早期和东京,京都大学高考试题
如1932年清华大学入学考试的一道题：设有点$(4,5,6)$,求
(a)过此点而含有线$\frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{y-2}{-1}$之平面;
(b)球$x^2+y^2+z^2=9$之切面,与(a)中所得平面平行者;
(c)对于$x^2+y^2+z^2=9$而言$(4,5,6)$之极面;
(d)以$(4,5,6)$为顶点所作$x^2+y^2+z^2=9$之切线锥面.
而上面所提到的这份1939年高考数学试卷就是如此.
1.已知$\sqrt{2}+i\,(i=\sqrt{-1})$为方程式:
\[x^6 +3x^5-3x^4-6x^3+11x^2 +27x-9=0\]
之一根,求其余诸根.
2.用De Moivre定理解方程式:
\[(x-2)^2(x^2+2x+4)^2+12=0.\]
3.设$a,b,c$为不全等于零之实数,求证方程式
\[
\left| \begin{matrix}
x^2& 2xy& y^2& 0\\
0& x^2& 2xy& y^2\\
c& -2b& a& 0\\
0& c& -2b& a\\
\end{matrix} \right|=1
\]
恒表示两个二次曲线,并讨论其性质.
4.求过椭圆上之一定点上诸弦之中点之轨迹,并讨论之.
5、设$a$、$b$为合乎关系$ab\neq 0,a^2\neq b^2$之二常数, $\theta$、$\phi$为合乎关系$a+a_n\theta\neq b+a_n\phi=0$之二参数(parameters).求证:
\[x= a\sin^2 \theta+ b\cos^2\theta,\quad y= b\sin^2 \phi + a\cos^2 \phi.\]
6.有互相外切之三圆,其半径分别为$a$、$b$、$c$,试求三圆当中空隙之面积.
这份高考数学试卷是1939年国立各院校统一招生甲组试题，就是这份试题曾经让上海的顾鸿达、康士凯、胡仲威三位特级名师都为之吃惊，上海早期设立了名师培养基地，在数学上只有三处，就是由这3位名师主持，在顾鸿达的名师基地中，还曾把这份试卷作为学员作业，那个时候华东师范大学的张奠宙教授曾应邀到基地做过演讲，在看到这份试卷之后，他问了顾鸿达把这份试卷作为培训作业的用意何在，
顾鸿达回答道："我在第一眼看到这份试卷时，颇有些吃惊，一共6个题目，几乎都超出了今天的《数学课程标准》的内容，高次方程，De Moivre定理、行列式都被我们削减了，一个初步的感想是，数学教学似乎年年同样的课程，可是几十年之后回头一望，变化还真不少，让学员看看，知道数学教学并非是一成不变的老套子，而是在不断地变化着，教学改革是历史发展的需要"，
当时的代数、三角等试题，也有不少是超越课程标准的，例如1933年武汉大学入学试题中有试证明$i$的$i$次方等于$e$的$-\pi/2$次方, $i=\sqrt{-1}$,此题虽然可用棣美弗定理，但是$\cos i\pi/2$是中学三角没有讲到的，又如1933年上海交通大学入学试题代数题中有，以递差法求下列级数之第$n$项及$n$项之和：8，16，0，-64，-200，-432.....此题亦是超当时课程标准的，大学入学考试内容超越课程标准，就迫使很多中学教学不能完全按照课程标准进行，如果那个学校完全实行教育部公布的课程标准，其毕业生就难以应付升学考试，
因此，很多学校便采用内容更为丰富的教科书，然而当时的中文教科书是要经过教育部审定的，要通过审定，自然不得不按课程标准编写，也就无法适应升学考试的要求，在这种情况下，各个中学解决问题的办法是选用外国教科书，于是乎像范氏大代数、斯盖倪三氏新解析几何学、华氏高等代数等一类的教科书，不胫而走，散步全国，据说每年这几类书在全国的销量都很高，
下面是当时国立北京大学与上海交通大学入学数学试题.
国立北京大学入学试验算学试题
(1932年7月,理学院用)
(A)
代数
1.试解方程式: $a(x +y)=b(x-y)=xy$.
2.求$4x+49y-28\sqrt{xy}$之平方根.
3.设$x+y+z=0$,试证明: $x^3+y^3+z^3=3xyz$.
4.试解方程式: $\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{5}{6}$.
三角
5.试求方程式: $\sin 3\theta + \cos \theta=0$之一般根.
6.试证: $\frac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}=\frac{\sin (a+b)}{\sin (a-b)}$.
几何
7.于四边形之内,取一点不在两对角线之交点之上者.试证明从此点至各顶点之距离之和,大于两对角线之和.
8.内接(inscribed)于圆之平行四边形为矩形,其对角线通过圆心.试证明之.
9.求内接于圆之正六角形(Regular heragon)与外切(circumscribed)正三角形之面积之比.
10.直角三角形之斜边(hypotenuse)上所画之正三角形之面积,等于其余两边上所画之正三角形之面积之和.
(B)
解析几何
1.关于直交轴有三直线$x=0,y=0,\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.求与此三直线相切之國之方程式.
