胥晓宇的数学物理竞赛经历和心得体会，高一高二可深读

胥晓宇，人大附中高三毕业生。高三数学物理联赛均以第一名进集训队，随后CMO金牌，CPhO银牌。2014年iPhO第一名。

物理集训队最后一天，胥晓宇说，“人过留名，雁过留声”，我学了这么多年的竞赛，在心态，学习，考试等方面都有一些心得，要是消逝在记忆之中，未免有些遗憾。所以愿意整理出这样一份心得体会，全都是肺腑之言，希望能对广大竞赛同胞们有所帮助。

一、明心见性，直指本心

是亦不可以已乎？此之谓失其本心。——《孟子·告子上》

细细数来，初步接触竞赛，数学是小学三年级进入华校，物理是初二；而进入MO和PhO，那都是高中的事了。很多人都会有疑问：学这么多年的竞赛，到底是为什么？

实话实说，小学的时候学习数学竞赛，说的好听点，是出于好胜心和自尊心；说的实在点，就是好面子，听见别人夸奖心里高兴，自得。当然也有“兴趣”。注意，兴趣和自得之心是完全可以一致的。

但是到了中学，尤其是进入高中以后，上述心态固然存在（所谓本性难移是也），但更多的则是真正有求知欲，并且能在数竞中发现乐趣。我记的特别清楚的一次是去年的暑假，在上海旁听国家队培训的时候，有一个数论题。有两个参数m和k，让你证一个结论。我用了一个小时，一直对着m“使劲”，毫无斩获；后来灵机一动，对着k“使劲”，豁然而解。（好吧，没有原题就跟看笑话似的）当时就特别特别高兴，就有一种“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”的感觉。我觉得这就是数学竞赛中的乐趣。

当然了，我学物理竞赛也经历了这样的过程，到了高二的暑假，才渐渐体会到物理的乐趣。这与“本心”无关，故后述。

所以现在，我在竞赛方面，确实是做到了“明心见性，直指本心”。有虚荣心，但更多的是对它们的喜爱（之所以用喜爱而不用热爱，是因为两科我身边都有比我更“热爱”的人）。我称这份喜爱为“本心”。当然了，从虚荣心为主到本心为主，自然有一番坎坷。以下为数竞经历。

我从小学开始，一直是所谓天之骄子，一路顶着“北京本届数学最强者”（之一）的光环，一直到高中。由于初三拿了高联一等，高一时信心满满，准备进北京队参加CMO。结果高联失利，136分，一等中下。后经证实，有一道大题本来我的证明是对的，但是吃了鸭蛋，直接把我从省队打到一等中下。听到了消息，申诉，无果，只能饮恨。当然是痛哭了两三次。想法是，明明不是我犯的错，却需要我自己承担苦果。冤枉啊！

然后就是去找杨琦老师诉苦。杨老师显然二十成好人，先是陪着我痛骂一顿判卷的，然后跟我说他当年如何被误判，“巨怒”，结果等他进了省队，当年踩在他头上的几人都放弃竞赛了（跟黄裳似的）。各种开导。我一想，是啊，他们两个显然比我还要惨，我好歹还有两年呢。然后心情就渐渐平静了。杨老师又说，其实你再想想，如果你实力足够强，那么就算被误判一道，也能进队，那才牛呢。我一想，这很有道理啊，我明年就要远远比其他人强，让那些老师就算误判我也拦不住我进队。然后我就说，其实我还很难受的一点呢，就是同学们显然会认为我数学不是最强的了，而且有的人说的那些话就带刺，我就特别难受。我也知道“走自己的路，让别人说去吧”，但是我的层次还没有这么高。

这其实是很要命的一点，至少这个是我自己最大的弱点——极度自信（乃至自负，后来有改正，但还需努力）自尊心（虚荣心）强。知易行难，我努力忽略一些言辞，有所进步，但或多或少还是有些难受。后来，我又用各种古文安慰自己，特别是“生于忧患，死于安乐”，“塞翁失马”，“是非成败转头空，青山依旧在，几度夕阳红”。特别有用。

