清华大学2015年自主招生暨领军计划试题
**清华大学2015年自主招生暨领军计划试题(上)**
说明：本试卷共30小题，共100分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分．
本次分享涵盖试卷的前15道题！下次分享后15道题，敬请期待！
1、设复数$z=\cos\dfrac{2\pi}3+{\rm i}\sin\dfrac{2\pi}3$，则$\dfrac{1}{1-z}+\dfrac{1}{1-z^2}=$（ ）
A．$0$
B．$1$
C．$\dfrac 12$
D．$\dfrac 32$
2、设$\{a_n\}$为等差数列，$p,q,k,l$为正整数，则“$p+q>k+l$”是“$a_p+a_q>a_k+a_l$”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3、设$A,B$是抛物线$y=x^2$上的两点，$O$是坐标原点．若$OA\perp OB$，则（ ）
A．$|OA|\cdot |OB|\geqslant 2$
B．$|OA|+|OB|\geqslant 2\sqrt 2$
C．直线$AB$过抛物线$y=x^2$的焦点
D．$O$到直线$AB$的距离小于等于$1$
4、设函数$f(x)$的定义域为$(-1,1)$，且满足：
① $f(x)>0$，$x\in(-1,0)$；
② $f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+xy}\right)$，$x,y\in(-1,1)$，
则$f(x)$为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．减函数
D．有界函数
5、如图，已知直线$y=kx+m$与曲线$y=f(x)$相切于两点，则$F(x)=f(x)-kx$有（ ）
A．$2$个极大值点
B．$3$个极大值点
C．$2$个极小值点
D．$3$个极小值点
6、$\triangle ABC$的三边分别为$a,b,c$．若$c=2$，$\angle C=\dfrac{\pi}3$，且$$\sin C+\sin (B-A)-2\sin 2A=0,$$则（ ）
A．$b=2a$
B．$\triangle ABC$的周长为$2+2\sqrt 3$
C．$\triangle ABC$的面积为$\dfrac{2\sqrt 3}3$
D．$\triangle ABC$的外接圆半径为$\dfrac{2\sqrt 3}3$
7、设函数$f(x)=\left(x^2-3\right){\rm e}^x$，则（ ）
A．$f(x)$有极小值，但无最小值
B．$f(x)$有极大值，但无最大值
C．若方程$f(x)=b$恰有一个实根，则$ b>\dfrac{6}{{\rm e}^3}$
D．若方程$f(x)=b$恰有三个不同实根，则$ 0<b<\dfrac{6}{{\rm e}^3}$
8、已知$A=\left\{(x,y)\left|x^2+y^2=r^2\right.\right\}$，$B=\left\{(x,y)\left|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\right.\right\}$，已知$A\cap B=\left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\right\}$，则（ ）
A．$ 0<a^2+b^2<2r^2$
B．$a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0$
C．$x_1+x_2=a$，$y_1+y_2=b$
D．$a^2+b^2=2ax_1+2by_1$
9、已知非负实数$x,y,z$满足$4x^2+4y^2+z^2+2z=3$，则$5x+4y+3z$的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
10、设数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若对任意正整数$n$，总存在正整数$m$，使得$S_n=a_m$，则（ ）
A．$\{a_n\}$可能为等差数列
B．$\{a_n\}$可能为等比数列
C．$\{a_n\}$的任意一项均可写成$\{a_n\}$的两项之差
D．对任意正整数$n$，总存在正整数$m$，使得$a_n=S_m$
11、运动会上，有$6$名选手参加$100$米比赛，观众甲猜测：$4$道或$5$道的选手得第一名；观众乙猜测：$3$道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：$1,2,6$道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：$4,5,6$道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有$1$人猜对比赛结果，此人是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
12、长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2$，$AD=AA_1=1$，则$A$到平面$A_1BD$的距离为（ ）
A．$\dfrac 13$
B．$\dfrac 23$
C．$\dfrac{\sqrt 2}2$
D．$\dfrac{\sqrt 6}3$
13、设不等式组$$|x|+|y|\leqslant 2,$$
$$y+2\leqslant k(x+1),$$
所表示的区域为$D$，其面积为$S$，则（ ）
A．若$S=4$，则$k$的值唯一
B．若$S=\dfrac 12$，则$k$的值有$2$个
C．若$D$为三角形，则$ 0<k\leqslant \dfrac 23$
D．若$D$为五边形，则$k>4$
