代数恒等变形

$$\begin{example} (三元均值不等式)设$a,b,c\in \mathbb{R}^+$,则 $$ \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\le \sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}, $$ \end{example}$$
$$\begin{solution} 先证明: $$ a^3+b^3+c^3\ge 3abc,\quad a,b,c\in \mathbb{R}^+. $$ 事实上, \begin{align*} a^3+b^3+c^3-3abc &=\left( a+b \right) ^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc \\ &=\left( a+b+c \right) \left[ \left( a+b \right) ^2-\left( a+b \right) c+c^2 \right] -3ab\left( a+b+c \right) \\ &=\left( a+b+c \right) \left[ \left( a+b \right) ^2-\left( a+b \right) c+c^2-3ab \right] \\ &=\left( a+b+c \right) \left( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \right) \\ &=\left( a+b+c \right) \left[ \frac{1}{2}\left( a-b \right) ^2+\frac{1}{2}\left( b-c \right) ^2+\frac{1}{2}\left( c-a \right) ^2 \right] \ge 0. \end{align*} 令$a^3\to a,b^3\to b,c^3\to c$即可. \end{solution}$$

$$\begin{example} (2012年初联)已知互不相等的实数$a,b,c$满足$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=t$,求$t$. \end{example}$$
\begin{solution}
由$a+\frac{1} {b}=t$得$b=\frac{1}{t-a}$,代入$b+\frac{1}{c}=t$得$\frac{1}{t-a}+\frac{1}{c}=t$,整理得$ct^2-(ac+1)t+(a-c)=0$\ding{172}.

又由$c+\frac{1}{a}=t$可得$ac+1=at$,代入\ding{172}式得$ct^2-at^2+(a-c)=0$,即$(c-a)(t^2-1)=0$,又$c\neq a$,所以$t^2-1=0$,所以$t=\pm 1$.

验证可知: $b=\frac{1}{1-a},c=\frac{a-1}{a}$时$t=1$;
$b=-\frac{1}{1+a},c=-\frac{a+1}{a}$时$t=-1$.因此, $t=\pm 1$.
\end{solution}