好的，继续说。后来，一方面是为了上述“雪耻”，有一股傲气，想要来年即使误判也进队（我的这份傲气确实根深蒂固）；另一方面，做题中确实渐渐感受到，而且自己思考自己为何学竞赛时也漫漫认识到，自己不是为了别人学竞赛。然后就真的慢慢把一些事看淡了一些。包括之后罗马尼亚大师杯因种种原因落选，未能去成，也没有那么痛苦了。而且这一年，感觉成熟了很多，坚强了很多。

而且自2011年11月起，自己立下目标，每天做至少一道CMO真题，坚持做了12届，觉得要为下一年留题，就转而做别的了。感觉确实这一年水平有很大提高。高二果然在误判情况下进了省队，也拿了金牌。

物理嘛，也是，高一拿了二等，高二信心十足，想要冲省队，结果最后一道相对论（确实是好题）算出来ε/μ得2c（可见当时确实知识不扎实），我觉得有很多步是对的，但是给了3分，又是没进省队。不过这次我心灵防御力远超高一，自然没有被打垮。

说了这么多，主要是讲了我的一次“破而后立”的过程。大道理不多讲，大家自己体会吧。最后说一句：没有被误判的竞赛生涯是不完整的。希望这对那些曾在或尚在低谷中的同学们有所帮助。

我想说的是从高联失利开始，我个人觉得在走一个前所未有的下坡路。但是我觉得真正对数学精神的理解可能就是这个时期，就是在这个时期（我才）真正知道什么是要坚持，要有毅力。现在还是要感谢两个比我大一点的同学，他们在我失利的过程中，因为想到他们，想到他们曾经和我一样经受住了失败的打击，才有了今天的成绩，他们是督促我继续走下去的朋友。

二、数学竞赛学习心得

“要多想。”

——《三体Ⅱ·黑暗森林》

我本人是在初一时基本学完初中课内内容，初二结束后基本学完高中课内内容。这个因人而异，不过肯定是要尽早学完为好。下面进入正题，就是高中数学竞赛的学习。

众所周知，MO四大项，几何代数数论组合，“知识点”确实比较多。建议是找学校的竞赛课或者课外培训机构，先把竞赛的内容过一遍，达到高联一等的水平。然后，就是要向着CMO前进了，CMO才是真正意义上数学竞赛的第一关。

先说本人经历。初三中考后，去上海数学夏令营，方知自己才疏学浅。在那里连学十天，感觉水平大涨。

高一，由于还要上学，也就是把CMO真题做了一半，看了（没有做）四本奥赛经典（最好不要看他的几何和组合）。高二，进队后，把CMO真题和其他一些MO难度的题做了，然后CMO。CMO后，做了近五六年的集训队题，看了《数学竞赛研究教程》，然后TST。TST后会学校老老实实待了半学期，去上海旁听国家队培训。暑假又做了一点单墫老师的小册子，还有《不等式的秘密》。主要在弄物理。

高三，物理TST期间又做了一遍CMO，TST后，做了一些题，然后，就没有然后了。从高一到高二暑假，有一些人大附中的学长给我们讲课，感觉受益良多。

总之，我自己感觉数学看的做的书并不多（实际上少的可怜），但是我感觉自己有一个非常非常大的优势，就是我特别爱思考且会思考。

这里的思考不是指做题，是指做题后的总结。我总是喜欢在做完一道好题之后，“高屋建瓴”地写上几句高大上的点评，刚开始确实拙劣，不过慢慢就有感觉了，往往可以抓住题目中蕴含的思想or技巧中的精髓。

荀子说，“吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也。”这固然有道理，但是有些同学是“学而不思则罔”，做一道题没做出来，一看解答，“哦，原来这么简单，一下子就出来了”。然后就走了，去做别的题。这么说的确夸张，更常见的是，看了解答，每一步都会，就是不知道解答是怎么想出来的。这样，下次出现蕴含同样思想的题，照样做不出来。

我每次遇到没做出来的，或是做出来感觉做法极其巧妙的，都会问自己这样几个问题：答案为什么这么想？是有条件或是结论的提示，是有熟知的定理，还是有一个很自然的题眼我没有发现？我为什么没有这么想？应该怎样使得下次这样想？这道题里头，有什么技巧值得借鉴？这道题背后有没有更本质的思想？有没有高等的背景？当然，不是什么时候都能想明白这么多，但是你一旦去想，就会有更深刻的理解。（不过也不要“思而不学则殆”。）

