小人物解决四大数学问题：记传奇华人数学家李天岩
撰文 | 丁玖（南密西西比大学数学系教授）
责编 | 黄俊如
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这个月是华人数学家李天岩的74周岁华诞，也是他自密歇根州立大学以 “全校级杰出教授”(University Distinguished Professor) 身份正式退休后所度的第一个生日。2005年，为了庆祝他的60周岁生日，他的母校台湾新竹的清华大学举办了 “数值分析与动力系统国际研讨会”。那年也是爱因斯坦 “奇迹年” 的100年纪念。研讨会上，李天岩的博士论文导师、马里兰大学的 “杰出全校级数学与物理研究教授” (Distinguished University Research Professor of Mathematics and Physics) 约克 (James Yorke) 的开场白引人入胜：“一百年前，爱因斯坦发表了划时代的四篇论文。而三十年前，李天岩完成了三个杰出的工作；它们分别是：混沌概念、乌拉姆猜想、同伦算法。”
李天岩教授。 图片来源：University of Silesia
约克如此绝妙的比较，正是对他的杰出弟子三十岁前三大学术成就的巧妙概括。其实，那天凌晨刚从美国飞到台北的约克，疲倦得一时想不出弟子第四篇重要论文的名字，好与爱因斯坦的那四篇一一对应，只好以三篇 “凑数”。事后他马上把李天岩拉到一边询问，方知那篇大作是关于抽象空间的柯西问题。李天岩1975年给出的巴拿赫空间微分方程初值问题解之存在的条件迄今无人能够改进。
李天岩祖籍湖南，1945年6月出生于福建省沙县。父亲李鼎勋早年留学日本，在东京帝国大学医学院获得医学博士，1934年回国任教湖南湘雅医学院，1939年起任福建省省立医院院长。李天岩三岁时随父母及全家定居台湾，在那里接受教育直至大学毕业。1969年，他赴美国马里兰大学数学系攻读，1974年获博士学位，其论文指导老师就是约克。
李天岩1976年起在密歇根州立大学数学系任教，1983年晋升为正教授，直至去年退休。1998年起，他被赋予 “全校级杰出教授” 头衔。1995年他荣获美国著名的古根海姆(Guggenheim) 奖，2012年被台湾新竹清华大学颁发杰出校友奖。
李天岩在应用数学与计算数学几个领域中作出了开创性的工作，成就非凡。他与约克在数学中第一次引人了“混沌”的概念；他对 “乌拉姆 (Stanislaw Ulam) 猜想” 的证明是动力系统不变测度计算理论与算法研究之奠基性工作；他与凯洛格 (R. B. Kellogg) 及约克关于计算布劳威尔(L. E. Brouwer) 不动点的思想和数值方法，开辟了现代同伦延拓算法研究的新天地；他和他的合作者及学生们关于代数特征值问题以及一般多变量多项式系统的同伦方法之广泛和深入研究，几十年来为他赢得此领域世界领袖人物之一的称号。
《周期三则意味着混沌》
美国普林斯顿高等研究院的戴森 (Freeman Dyson) 教授曾在他的著名文章《鸟与蛙》(Birds and Frogs) 中写道：“在混沌领域里，我仅知道一条有严格证明的定理，是由李天岩和约克在发表于1975年、名为《周期三则意味着混沌》的一篇短文中证明的。李-约克论文是数学文献中不朽的珍品之一。” 这是一位杰出的数学物理学家对一篇仅仅8页长数学论文的极高评价。
在自然科学领域，混沌现象的发现与相对论、量子力学一起被许多科学家誉为二十世纪物理学的三大发现。约克对“混沌”概念有过形象的说明：“生命中充满着小改变导致大变化的情形。例如说车祸，假如人们早个或晚个十秒钟出门，或许就可避免一场车祸。所以小小的改变可以导致很大的变化。” 这也是中国成语 “差之毫厘谬以千里” 之奥秘所在。
现今世界上稍微对动力系统有一点了解的人，几乎无人不知李天岩和约克的上述论文，它首创了 “混沌” 的数学定义，开拓了整个数学界、科学界对混沌动力系统理论和应用研究的新纪元。
1975年12月《美国数学月刊》封面，第三篇为李天岩和约克合作的《周期三则意味着混沌》。
