frac{2b+\sqrt{2}(a-b)}{2}.$$

由于$a,b$的任意性,本题结论实际上表明:任意两有理数之间必存 在无数个无理数.