14、$\triangle ABC$的三边长是$2,3,4$，其外心为$O$，则$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{CA}=$（ ）
A．$0$
B．$-15$
C．$-\dfrac{21}2$
D．$-\dfrac{29}2$
15、设随机事件$A$与$B$互相独立，且$P(B)=0.5$，$P(A-B)=0.2$，则（ ）
A．$P(A)=0.4$
B．$P(B-A)=0.3$
C．$P(AB)=0.2$
D．$P(A+B)=0.9$
【命题分析】第一题考察的主要知识点是复数单位根的相关计算；第二题考察的主要是等差数列性质与充要条件综合；第三题考察的内容是一次函数与抛物线综合；第四题考察的内容是抽象函数的奇偶性、单调性和有界性等性质；第五题考察的内容是数形结合，复合函数的极值问题；第六题考察的内容是三角函数与解三角形；第七题考察的内容是函数的极值和最值问题；第八题考察的内容是解析几何圆的方程相关内容；第九题考察的内容是利用数形结合解决有限制条件的函数最值问题；第十题主要考察的是数列的性质；第十一题考察的内容是逻辑推理问题；第十二题考察的内容是立体几何中的点到面的距离；第十三题考察的内容是二元一次不等式组表示平面区域问题；第十四题考察的内容是五心问题与向量问题综合；第十五题考察的知识点是随机事件与概率问题。
【小结】综合前十五道题，可以看出函数、三角函数、解析几何、向量、复数、数列、立体几何等主要知识点都有考察到。同时，也能看出题目注重考察多个知识点的综合。
**清华大学2015年自主招生暨领军计划试题(下)**
说明：本试卷共30小题，共100分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分．
本次分享涵盖试卷的后15道题！上部分可以查阅
16、过$\triangle ABC$的重心作直线将$\triangle ABC$分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ）
A．最小值为$\dfrac 34$
B．最小值为$\dfrac 45$
C．最大值为$\dfrac 43$
D．最大值为$\dfrac 54$
17、从正$15$边形的顶点中选出$3$个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）
A．$105$种
B．$225$种
C．$315$种
D．$420$种
18、已知存在实数$r$，使得圆周$x^2+y^2=r^2$上恰好有$n$个整点，则$n$可以等于（ ）
A．$4$
B．$6$
C．$8$
D．$12$
19、设复数$z$满足$2|z|\leqslant |z-1|$，则（ ）
A．$|z|$的最大值为$1$
B．$|z|$的最小值为$\dfrac 13$
C．$z$的虚部的最大值为$\dfrac 23$
D．$z$的实部的最大值为$\dfrac 13$
20、设$m,n$是大于零的实数，向量${\bf a}=(m\cos\alpha,m\sin\alpha)$，${\bf b}=(n\cos\beta,n\sin\beta)$，其中$\alpha,\beta\in [0,2\pi)$．定义向量${\bf a}^{\frac 12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\alpha}2,\sqrt m\sin\dfrac{\alpha}2\right)$，${\bf b}^{\frac 12}=\left(\sqrt n\cos\dfrac{\beta}2,\sqrt n\sin\dfrac{\beta}2\right)$，记$\theta=\alpha-\beta$，则（ ）
A．${\bf a}^{\frac 12}\cdot{\bf a}^{\frac 12}={\bf a}$
B．${\bf a}^{\frac 12}\cdot {\bf b}^{\frac 12}=\sqrt{mn}\cos\dfrac{\theta}2$
C．$\left|{\bf a}^{\frac 12}-{\bf b}^{\frac 12}\right|^2\geqslant 4\sqrt{mn}\sin^2\dfrac{\theta}4$
D．$\left|{\bf a}^{\frac 12}+{\bf b}^{\frac 12}\right|^2\geqslant 4\sqrt{mn}\cos^2\dfrac{\theta}4$
21、设数列$\{a_n\}$满足：$a_1=6$，$a_{n+1}=\dfrac{n+3}na_n$，则（ ）
A．$\forall n\in\mathcal N^*,a_n<(n+1)^3$
B．$\forall n\in\mathcal N^*,a_n\neq 2015$
C．$\exists n\in\mathcal N^*,a_n$为完全平方数
D．$\exists n\in\mathcal N^*,a_n$为完全立方数
22、在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ）
A．$\rho=\dfrac{1}{\cos\theta+\sin\theta}$
B．$\rho=\dfrac{1}{2+\sin\theta}$
C．$\rho=\dfrac{1}{2-\cos\theta}$
D．$\rho=\dfrac{1}{1+2\sin\theta}$
23、设函数$f(x)=\dfrac{\sin\pi x}{x^2-x+1}$，则（ ）
A．$f(x)\leqslant \dfrac 43$
B．$\left|f(x)\right|\leqslant 5|x|$
C．曲线$y=f(x)$存在对称轴
D．曲线$y=f(x)$存在对称中心
24、$\triangle ABC$的三边分别为$a,b,c$，若$\triangle ABC$为锐角三角形，则（ ）
A．$\sin A>\cos B$
B．$\tan A>\cot B$
C．$a^2+b^2>c^2$
D．$a^3+b^3>c^3$
25、设函数$f(x)$的定义域是$(-1,1)$，若$f(0)=f'(0)=1$，则存在实数$\delta\in (0,1)$，使得（ ）
