中国高考压轴题

\section{中国高考数学压轴题}

\begin{enumerate}
\item 08年江西高考

\item 08年北京高考

\item (2017年天津)设$a\in \mathbb{Z}$,已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)=2x^4+3x^3-3x^2-6x+a$在区间$(1,2)$内有一个零点$x_0$, $g(x)$为$f(x)$的导函数.
\begin{enumerate}
\item 求$g(x)$的单调区间;

\item 设$m\in [1,x_0)\cup (x_0,2]$,函数$h(x)=g(x)(m-x_0)-f(m)$,求证: $h(m)h(x_0)<0$;

\item 求证:存在大于$0$的常数$A$,使得对于任意的正整数$p,q$,且$\frac{p}{q}\in [1,x_0) \cup (x_0,2]$,满足$\left|\frac{p}{q}-x_0\right|\geq \frac{1}{Aq^4}$.
\end{enumerate}

\item 1999高考轧辊

\item 2003高考立体几何题

\item 08年广东高考

\item (2003高考江苏卷压轴题)设$a>0$,如图,已知直线$l:y=ax$及曲线$C:y=x^2$, $C$上的点$Q_1$的横坐标为$a_1\,(0<a_1<a)$.从$C$上的点$Q_n\,(n\geq 1)$作直线平行于$x$轴,交直线$l$于点$P_{n+1}$,再从点$P_{n+1}$作直线平行于$y$轴,交曲线$C$于点$Q_{n+1}$. $Q_n\,(n=1,2,3,\cdots)$的横坐标构成数列$\{a_n\}$.
\begin{enumerate}
\item 试求$a_{n+1}$与$a_n$的关系,并求$\{a_n\}$的通项公式;
\item 当$a=1,a_1\leq \frac{1}{2}$时,证明$\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})a_{k+2}<\frac{1}{32}$;

\item 当$a=1$时,证明$\sum_ {k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})a_{k+2}<\frac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\item (2010年全国2导数)设函数$f(x)=1-e^{-x}$.
\begin{enumerate}
\item 证明:当$x>-1$时, $f(x)\geq \frac{x}{x+1}$;

\item 设当$x\geq 0$时, $f(x)\leq\frac{x}{ax+1}$,求$a$的取值范围.
\end{enumerate}

\item (2014年全国2导数)已知函数$f(x)=e^x-e^{-x}-2x$.
\begin{enumerate}
\item 讨论$f(x)$的单调性;

\item 设$g(x)=f(2x)-4bf(x)$,当$x>0$时, $g(x)>0$,求$b$的最大值;

\item 已知$1.4142<\sqrt{2}<1.4143$,估计$\ln 2$的近似值(精确到$0.001$).
\end{enumerate}

\item (2013年安徽理科数学)设函数$f_n(x)=-1+x+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^3}{3^2}+\cdots+\frac{x^n}{n^2}\,(x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{N}_+)$,证明:
\begin{enumerate}
\item 对每个$n\in \mathbb{N}_+$,存在唯一的$x_n\in\left[\frac{2}{3},1\right]$,满足$f_n(x_n)=0$;

\item 对于任意$p\in \mathbb{N}_+$,由(1)中$x_n$构成数列$\{x_n\}$满足$0<x_n-x_{n+p}<\frac{1}{n}$.
\end{enumerate}

\item (2014年安徽理科数学)设实数$c>0$,整数$p>1,n\in\mathbb{N}^+$.
\begin{enumerate}
\item 证明:当$x>1,x\neq 0$时, $(1+x)^p>1+px$;

\item 数列$\{a_n\}$满足$a_1>c^{\frac{1}{p}},a_{n+1}=\frac{p-1}{p}a_n+\frac{c}{p}a_n^{1-p}$,证明: $a_n>a_{n+1}>c^ {\frac{1}{p}}$.
\end{enumerate}

\item (2013年安徽理科数学)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主主题不同的心理测试活动.分别由李老师和张老师负责,已知该系共有$n$位学生,每次活动均需该系$k$位学生参加($n$和$k$都是固定的正整数),假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系$k$位学生,且所发信息都能收到,记该系收到李老师或张老师所发活动信息的学生人数为$X$.
\begin{enumerate}
\item 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;

\item 求使$P(X=m)$取得最大值的整数$m$.
\end{enumerate}

\item (2010年江西)

\item (2010年江苏)已知$\triangle ABC$的三边长为有理数.
证明:
$$\begin{enumerate} \item $\cos A$为有理数; \item $\cos nA$为有理数. \end{enumerate}$$