关于推荐书目，由于我本人看的做的书确实不多，就不贻笑大方了。不过我可以给出一份历届CMO好题单子，当然是我自己总结的，总结于第一次参加CMO之前，如下：

1、CMO 6-6 足球-三色丝线-顶点放数-积为一；与之类似的有CMO5-6,3n边型三角剖分一笔画。关键在于抓住染色的特点，从染色本身的规律性入手。比如，用赋值法运用颜色的性质。另一种是CMO1-6, 关键在于用已有条件找到“更好用”的条件，即条件的减弱型转化。

2、CMO 8-4，类似于CMO1-3，复数题要会转会放。找模长最长的复数的和，用于构造性的证明存在性。

3、CMO 8-6，说不清，上归纳。适用于形式上有递归性的题目。

4、CMO 9-3，函数方程的值域分析。“偏差会放大”。

5、CMO 9-4，根的构造性使用。类比“整除选择器”。

6、CMO 10-2，函数方程，重观察。

7、CMO 12-5，构造图来说理。

8、CMO 13-5，漂亮的辅助线托勒密不等式

9、CMO 14-2，好题！由尝试归纳证明发现等式1，再回头证明此等式。后面一问再用系数关系推导，充分用好前面的结论。我当时急于求成，直接干二，是找规律做的，就没能发现此题精髓。

10、CMO 14-3，互通四站组。关键在于理解“主干道”。它不过是改变了一点出入度的总数。

11、CMO 14-6，巧妙转化。

12、CMO 15-6，抓住本质。5不是关键，“至多3个不同才是”，想到抽屉。当然后面的构造也很巧妙。

13、CMO 17-2，迭代消“常数”。

14、CMO 17-3

15、CMO 18-2，论证部分，先找性质再推，思想和写法都好。

16、CMO 18-3，放缩技巧很好。而且思路很好：先放，解决一部分，而另一部分可以回头再从头解决。

17、CMO 19-3，抽屉原理配奇偶点；凸形，用覆盖来说。

18、CMO 21-3，牢记这个配方法。联系：4k 1素数可表示为x2 y2.

19、CMO 21-6，组合计数，直接上“全局”算两次，差一点点；可以先通过抽屉原理用好“整数”条件，“克扣“一点。

20、CMO 22-3，精彩！太精彩了！两数相等推出奇等于偶为入手点，后面的“挪位”有奇效。

21、CMO，24-6，构造性的思路，先做弱化的结论，一步一步来。我的思维过程是2-1-3

22、CMO，25-3，见下

23、CMO，25-5，好题！主动分段抽屉原理

24、CMO，25-6，构造性取大素数；费马小定理孙子定理

25、CMO，26-2，几何辅助线多试，共圆要多找，条件要集中起来。

26、CMO，26-3，阿贝尔变换，说理清晰。选明考察对象，比如此题中是各min和他们的个数。

27、CMO，27-2，用“块”来说明，考察最小的不在“块”内的即可。选取“极”来说理。

28、CMO 28-？明天揭晓。

29、CMO 29-5 拼凑出来的题，但也还不错了。

30、CMO 30-6，确实是好题。我做了3个小时，一开始就知道是抽屉原理，但一直想要找等差一样的东西，结果找不到。作为反面例子，告诉大家，不要一开始就把结论加强并且一直按照加强后的东西做。

三、数学竞赛心得

众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。

——《青玉案·元夕》

之前提了几句关于数学竞赛中的乐趣。其实王国维的三境界说对于任何学问任何事业都适用。我要强调的最关键的一点，就是要在数学竞赛中有“慧眼”，看得出来题目到底想让你干什么。不讲大道理了，下面是几个实例。由浅入深。

比如，有一个小结论，是说对于一个无理数a，对任意ε>0，存在整数b，使得{ab}<ε。这样一个结论，在我的脑海中，一方面是有一个小人在一个单位园上走，走啊走，走啊走，每一步走一个固定的距离，永远不回原点，那么总有一些时刻他可以离原点特别近；另一方面，走了很久之后，他的足迹在圆上特别的密。然后再看这么一个题：“求证：2的幂次的数字和是没有上届的。”这下，很自然想到反证法，“假设有上界”，怎么找一个更大的呢？如果有一个2的幂，它的长相是一个1后面一堆0，再一堆别的，使得后面的那一堆乘上已有的数字和最大的那个2的幂以后，后面一堆不影响前面的1乘上已有的2的幂，那么前面的1乘上2的幂数字和就是“最大”，后面又不都是0，就行了。如何找1后面一堆0的2的幂呢？利用lg2是无理数，加上前述结论，就ok。