A．$f(x)>0$，$x\in(-\delta,\delta)$
B．$f(x)$在$(-\delta,\delta)$上单调递增
C．$f(x)>1$，$x\in(0,\delta)$
D．$f(x)>1$，$x\in(-\delta,0)$
26、在直角坐标系中，已知$A(-1,0)$，$B(1,0)$．若对于$y$轴上的任意$n$个不同点$P_1,P_2,\cdots ,P_n$，总存在两个不同点$P_i,P_j$，使得$\left|\sin\angle AP_iB-\sin \angle AP_jB\right|\leqslant \dfrac 13$，则$n$的最小值为（ ）
A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．$6$
27、设非负实数$x,y$满足$2x+y=1$，则$x+\sqrt{x^2+y^2}$的（ ）
A．最小值为$\dfrac 45$
B．最小值为$\dfrac 25$
C．最大值为$1$
D．最大值为$\dfrac{1+\sqrt 2}3$
28、对于$50$个黑球和$49$个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）
A．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
B．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
C．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
29、从$1,2,3,4,5$中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如$12231$，则能得到的不同的五位数有（ ）
A．$300$个
B．$450$个
C．$900$个
D．$1800$个
30、设曲线$L$的方程为$$y^4+\left(2x^2+2\right)y^2+\left(x^4-2x^2\right)=0,$$则（ ）
A．$L$是轴对称图形
B．$L$是中心对称图形
C．$L\subset\left\{(x,y)\left|x^2+y^2\leqslant 1\right.\right\}$
D．$L\subset\left\{(x,y)\left|-\dfrac 12\leqslant y\leqslant \dfrac 12\right.\right\}$
**【命题分析】** 第十六题考察的主要知识点是平面几何三角形重心的性质；第十七题考察的主要知识点是几何图形的计数问题；第十八题考察的内容是组合里的简单整点问题；第十九题考察的内容是复平面与解析几何的综合；第二十题考察的内容是向量的点乘和向量的模；第二十一题考察的内容是递推数列的性质；第二十二题考察的内容是椭圆的极坐标表示；第二十三题考察的内容是函数图像的性质与函数的值域问题；第二十四题考察的内容是三角函数与解三角形；第二十五题主要考察的是函数导数相关的性质，第二十六题考察的内容是直角坐标系与三角函数的综合，第二十七题考察的内容是函数的最值问题；第二十八题考察的内容是组合中的存在论证；第二十九题考察的内容是分类分步与排列组合的综合计数问题；第三十题考察的知识点函数图像的性质。
**【小结】** 综合2015年清华大学真题后十五道题，可以看出函数、三角函数、解析几何、向量、复数、数列、组合杂题等知识点仍然是考察的重点。同时，也能看出题目注重考察多个知识点的综合。
**2019年北京大学自主招生试题**
1.若$a,b\in\mathbb{R}^+$,求满足不等式$\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}+\sqrt{x^2-\sqrt{2}bx+b^2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$的$x$取值范围.
2.复数$z_1,z_2$满足$|z_1-3i|=2,|z_2-8|=1$,则由复数$z_1-z_2$围成的面积是 ( )
A. $4\pi$ B. $8\pi$ C. $10\pi$ D. 以上全错
3.从$1,2,3,4,5,6,7,8,9$取出$4$个不同的数,分别记为$a,b,c,d$,求$a+b$和$c+d$奇偶性相同的概率.
4.正方形$ABCD$中, $K$为$\triangle BCD$内一点,满足$\angle KDB=\angle KBC=10^\circ$,则$\angle KAD=$ ( )
A. $45^\circ$ B. $60^\circ$ C. $70^\circ$ D. 以上全错
5.设$x,y\in \mathbb{Z}$,若$(x^2+x+1)^2+(y^2+y+1)^2$为完全平方数,则数对$(x,y)$有( )组
A. $0$ B. $1$ C. 无穷多 D. 以上全错
6.方程$\sin x=\frac{x}{13}$的根的个数为 ( )
A. $3$个 \quad B. $7$个 \quad C. $1$个 \quad D. 以上全错
7.设$P$为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上一点, $F_1,F_2$为椭圆的左、右焦点, $I$为$\triangle PF_1F_2$的内心,若内切圆半径为$1$,求$IP$的长度.
8.已知数列$\{a_n\}$满足: $a_1=0,a_{k+1}+a_k=4k+3\,(k=1,2,\cdots)$,求$a_{2020}-a_2$.
9.已知数列$\{a_n\}$满足: $a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt[2n]{a_n}}\, (n=1,2,\cdots)$,则数列$\{a_n\}$\hfill (\quad)
A. 单调递增且有界 \quad B.单调递减且无界 \quad C. 没有单调性 \quad D. 以上全错