2.求二直线$y=m_1x+c_1,y=m_2x +c_2$,及$y$轴所包围之三角形之面积.
3.试讨论方程式$3y^2 + 2x+1=0$所表示之曲线
4.双曲线之切线与渐近线相交,试证切点移动,其所包围之三角形之面积为常数.
高等代数
5.试求适合$5x+3y> 121,\frac{7}{4}x+y=42$二式之$x,y$之值之界限.
6. $(1+x)^n$之展开式中,求其各项系数之平方之和.
7.试求方程式$(x-2)(x-3)(x-4)= 1\cdot 2\cdot 3$之诸根.
8.试求: $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\cdots\text{至无穷}}}}$.
国立.上海交通大学入学试验算学试题
(1933年)
(A)
高等代数
1.分解次式为部分分数$\frac{x^2+px+q}{(x-a)(x-b)(x-c)}$.
2.若$a,b,c$为不等正数,求证: $a^3+b^3 +c^3 > 3abc$.
3.以递差法(Method of I difference)求下列级数之第$n$项及$n$项之和:
\[8,16,0,-64,-200,-432,\cdots\]
4.某童平均能于五题中作三题.若试验八题中,能作五题即及格,求此童及格之机会.
5.用消元法解下之联立方程式:
\begin{align*}
x^2-3xy + 2y^2-16x-28y= 0,\\
x^2-xy-2y^2-5x-5y=0.
\end{align*}
6.求一最简分数表$\pi = 3.14159265\cdots$使其误差小于$0.000001$.
7.以一行列式表次行列式之积:
\[
\left| \begin{matrix}
a& -a& a& a\\
-b& b& b& b\\
c& c& -c& c\\
d& d& d& -d\\
\end{matrix} \right|\cdot \left| \begin{matrix}
a& b\\
c& d\\
\end{matrix} \right|.
\]
8.知$x^3-2x^2-23x+70=0$有根在$-5$与$-6$之间,求此根之值至小数四位止.
(B)
平面三角及解析几何
1.求满足次方程式$x$之值: $\mathrm{Vers}^{-1}x-\mathrm{Vers}^{-1}\alpha x= \mathrm{Vers}^{-1}(1-\alpha)$.
2.一人立于高为$h$之塔之正南,测得塔之仰角为$\alpha$.自此向西行至$A$处,测得仰角$\beta$;继续西行至$B$,得仰角$\gamma$,求$AB$之长,以$h,\alpha,\beta,\gamma$表之.
3.由抛物线焦点向切线所引之垂直线,交过切点之直径于准线上.
4.讨论且描出次方程式之轨迹$r^2 = 16\sin 2\theta$.
5.椭圆诸圆之极(Pole)在辅圆(Auciliary ciree)上,求此诸弦中心之轨迹.
6.求双曲线$x^2-y^2=a^2$之反曲线(Inverse),并讨论其性质,但反演中心(Center of inversion)在双曲线之顶点上.
7.求过$(3,2,-6）$且与平面$4x-y+3z=5$垂直之直线方程式.
8.求过直线$\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$及与直线$\frac{x-x_2} {a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$平行之平面之方程式.
\section{东京大学令和2年(2020年) 二次试理系数学试题}
本卷共$6$题,满分$120$分,考试时长$150$分钟.
第一题
设$a,b,c,p$为实数.假定同时满足以下三个不等式
\begin{align*}
ax^2+ bx+c> 0,\\
bx^2+ cx+a> 0,\\
cx^2+ axc+b>0
\end{align*}
的实数$x$所成之集合与满足$x>p$的实数$x$所成之集合一致.
1.证明$a,b,c$都大于等于$0$.
2.证明$a,b,c$三者之中至少有一个等于$0$.
3.证明$p=0$.
第二题
若平面上三点$P,Q,R$不共线,则以此三点为顶点的三角形面积记为$\triangle PQR$. $P,Q,R$三点共线时, $\triangle PQR=0$.
设$A,B,C$为平面上三点, $\triangle ABC=1$.与$A,B,C$在同一平面上的动点$X$满足条件
\[2\leq \triangle ABX+\triangle BCX+\triangle CAX\leq 3\]
求动点$X$运动范围的面积.
第三题
对于满足$-1\leq t\leq 1$的实数$t$,设
\[x(t)=(1+t)\sqrt{1+t},\qquad y(t)=3(1+t)\sqrt{1-t}\]
考虑坐标平面上的点$P(x(t),y(t))$.
1.证明在$-1<t\leq 1$的范围内,关于$t$的函数$\frac{y(t)}{x(t)}$单调递减.
2.设原点与$P$之间的距离为$f(t)$.研究在$-1\leq t\leq 1$范围内关于$t$的函数$f(t)$的单调性,并求其最大值.
3.当$t$在$-1\leq t\leq 1$范围内变动时, $P$点的轨迹记为 $C$.曲线$C$与$x$轴围成的区域记为$D$.以原点为中心,使$D$顺时针方向旋转$90^\circ$,求$D$扫过的面积.