1973年3月的一天下午，不知何故心情有点不爽的李天岩来到约克教授的办公室时，约克不理会他的“不爽”，马上对他说，“I have a good idea for you!” 这个想法已在约克头脑中直观地凸现，但他未能予以证明。那时李天岩正在做微分方程方面的研究，以为他所谓的 “good idea” 是关于那方面的 “高深想法”，就半开玩笑地打趣道：“Is your idea good enough for the Monthly?” “Monthly” 指的就是《美国数学月刊》( American Mathematical Monthly )这个一般学生都能看懂的浅近杂志。然而，当李天岩得知这个 “idea” 之后，马上感慨地说，“It would be a perfect work for the Monthly!”——因为它所牵涉的语言非常基本。
两周后，运用自己得心应手的微积分技巧——巧妙不断地运用微分学中关于连续函数的“介值定理”，李天岩完全证明了这个后来出了名的李-约克定理：
若实数轴一区间到其自身的连续函数f有一个周期为三的点，即存在三个互不相等的数a、b、c，使得函数 f在 a的值为 b，在b的值为c，在c的值为a，则对任意正整数n，函数f有一周期为n的点，即从该点起函数f迭代n次后又第一次返回到该点。更进一步，对“不可数”个的初始点，函数从这些点出发的“迭代点数列”之最终走向将是杂乱无章的，无规律可循。
帽子函数的周期三轨道
当文章写好后，尽管李天岩心里想到的是投给令人尊敬的高等研究杂志，比如说今日中国数学界最推崇的 “四大期刊”——美国的《数学年刊》、《美国数学会杂志》、瑞典的《数学学报》及德国的《数学发明》，却按照约克的坚持，把文章寄给了全世界读者人数最多的数学期刊——《美国数学月刊》。但不久文章被退回，理由是该文研究性过强，不太适合期刊所重点面向的大学生读者群。但编辑同意，若作者能改写文章到一般学生都能看懂的地步，可以重新投稿。但是当时李天岩忙于博士论文研究，没功夫改它，这篇文章就这样被束之高阁将近一年。
1974年5月，马里兰大学数学系请来了普林斯顿大学生物学教授罗伯特·梅 (Robert M. May)演讲一周。在最后一天的演讲中，梅教授讲了逻辑斯蒂模型rx(1-x)的迭代：当参数r从小到大变化时其迭代点序列之性态将变得愈来愈复杂。他十分困惑于对这一现象的解释，想着也许只是计算上的误差所造成的吧。约克听完梅的演讲后，在送他上飞机时，把李天岩桌上躺了将近一年的那篇关于李-约克定理的文章给他看。梅看了文章的结果之后，极为吃惊，并认定此定理大大解释了他的疑问。约克从机场回来后立即找到李天岩说，“我们应该马上改写这篇文章。” 文章在两个星期内改写完毕，三个月后被《美国数学月刊》接受，并刊登在1975年12月份的那一期上。
1985年夏，李天岩第一次来祖国大陆学术访问，南至中山大学、北至吉林大学，东到杭州、西临西安，中达北京中科院理论物理研究所，马不停蹄地讲解 “混沌” 与 “同伦”。我那时刚获硕士学位不久，留校教书，由系领导特批，飞往他讲学第一站广州，首次聆听他极富魅力的讲座。在中国的演讲中，李-约克论文的题目 “Period Three Implies Chaos” 被他形象地翻译成 “周期三则乱七八糟”。这篇令他一举成名、篇幅不长的论文，第一次在数学上严格地引入了 “混沌” 的概念。尽管早在1964年，苏联数学家沙可夫斯基（A. N. Sharkovsky）证明了较李-约克定理第一部分更为一般的结果，但只有李-约克定理之第二部分才深刻地揭示了混沌现象的本质特征：混沌动力系统关于初始条件的敏感性以及由此产生的解的最终性态的不可预测性。
根据统计，该文可能是数学界及物理学界被引述次数最多的当代重要论文之一，已被引用了超过4500次。《周期三则意味着混沌》这篇备受戴森教授青睐的数学短文，是从“混沌之祖”庞加莱开始的“百年混沌思想进化史”中的几大里程碑工作之一。对这一历史想进一步了解的读者，可读美国著名科普作家 James Gleick 的英文名著Chaos: A New Science或中文拙作《智者的困惑：混沌分形漫谈》。
乌拉姆猜想
概率的问题到处可见。波兰科学院院士洛速达（Andrzej Lasota）这样讲概率：“当你准备离开一间屋子时，出门的时间有可能前后相差一分钟。随着时间的推移，又有不同的概率及可能发生的事要去考虑：比如，有百分之十的可能，你会发生车祸，而被送往医院；或许，有百分之十的机会，你会遇见从未谋面的漂亮女子，而深深为之倾倒，一切皆是偶然。所以事情会演变得愈来愈复杂，所有的事都牵涉到概率。”故有人曾经略微夸张地宣称：数学是概率的一部分。
