陈同学问题

$$\begin{example} 求所有整数$a,b$,其中$|a|\leq 5,|b|\leq 5$,使得$x^4-3x^2-ax+b=0$恰有两个不同的整数解. \end{example}$$
\begin{solution}
当$x\geq 0$时,有$x^4-3x^2=ax-b\leq 5x+5$,则$0\leq x\leq 2.43$;同理可知,当$x< 0$时,有$x^4-3x^2=ax-b\leq -5x+5$,
则$0>x>-2.43$.因此整数$x$只能取$-2,-1,0,1,2$.相应地,有$4+2a+b=0,-2+a+b=0,b=0,-2-a+b=0,4-2a+b=0$.

经检验,有$a=-2,b=0$,此时$x=-2,0,1$,矛盾; $a=0,b=-4$,此时$x=-2,1$,满足题意; $a=2,b=0$,此时$x=2,-1$,满足题意; $a=0,b=2$,此时整数$x=-1,1$也满足.

综上, $(a,b)=(0,-4),(2,0)$或$(0,2)$.
\end{solution}

$$\begin{example} 2.在一次宴会上,有10对夫妻参加,将所有男士安排在一个有10个座位的圆桌旁,所有女士安排在另外一张也是10个座位的圆桌旁,且每位女士的座位相对位置和她的配偶相同,我们发现新冠病毒在与会者之间传播,传播途径如下: $A$为一名健康与会者,当且仅当其座位两侧及其配偶三人间至少有两人感染的情况下, $A$才会被感染.设宴会开始时的$20$人中有$S$人感染,病毒在与会者中传播,则最后可能使所有与会者都感染上的$S$的最小值为多少? \end{example}$$

$$\begin{example} 求$\frac{1}{4\times 1^4+1}+\frac{2}{4\times 2^4+1}+\frac{3}{4\times 3^4+1}+\cdots+\frac{100}{4\times 100^4+1}$的值. \end{example}$$

$$\begin{example} (2011年清华保送生)证明:对于任意的正整数$a$、$b$有 \[ \left( a,b \right) =\frac{1}{a}\sum_{m=0}^{a-1}{\sum_{n=0}^{a-1}{e^{\frac{2\pi imnb}{a}}}}. \] \end{example}$$
\begin{solution}
设$\mathrm{gcd}(a,b)=d,a=dx,b=dy,w=e^{2\pi i\frac{y}{x}}$,其中$a,b,d,x,y\in \mathbb{Z}_+$,则$w^x=1$.
$$\frac{1}{a}\sum_{m=0}^{a-1}{\sum_{n=0}^{a-1}{e^{\frac{2\pi imnb}{a}}}}=\frac{1}{a}\sum_{m=0}^{a-1}{\sum_{n=0}^{a-1}{w^{mn}}}.$$
注意到$\left( 1-w^m \right) \sum_{n=0}^{a-1}{w^{mn}}=1-w^{am}=0$.因此,当且仅当$m=0,x,2x,\cdots,(d-1)x$时, $w^m=1$,此时$\sum_{n=0}^{a-1}{w^{mn}}=a$.而当$m$取其他值时, $\sum_{n=0}^{a-1}{w^{mn}}=0$.

综上所述,所求结果为$\frac{1}{a}\cdot da=d$.
\end{solution}