矩阵方程的计算求解（Matlab实现）

一、Lyapunov方程的计算求解
1、连续Lyapunov方程
连续Lyapunov方程可以表示为：

AX + XA* = -C % 其中A*是A的转置
1
Lyapunov方程源于微分方程稳定性理论，其中要求-C为对称正定的nxn矩阵，从而可以证明解X亦为nxn对称矩阵。Lyapunov类的方程求解是很困难的，可以利用Matlab控制系统工具箱中提供的lyap函数求解，调用格式为

X = lyap(A, C)
1
matlab代码：

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0]; C = -[10 5 4;5 6 7;4 7 9];
X = lyap(A, C)
norm(A*X + X*A' + C) % 验证解的情况

% 结果：
>> Matrix_equation

X =

-3.9444 3.8889 0.3889
3.8889 -2.7778 0.2222
0.3889 0.2222 -0.1111

ans =

2.3211e-14

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2、Lyapunov方程的解析解

3、离散 Lyapunov方程
离散Lyapunov方程可以表示为：

AXA* - X + Q = 0 % 其中A*是A的转置矩阵
1
该方程可以由MATLAB控制系统工具箱的dlyap函数直接求解。该函数的调用格式为：

X = dlyap(A, Q)
1
matlab代码为：

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0]; Q = -[10 5 4;5 6 7;4 7 9];
X = dlyap(A, Q)
norm(A*X*A'- X + Q) % 精度验证

% 结果：

X =

-2.8439 3.2500 -3.0501
3.2500 -3.3780 2.8107
-3.0501 2.8107 -0.5462

ans =

7.6172e-14

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二、Sylvester方程的计算求解
Sylvester方程的一般形式为：

AX + XB = -C
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其中，A为nxn矩阵，B为mxm矩阵，C和X均为nxm矩阵。该方程又称为广义的Lyapunov方程。仍然可以用Matlab中控制系统工具箱中的lyap函数直接求解该方程。函数的一般调用格式为：

X = lyap(A,B,C)
1
该函数采用的是Schur分解的数值解法求解方程。
matlab代码：

A = [1 2 3;2 4 1;4 6 1];
B = [2 3 5;2 7 5;5 4 3];
C = -[3 4 2;3 2 4;2 0 9];
X = lyap(A, B, C)
norm(A*X + X*B + C )

% 结果：

X =

-9.5651 10.3207 -4.3218
1.4515 -1.7102 1.3843
9.9199 -9.7210 4.2467

ans =

3.9005e-14

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三、Riccati方程的计算求解
Riccati方程是一类很著名的二次型矩阵方程式，其一般形式为：

A*X + XA - XBX + C = 0 % A*是A的转置矩阵
1
由于含有未知矩阵X的二次项， 所以Riccati方程的求解数学上要比Lyapunov方程更难。Matlab的控制系统工具箱提供了现成函数are，调用形式如下：

X = are(A, B, C)
1
matlab代码：

A = [1 2 3;2 4 1;4 6 1];
B = [-2 3 5;2 7 5;5 4 3];
C = [3 4 2;3 2 4;2 0 9];
X = are(A, B, C)
norm(A'*X + X*A - X*B*X + C)

% 结果：

X =

-0.1180 1.4662 -0.6059
0.4316 1.4014 0.0150
0.9982 -0.4684 2.0600

ans =

3.2899e-14
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