第四题
设$n,k$为$1\leq k\leq n$的整数.从$n$个整数
\[2^m,\quad (m=0,1,2,\cdots,n-1)\]
中挑出两两不同的$k$个,取其乘积.对于所有$k$个整数的选择方案都如此取其乘积,并把这$\binom{n}{k}$个乘积的和记为$a_{n,k}$.例如,
\[a_{4,3}=2^0\cdot 2^1\cdot 2^2+2^0\cdot 2^1\cdot 2^3+2^0\cdot 2^2\cdot 2^3+2^1\cdot 2^2\cdot 2^3=120.\]
1.对于大于等于$2$的整数$n$,求$a_{n,2}$.
2.对于大于等于$1$的整数$n$,考虑关于$x$的整式
\[f_n(x)=1+a_{n,1}x+a_{n,2}x^2+\cdots+a_{n,n}x^n\]
把$\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}$与$\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)}$表示为关于$x$的整式.
3.用$n,k$表示出$\frac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}$.
第五题
在坐标空间中考虑$xy$平面上以原点为圆心,半径等于$1$的圆.以此圆为底面, $(0,0,2)$为顶点的圆锥(含内部)记为$S$.考虑点$A(1,0,2)$.
1.当点$P$在$S$的底面上运动时,线段$AP$在空间中扫过的部分记为$T$.用平面$z=1$去截$S$与$T$,在同一平面上画出这两处截口的图示.
2.当点$P$在整个$S$的范围内运动时,求线段$AP$在空间中扫过的体积.
第六题
回答以下问题.
1.设$A,\alpha$为实数.考虑关于$\theta$的方程
\[A\sin(2\theta)-\sin(\theta+\alpha)=0\]
证明:当$A>1$时,此方程在$0\leq \theta<2\pi$的范围内至少有$4$个解.
2.考虑坐标平面上的椭圆
\[\frac{x^2}{2}+y^2=1\]
对于满足$0<r<1$的实数$r$,不等式
\[2x^2+y^2\leq r^2\]
表示的区域记为$D$.证明存在实数$r\,(0<r<1)$,使得$D$内所有的点$P$都满足以下条件,并且求这样的$r$的最大值.条件: $Q$为$C$上一点, $C$在$Q$处的切线与直线$PQ$垂直,这样的点$Q$至少有$4$个.
\section{京都大学令和2年(2020年) 二次试理系数学试题}
本卷共$6$题,满分$200$分(其中理学部、经济学部算$300$分,医学部、工学部算$250$分),考试时长$150$分钟.
第一题
假设$a,b$为实数且$a>0$.关于$z$的方程
\[z^3+3az^2+bz+1=0\tag{$\ast$}\]
有$3$个相异的解,这$3$个根组成复平面上边长为$\sqrt{3}a$的正三角形.求$a,b$与 $(\ast)$的$3$个解.
第二题
设$p$为正整数. $\alpha$与$\beta$是 关于$x$的方程$x^2-2px-1=0$的两个解, $|\alpha|>1$.
1.证明对于所有 正整数$n$, $\alpha^n+\beta^n$是整数,并且进一步证明$\alpha^n+\beta^n$是偶数.
2.求极限
\[\lim_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin (\alpha^n\pi).\]
第三题
设$k$为正实数.在坐标空间中以原点$O$为中心半径等于$1$的球面上有$4$点$A,B,C,D$满足如下关系式.
\begin{align*}
\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}&=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2},\\
\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}&=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=-\frac{\sqrt{6}}{4},\\
\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD}&=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OD}=k,
\end{align*}
求$k$的值.其中对于坐标空间的点$X,Y$, $\overrightarrow{OX}\cdot \overrightarrow{OY}$表示$\overrightarrow{OX}$与$\overrightarrow{OY}$的内积.
第四题
如果正整数$a$可以写成
\[a=3^bc\quad \text{($b,c$都是整数, $c$不能被3整除)}\]
的形式,则定义$B(a)=b$.例如$B(3^2\cdot 5)=2$.设$m,n$为整数且满足以下条件: (i) $1\leq m\leq 30$, (ii) $1\leq n\leq 30$, (iii) $n$不能被$3$整除.对于这样的$(m,n)$置
\[f(m,n)=m^3+n^2+n+3\]
求$A(m,n)=B(f(m,n))$的最大值,并求出使$A(m,n)$取到最大值的全部$(m,n)$.
第五题
在纵四格横四格的方格内分别填入数字$1,2,3,4$.方格中横向一排称为行,纵向一排称为列.每一行每一列中每个数字只出现一次,求填入数字的方法数.下图为满足条件的一种填法.
第六题
在以$(x,y,z)$为坐标的空间中, $xy$平面内的曲线
\[z=\sqrt{\log (1+x)}\quad (0\leq x\leq 1)\]
围绕着$z$轴旋转一周,这条曲线在空间中扫过的部分形成图形$S$.这个图形$S$再围绕着$x$轴旋转一周,在空间中扫过的部分成为立体$V$.求$V$的体积.