\item (2011年浙江)设函数$f(x)=(x-a)^2\ln x,a\in \mathbb{R}$. 
\begin{enumerate}
\item 若$x=e$为$y=f(x)$的极值点,求实数$a$;

\item 求实数$a$的取值范围,使得对任意的$x\in (0,3a]$,恒有$f(x)\leq 4e^2$成立. 注: $e$为自然对数的底数.
\end{enumerate}

\item (2018年浙江)

\item (2009年江西)

\item (2004年江苏)已知函数$f(x)\, (x\in\mathbb{R})$满足下列条件:对任意的实数$x_1,x_2$都有
$$\lambda (x_1-x_2)^2\leq (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]$$
和
$$|f(x_1)-f(x_2)|\leq |x_1-x_2|,$$
其中$\lambda$是大于$0$的常数.设实数$a_0,a,b$满足$f(a_0)=0$和$b=a-\lambda f(a)$.
\begin{enumerate}
\item 证明$\lambda\leq 1$,并且不存在$b_0\neq a_0$,使得$f(b_0)=0$;

\item 证明$(b-a_0)^2\leq (1-\lambda^2)(a-a_0)^2$;

\item 证明: $[f(b)]^2\leq (1-\lambda^2)[f(a)]^2$.
\end{enumerate}

\item (2006年江苏)设数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$满足: $b_n=a_n-a_{n+2},c_n=a_n+2a_{n+1}+3a_{n+2}\,(n=1,2,3,\cdots)$.

证明: $\{a_n\}$为等差数列的充分必要条件是$\{c_n\}$为等差数列,且 $b_n\leq b_{n+1}\,(n=1,2,3,\cdots)$. (听闻此题当年全江苏省只有几十位考生拿到一半以上的分数,只有不到10人拿满分)

 

\item (2011年江苏)设$M$为部分正整数组成的集合,数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$,前$n$项的和为$S_n$.已知对任意的整数$k\in M$,当整数$n>k$时, $S_{n+k}+S_{n-k}=2(S_n+S_k)$都成立.
\begin{enumerate}
\item 设$M=\{1\},a_2=2$,求$a_5$的值;

\item 设$M=\{3,4\}$,求数列$\{a_n\}$的通项公式.
\end{enumerate}

这个题目的结论可以推广到:

数列$\{a_n\}$对互素的$k_1,k_2\in \mathbb{N}^\ast,k_1>k_2>0$满足:
$$a_{n+k_1}+a_{n-k_1}=2a_n\,(n>k_1),\quad a_{n+k_2}+a_{n-k_2}=2a_n\,(n>k_2),$$
则此时数列$\{a_n\}$是等差数列.

\item (2015年江苏)设$a_1,a_2,a_3,a_4$是各项为正数且公差为$d\, (d\neq 0)$的等差数列.
\begin{enumerate}
\item 证明: $2^{a_1},2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$依次成等比数列;

\item 是否存在$a_1,d$,使得$a_1,a_2^2,a_3^3,a_4^4$依次成等比数列,并说明理由;

\item 是否存在$a_1,d$以及正整数$n,k$,使得$a_1^n,a_2^{n+k},a_3^ {n+2k},a_4^{n+3k}$依次成等比数列,并说明理由.
\end{enumerate}

\item (2012年安徽)数列$\{x_n\}$满足$x_1=0,x_{n+1}=-x_n+x_n+c\, (n\in \mathbb{N}^\ast)$.
$$\begin{enumerate} \item 证明: $\{x_n\}$是递减数列的充分必要条件是$c<0$; \item 求$c$的取值范围,使$\{x_n\}$是递增数列. \end{enumerate}$$

\item (2010年广东)设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是平面直角坐标系$xOy$上的两点,现定义由点$A$到点$B$的一种折线距离$\rho (A,B)$为$p(A,B)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$.对于平面$xOy$上给定的不同的两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$.
\begin{enumerate}
\item 若点$C(x,y)$是平面$xOy$上的点,试证明$\rho (A,C)+\rho(C,B)\geq \rho(A,B)$;

\item 在平面$xOy$上是否存在点$C(x,y)$同时满足

\ding{172} $\rho (A,C)+\rho(C,B)\geq \rho(A,B)$; \qquad \ding{173} $\rho (A,C)=\rho(C,B)$.

若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.
\end{enumerate}

\item (2009年湖南)

\item (2015年广东)调和数列,类似2014年陕西.