在以上的思路中，反证是自然的，然后要找一个更大的，那么找100…也很自然，一切水到渠成。大家可以体会一下这里面的思路。

又比如，之前有一个集训队的题目：“证明：不存在长40项的等差数列，使得其每一项都可以表示为一个2的幂次和一个3的幂次之和。”虽说乍一看可以一个指数少一些，一个指数多一些，最后让这些数差不多，但实际上，如题意的数的分布是很“稀疏”的，可以从大小上找到矛盾。指数增长太快是主要矛盾。

又比如，2010年的CMO第三题，先把它看做一个函数，然后看它的“走势”（即导数），发现很有可能是在边界取极值，经过一些“不妨设”，(设b,c为实数)可以发现bz cz2是一个关于x轴对称的图形，要求其边界上任一点到-a距离不足1，于是不妨a是实数。这样abc都是实数了，后面就好做了。或者考虑，z绕着单位园“走一圈”，bz cz2也走一圈，要选取一个a使得bz cz2边界上任一点到-a距离不大于1，那么bz cz2边界上任两点距离不大于2，取恰当的z…又是一种方法。

举了这些例子，主要是想说，大家做题时要明白这个题到底在让你干什么，有一个形象化的认识，看的越清楚越深入，越有可能把题做出来。

下面几点也比较重要。

要知道一些“熟知”的结论，比如2013年CMO第五题，明显是两个陈题拼凑在一起，痕迹明显。这时候，知道一些小性质小结论会很有帮助。所谓题海战术，除了刷熟练度以外，就是为了见多识广一些。当然，我本人没有用过“题海”，我的建议是，至少要把最经典的一些结论知道。联赛前发过两页总结，提到了部分必会的结论，这里就不赘述了。

要会审题。其实跟刚才所说“慧眼”很像，但这里更偏指从条件和结论入手，找一些突破口。比如今年的CMO第六题，结论明显是与抽屉原理有关，所以一开始就应该往抽屉这边想（当然了，也需要进一步的观察）。灵活思考。一条路走不通（当然了，一般是过了一个小时以上毫无进展）可以考虑尝试其他的途径。

四、物理竞赛学习心得

前人之述备矣。

——《岳阳楼记》

建议不多，就两条：早开始，慢慢学，把基础打牢。还有一个就是要多想，跟数学一样，就不多说了。

这个真心没有太多建议，因为说实话，我的精力还是放在数学上面更多。这次选择去物理国家队，主要原因是学完四大以后，感觉数学竞赛也比较狭隘了，希望学一些大学课程，正好进了国家队以后可以名正言顺的去学大学数学和物理。

下面对比一下数学和物理集训队。

褒物理贬数学：1，物理的培训，虽说有些课并不好，但还是有一些很好的课。比如理力，热统，原子。但是，数学集训队的“培训”已经丧失了它的意义，大部分集训队员都不会去听大部分的课。原因在于旁听生过多，反客为主。2，物理集训队，由于大家都会一起上课，交流远远比数学集训队多。我参加完物理，认识了至少一半的人。但是数学结束后，基本没有认识别的省的人。3，物理的学习氛围远远比数学的浓厚。

褒数学贬物理：1，物理的看管有点过于严格。不能出校门，不能旷课，不能翘自习。但是数学就没有看管。当然，这也造成数学集训队比较松散。希望二者都能改进吧。2，物理的学习考试内容离国际赛偏差较大。当然了，这严格说来是物理竞赛的弱点，不能算是物理集训队的。

不同点：正如上述，物理TST学、考大学内容。数学TST考更深的数学竞赛内容。高度和深度，见仁见智吧。

最后简单说一下我的大致生活。早上7点起，假寐片刻，洗漱，下楼早餐（早餐巨黑，一个小包子一块钱。后来有些人就买了面包之类。我是下楼只买豆浆鸡蛋，然后自带面包），去教室，8:30上课，或者无课自习。一般我学一个半小时会休息10min，看小说。11:30下课or下自习，食堂午餐，回房睡午觉。下午2-5，之后晚餐，之后6-10自习。然后回房间，开始写essay。

