组合优化与构造

组合构造

1． (1) 证明：存在和为1的五个非负实数a，b，c，d，e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有

1两个相邻数的乘积不小于；

9(2) 证明：对于和为1的任意五个非负实数a，b，c，d，e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，1且任意相邻两数的乘积均不大于．

9

2． 一个n?n的表格的n列从左至右分别称为1，2，?，n列．将1到n这n个正整数填入到表格中

使得表格中的每一行和每一列都含n个不同的数．若表格中的一个方格中所填的数大于这个方格所在列的列数，则这个方格称为好的．

3． 某乒乓球培训班共有n位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场

双打比赛．试确定n的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案．

4，4． 将一个正n边形的n条边按顺时针方向依次标上1，2，?，n．求所有的整数n…使得可以用n?3条在内部不交的对角线将这个n边形分成n?2个三角形区域，并且在这n?3条对角线上分别标上一个整数，满足每个三角形的三遍所标之数的和都相等．

nn?15． 设n为正整数，集合P?3,2n?2?32,…,3n对于Pn的任一子集X，S?X?表示X中所有元素n?2,2??y3n?1?2n?1． 的和，并规定S????0，实数y满足0剟求证：存在Pn的一个子集Y，使得0?y?S?Y??2n．

3．证明：集合X?1,2,3,…n2?n能写成两个不相交的非空子集的并，使得每一个子6． 给定整数n…??集均不包含n个元素a1，a2，?，an，a1?a2?…?an，满足ak?ak?1?ak?1，k?2，?，n?1．同2理，T中亦不存在这样的n个元素．这表明S和T即为满足题中要求的两个子集．

7． 某寄宿学校的512名同学住在256个房间内，每个房间合住的两人称为室友．已知这些同学共选

修9门课，且任意两名同学所选课程都不完全相同．证明：所有同学可以排成一圈满足： (1)任意两个室友相邻；

(2)任意非是由相邻的两人中一人所选的课程是另一人所选课程的子集且恰少选一门课．

8． 对于非空数集S，T，定义：

S?T??s?ts?S,t?T?，2S??2ss?S?．

设n为正整数，A，B均为?1,2,…,n?的非空子集，证明：存在A?B的子集D，使得

D?D?2?A?B?，且D…这里X表示有限集X的元素个数．

 

A?B2n，

组合最值问题

9． 一根长度为200的长棍任意被折成N根短棍，每根短棍的长度都是整数．当N最小为多少时，一

定可以用所有的短棍(不再折断它们)围城一个矩形？

10．开始时黑板上写着数1，2，3，?，2013，每步可以擦去黑板上的两个数a，b，另写上a?b．最

少要进行多少步操作才能使黑板上任意多个数之和都不等于2014？

11．给定整数n?1，设a1，a2，?，an是互不相同的非负实数，记集合

A??ai?aj1剟ij n?，B??aiaj1剟ij n?

求

12．某桑拿中心有n个房间，每个房间都可仅供男性或者仅供女性桑拿，假设每个房间可容纳的人数

不受限制．已知每位男性只愿意与自己不认识的男性同处一室，而每位女士只愿意与子集认识的女性同处一室．假设任意两名男性相互认识当且仅当其妻子相互认识，试问：该桑拿中心最多可同时为多少对夫妇提供服务？

13．将3?3正方形任意一个角上的2?2正方形挖去，剩下的图形称为“角形”(例如，图1就是一个角

形)．现于10?10方格表(图2)中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合．求正整数k的最大值，使得无论以何种方式放置了k个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形． AB的最小值．这里X表示集合X中元素的个数．

图1图2

 

 

 

 

 

 

14．希腊神话中的“多头蛇”神由一些头和颈子组成，每一条颈子连接两个头．每砍下一剑，可以斩

断由某一个头A所连出的所有的颈子，但是由头A立即长出一些新的颈子联向所有原来不与它相连的头(每个头只连一条颈子)．只有把“多头蛇”神斩为两个互不连通的部分，才算战胜了它．试找出最小的正整数N，使得对任何长有100个颈子的“多头蛇”神，至多只要砍不多于N剑，就可以战胜它．

4?支足球队参加单循环赛，15．n?n…每两队赛一场，每场胜方得3分，负方得0分，平局各得1分．赛

后发现，各队的总分构成公差为1的等差数列，求最后一名得分的最大值．

 

S?B?S?C?S16．设n是给定的正整数，集合S??1,2,…,n?，对非空的有限实数集合A和B，求A?的最小值，其中C??a?ba?A,b?B?，X?Y?xx恰好属于X和Y中的一个，X表示有限集合X的元素个数．

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