\item (2014年辽宁)已知函数$f(x)=(\cos x-x)(\pi+2x)-\frac{8}{3}(\sin x+1)$, $g(x)=3(x-\pi)\cos x-4(1+\sin x)\ln\left(3-\frac{2x}{\pi}\right)$.
证明:
\begin{enumerate}
\item 存在唯一$x_0\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$,使$f(x_0)=0$;

\item 存在唯一$x_1\in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$,使$g(x_1)=0$,且对(1)中的$x_0$有$x_0+x_1<\pi$.
\end{enumerate}

\item

\item

\item
\end{enumerate}

设$f(x)=e^{mx-1}-\frac{\ln x}{x}$,若$f(x)$的最小值为$m$,求$m$的最小值.

%https://wenku.baidu.com/view/09e8b0215901020207409c2a.html?rec_flag=default&sxts=1566951788471

%https://wenku.baidu.com/view/1bd3fb6648d7c1c708a145b2.html?sxts=1566951843376

%https://wenku.baidu.com/view/aecb43a1b0717fd5360cdc33.html?rec_flag=default&sxts=1566951578646

 

试举几例：

2010年北京高考数学压轴题命题背景是纠错码理论中的Plotkin上界（有所改编）;

2014年北京高考数学压轴题命题背景是多工序流水线最优化排序问题中的Johnson法则;

2015年北京高考数学压轴题命题背景有限交换环上迭代图的一个特例;

两篇参考文献:

1.北京高考数学压轴题的教学实践与反思，《数学通报》杂志2017年第1期pp45-pp48（截图见下方）;

2.再谈2015年北京高考数学压轴题与“数学黑洞”问题,中学数学杂志, 2017年第1期

3.从高中数学试题到纠错码理论,李启超,荣贺
%作者：饮冰
%链接：https://www.zhihu.com/question/57845091/answer/155345007

 

\begin{example}
(2002年江苏)已知$a>0$,函数$f(x)=ax-bx^2$.
\begin{enumerate}
\item 当$b>0$时,若对任意$x\in \mathbb{R}$都有$f(x)\leq 1$,证明$a\leq 2\sqrt{b}$.

\item 当$b>1$时,证明:对任意$x\in [0,1]$, $|f(x)|\leq 1$的充要条件是$b-1\leq a\leq 2\sqrt{b}$;

\item 当$0<b\leq 1$时,讨论:对任意$x\in[0,1],|f(x)|\leq 1$的充要条件.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{solution}

\end{solution}

\begin{example}
(2006年江苏)设$a$为实数,设函数$f(x)=a\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$的最大值为$g(a)$.
\begin{enumerate}
\item 设$t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$,求$t$的取值范围,并把$f(x)$表示为$t$的函数$m(t)$;

\item 求$g(a)$;

\item 试求满足$g(a)=g\left(\frac{1}{a}\right)$的所有实数$a$.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{solution}

\end{solution}

$$\begin{example} (2006年联赛)求方程$\left(x^{2006}+1\right)\left(1+x^2+x^4+\cdots +x^{2004}\right)=2006x^{2005}$的实数解的个数. \end{example}$$
\begin{solution}

\end{solution}

\begin{example}
(2010年广州高二竞赛)已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$满足: $f(1)=\left(\frac{5}{2}\right)$,且对于任意实数$x$、$y$,总有$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$成立.
\begin{enumerate}
\item 求$f(0)$的值,并证明$f(x)$为偶函数;

\item 若数列$\{a_n\}$满足$a_n=2f(n+1)-f(n)\,(n=1,2,3,\cdots)$,求数列$\{a_n\}$的通项公式;

\item 若对于任意非零实数$y$,总有$f(y)>2$.设有理数$x_1,x_2$满足$|x_1|<|x_2|$,判断$f(x_1)$和$f(x_2)$的大小关系,并证明你的结论.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{solution}

\end{solution}
%https://wenku.baidu.com/view/bf838bfb910ef12d2af9e702.html

\begin{example}
(海淀区2009年高三第二学期期末练习)已知函数$f(x)$定义域为$\mathbb{R}$,满足:
\begin{enumerate}
\item $f(1)=1>f(-1)$;

\item 对任意实数$x,y$有$f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)$.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item 求$f(0),f(3)$的值;

\item 求$\frac{1}{2}f(1-6x)+[f(3x)]^2$的值;

\item 是否存在常数$A,B$,使得不等式$|f(x)+f(2-x)+Ax+B|\leq 2$对一切实数$x$均成立.
如果存在,求出常数$A,B$的值;如果不存在,请说明理由.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{solution}

\end{solution}

%https://wenku.baidu.com/view/b2723a4ab307e87101f69666