普光，5天。理力，7天。热统，7天。量子，6天。电动，5天（之前自学过一遍）.数理&原子，在老师讲课后再快速自学看书的，1天。累计整整一个月，基本是从零开始学完大学物理基础课。

五、物理竞赛心得

览物之情，得无异乎？

——《岳阳楼记》

首先，基本上一般的物理题都变成列式子解方程，不管是普通方程还是微分方程，反正就是先列式子再解罢了。有了数学竞赛的代数功底，这都不难。于是，什么是难题呢？就是模型新颖，不容易列出式子的题，或是式子列得不对就解不出来的题，或是解方程中有技巧的题，或是蕴含高深物理背景，必须对物理知识理解透彻的题（尤其相对论）。模型就要看物理素养（智商），解方程就看熟练以及对几个小技巧的掌握。当然了，对物理本身的理解层次提升，对这几点都有帮助。

下面是数学竞赛在物理中的应用：（我至今只发现这么一个应用，是必须学过数竞才能理解的）。拉普拉斯方程具有反演变换不变性。这里的反演不是那个物理里面经常说的那个取相反数，是数学里面经常说的一种几何变换。这个结论是我自己发现并证明的（为了干掉蔡老师的一道难题），可自豪了。感觉应该是更高等定理的一个推论。要证明的话，用反演变换的保角性和在一点临域的放缩是等比例的即可。这个结论的作用嘛…就是解决一些圆弧形导体的电势分布问题。不赘述了。

六、“兼”字诀

“杨兄弟，你的武功花样甚多，不是我倚老卖老说一句，博采众家固然甚妙，但也不免驳杂不纯。你最擅长的到底是哪一门功夫？”

——《神雕侠侣》

金轮法王真是前辈高手，说的确实不错。同时做数学和物理两科竞赛，相应的投入二者中任何一个的精力都会大减，何况我高中的主项不是两块而是四块——数学，物理，出国（TOEFL, SAT, App），课内学习，而且不客气的说，四个方面中有三个都是巅峰实力（出国考试只能算顶尖实力）。所依赖的就是四个字：专时专用。

首先要有“时”可“用”。我当然不是说大家要天天熬到凌晨——我本人平时是从来不在10点后学习的。我说的是，首先要自制。我也贪玩，特别喜欢看小说，但是幸好既有他律又有自律，没有堕落下去。因为贪玩而竞赛饮恨的例子太多了，要引以为戒。

然后就是“用”的技巧了。其实很简单：什么事情最急迫，就做什么事情。做一件事，就全心、全力去做。比如，我高一的时候平常也做竞赛，但是学校考试之前那是心无旁骛的学课内，认真复习，以至于高一四次大考稳稳占据年级前三。

高一暑假考托福之前，有半个月，每天就是上xdf的课，回家拿着“机经”（事实证明，只有口语一二题有点用，还有一堆错）开始狂说一通。后来要被SAT的单词，那也是一天被3-4小时，以3 list per day的速度推进。

高二进了数学北京队，物理就放了一年，一年都在弄数学，做历届CMO和TST题目。高二暑假，尤其8月份之后，由于之前数学进集训队，不必担心数学高联失手，于是开始全力弄物理，一直到集训队。我高中三年（or 两年半）就是这么过来的，至少就我而言这几项兼顾做的还是很平衡的。只要“在正确的时间做正确的事”，应该就能协调好。

当然，只是个例，除非有底子有信心有兴趣，否则不建议太多项一起做。

不过上面说的“兼”并不是让同学们一心只读圣贤书。我还是有些娱乐活动的，比如爱好读小说，金庸每本看了3 遍，温瑞安的小说都看了，刘慈欣的都看了，番茄的在上一年也都看了…还有桥牌，身属桥牌队总教头胡继超老师座下。而且虽然我桥牌打的不很好，但打牌的确给了我很多乐趣。

七、再扯几句就没有啦

这几天也有一些同学在人人上问。首先，有人问，怎么可以突然“开窍”。表示我自己学数学从来没有感觉过“突然开窍”。都是一点点学，学技巧，然后再慢慢有所感悟，技近乎道。