北京大学2020年考研试题

2020年北京大学高等代数与解析几何考研试题

1.(10分)设$V_0=\{0\},V_1,\cdots,V_{n-1},V_{n}=\{0\}$
是$n+1$个有限维线性空间,定义线性变换$\varphi_i:V_{i}\to V_{i+1},i=0,1,2,\cdots,n-1$,若对$i =0,1,2,\cdots,n-1$均有$\mathrm{ker} \varphi_{i+1} = \mathrm{Im}\varphi_i$中,证明$\displaystyle\sum_{i=0}^n(-1)^i\mathrm{dim}(V_i)=0$.

2. (15分)设$c_0,c_1,\cdots,c_k$是$k+1$个复数,证明:存在唯一一个次数不超过$k$的复系数多项式函数$p(x)$使得$p(0)=c_0,p(1)=c_1,\cdots,p(k)=c_k$,且这样的多项式是唯一的.

3. (20分)设$A$是秩为$r$的实对称矩阵,试证明必存在一个非零的$r$阶主子式使得它的行列式非零,并且任意一个非零的$r$阶主子式符号相同.

4. (20分)设$n$阶方阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$可相似对角化,它的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$,每个特征值$\lambda_i$的特征子空间都由一族特征向量$\alpha_ {ij_1},\cdots,\alpha_{ij_n}$张成,设$A^\ast=(A_{ji})_{n\times n}$, $A_{ji}$是$a_{ji}$对应的代数余子式,求$A^\ast$的特征值和特征向量.

5. (15分)设$\varphi$是一个线性变换, $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$是$\varphi$的特征值,证明$\varphi$可对角化的充分必要条件是对$\varphi$的每个特征值$\lambda$,均有$\mathrm{dim}\left(\mathrm{Im} (\lambda \mathrm{id}-\varphi)\right)=\mathrm{dim}\left(\mathrm{Im} (\lambda \mathrm{id}-\varphi)^2\right)$,其中$\mathrm{id}$是恒等变换.

6. (15分)设$\eta$是欧氏空间$V$中的单位向量,定义镜像变换$\sigma:\sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha,\eta)\eta$,其中$(\ \ , \ )$表示內积.

(1) 证明$\sigma$是正交变换.

(2) 证明$V$的任意正交变换都可以表示成若干镜像变换的乘积.

7. (15分)已知向量$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$满足$\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{w}\right|> 0,\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}$,若对任意非零向量$\overrightarrow{x}$,均存在实数$a,b,c$,使得$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{u}=a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w},\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{v}=a\overrightarrow{v}+ b\overrightarrow{w}+c\overrightarrow{u}$,证明$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{w}=a\overrightarrow{w}+ b\overrightarrow{u} +c\overrightarrow{v}$.

8. (20分)设平面直角坐标系下二次曲线$\gamma$的方程为$x^2 + 2y^2 + 6xy + 8x+ 10y +6=0$.
(1) 证明$\gamma$是双曲线.

(2) 求$\gamma$的长半轴,短半轴的方程与长轴和短轴长,并且说明哪条与$\gamma$相交.

9. (20分)求椭圆$x^2 +8y^2 +4xy + 10x + 12y+4=0$的内接三角形的面积的最大值.

2020年北京大学数学分析考研试题

1. (15分)定义在$[a,b]$上的函数$f(x)$满足:任取$x_0\in [a,b]$,均有$\limsup_{x\to x_0}f(x)\leq f(x_0)$,问$f(x)$在$[a,b]$上是否有最大值,给出证明或反例.

2. (15分)判断$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x\cos^2 x}$在$[0,+\infty)$上是否一致连续,并说明理由.

3. (15分) $f(x)$在$[1,+\infty)$连续且满足:对任意$x,y\in [1,+\infty)$,有$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.问$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$是否存在,给出证明或反例.

4. (15分,第一小题7分,第二小题8分)已知$f(x)$在$[0,1]$连续,单调增加且$f(x)\geq 0$,记
$$s=\frac{\int_{0}^{1}xf(x)\,\mathrm{d}x}{\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x}.$$
(1)证明$s\geq \frac{1}{2}$.

(2)比较$\displaystyle\int_{0}^{s}f(x)\,\mathrm{d}x$与$\displaystyle\int_{s}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x$的大小. (可以用物理或几何直觉)

5. (15分)根据$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}$,计算$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\,\mathrm{d}x$,并说明计算依据.

6. (15分)在承认平面Green公式的前提下证明如下特殊情况下的Stokes公式
$$\oint_\Gamma R(x,y,z)\,\mathrm{d}z=\iint_\Sigma\frac{\partial R}{\partial y}dydz-\frac{\partial R}{\partial x}dzdx.$$

7. (20分,第一小题10分,第二小题10分) (1)设$0< p<1$,求$f(x)=\cos px$在$[-\pi,\pi]$上的Fourier级数.

(2)证明余元公式
$$\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{-p}dx=\frac{\pi}{\sin(p\pi)}.$$

8. (20分)设$C_r$为半径为$r$的圆周, $f(x,y)$满足$\displaystyle f(0,0)=0,\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=x^2+y^2$, $f(x,y)$是$C^2$的,计算$\displaystyle A(r)=\int_{C_r}f(x,y)\,\mathrm{d}s$.

9. (20分,第一小题12分,第二小题8分)设$q_k\geq p_k>0$, $q_{k+1}-q_k\geq p_k+p_{k+1}$且$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k\ln p_k=+\infty$,记
$$T_{p_k,q_k}(x)\triangleq \frac{\cos (q_k+p_k)x}{p_k}+\frac{\cos (q_k+p_k-1)x}{p_k-1}+\frac{\cos (q_k+p_k-2)x}{p_k-2}+\cdots+\frac{\cos (q_k+1)x}{1}$$
$$-\frac{\cos (q_k-1)x}{1}-\frac{\cos (q_k-2)x}{2}-\cdots-\frac{\cos (q_k-p_k)x}{p_k},$$
设$\displaystyle a_k\geq 0,\sum_{k=1}^{\infty}a_k<+\infty$, $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_kT_{p_k,q_k}(x)$.

(1) 求证: $f(x)$是在$\mathbb{R}$上连续的以$2\pi$为周期的周期函数.

(2) 判断并证明: $f(x)$的Fourier级数在$x=0$处的收敛性.

 

二次曲线方程的化简以及这里

椭圆内接三角形最大面积的一种探求、这里

 

设$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{w}=A\overrightarrow{w}+ B\overrightarrow{u} +C\overrightarrow{v}$, $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right| =\left|\overrightarrow{w}\right|=m,\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=n$.

利用混合积的性质可知
$$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})= \overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{v})=(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{v},$$
于是
$$a\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+b\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w} +c\left|\overrightarrow{u}\right|^2=-\left(a\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+b\left|\overrightarrow{u}\right|^2\right)+c\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}.$$
即
$$(2a+b+c)m+(b+c)n=0.$$
又
$$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\overrightarrow{w})= \overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{w},$$
于是
$$A\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}+B\left|\overrightarrow{u}\right|^2+c\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} =-\left(a\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}+b\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}+c\left|\overrightarrow{w}\right|^2\right).$$
即
$$(A+C+a+b)m+(b+c)n=0.$$
由
$$(\overrightarrow{v},\overrightarrow{x},\overrightarrow{w})= \overrightarrow{v}\cdot (\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{w})=(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{w},$$
于是
$$A\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}+B\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+C\left|\overrightarrow{v}\right|^2 =-\left(a\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}+b\left|\overrightarrow{w}\right|^2+c\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}\right).$$
即
$$(A+B+a+c)m+(C+b)n=0.$$