遍历理论是研究确定性动力系统诸多概率统计性质的一门数学分支，是集测度论、泛函分析、拓扑学、近世代数等于一身的综合性学科，在物理和工程中应用广泛，如统计物理、电子线路、药物设计和无线通讯。遍历理论的一个重要论题是关于非线性映射的绝对连续不变测度的存在及计算问题。这一问题又归结为相应的 Frobenius-Perron 算子的不变密度函数的存在性与计算问题。对于混沌动力系统，这样的不变测度给出了迭代点的混沌轨道在其相空间中的统计分布。
1960年，被誉为美国 “氢弹之父” 的杰出波兰裔数学家乌拉姆在其名著《数学问题集》(A Collection of Mathematical Problems) 中对于计算将单位区间[0, 1]映到自身的非线性映射S所对应的 Frobenius-Perron 算子的不变密度函数提出了一种数值方法。他将区间[0, 1]划分为n个子区间，然后他定义了一个n行n列的矩阵。这个矩阵的每个元素都是位于0与1之间的数。事实上，该矩阵位于第i行第j列相交处的那个数就是第i个子区间中被S映到第j个子区间中的那些点的比例。计算这个非负矩阵的关于特征值1的一个非负左特征向量并将其规范化，就可得到对应于 [0, 1] 区间如上划分的一个逐片常数密度函数。此密度函数可看成 Frobenius-Perron 算子的近似不变密度函数。对于这一基于概率想法的数值方法的收敛性，乌拉姆提出了计算遍历理论中著名的猜想：当子区间总数n趋向于无穷大时，这些近似不变密度函数将收敛于 Frobenius-Perron 算子的一个不变密度函数。
1973年，洛速达与约克在现已成为研究 Frobenius-Perron 算子不变密度函数存在性问题的一篇经典论文中，解决了乌拉姆在其《数学问题集》中提出的一个问题：若S为一个足够 “简单” 的映射 (例如逐片线性映射或多项式映射)，其导数绝对值不小于1，将一区间映到自身，则对应的 Frobenius-Perron 算子是否存在不变密度函数？事实上，他们证明了如下的“存在性定理”：若区间映射S为一逐片二次连续可微映射，且其导数绝对值在该区间上都不小于一大于1的常数，则对应的 Frobenius-Perron 算子存在不变密度函数。这个定理证明的关键是用到约克发现的关于有界变差函数与其在某一子区间上的限制之变差之间关系的一个不等式。
当李天岩读到上述的洛速达-约克定理的证明时，就想构造计算 Frobenius-Perron 算子不变密度函数的数值方法，却全然不知乌拉姆十余年前提出的上述方法。首先他定义了对应于区间 [0, 1] 划分为n个子区间的有穷维离散算子。它将每一个可积函数映成在每一子区间上取值为该函数在这一子区间上的平均值的一个逐片常数函数。若将这一算子与 Frobenius-Perron算子复合起来，则该复合算子限制在逐片常数函数全体所组成的子空间上的一个矩阵表示恰为乌拉姆方法中定义的那个非负矩阵。运用下一节所述的布劳威尔不动点定理，李天岩直接证明对每一个自然数n，复合算子有一不变密度函数。借助于洛速达-约克不等式与赫利引理，他证明了这个逐片常数逼近法对于洛速达-约克区间映射族的收敛性。
恰在李天岩将这一开创性工作整理成文之际，他才知道他所构造的方法就是 “乌拉姆方法”，他所证明的一切就是对 “乌拉姆猜想” 的一个解答！自然，文章的题目也相应修改，“乌拉姆猜想” 的说法第一次出现在数学文献当中。多年后李天岩对我坦言：“如果我早知这是与冯·诺依曼 (John von Neumann) 齐名的大人物乌拉姆提出的问题，大概吓得不敢去碰。”可是，正如本文后面所转述的，“一个问题，大人物解决不了，并不表示小人物也解决不了。”
李天岩这篇发表于1976年美国《逼近论杂志》( Journal of Approximation Theory )，题为 “Frobenius-Perron算子的有限逼近——乌拉姆猜想的一个解答” 的论文让1960年诞生的乌拉姆方法“声名鹊起”。四十多年来，不变测度的计算已成为遍历理论和非线性分析中的一个活跃分支。在几乎所有关于应用乌拉姆方法及其推广计算不变测度的文献中，这篇论文成了必不可少的被引用经典之一。
现代同伦延拓法
学过代数拓扑或非线性泛函分析的人都知道有名的布劳威尔不动点定理：n维闭球到此自身的光滑映射必有不动点。此定理的一个漂亮证明是用反证法。若无不动点，则可定义一新的光滑映射，它把闭球上任一点映到由该点在前一映射下的像到该点的线段延长到与球面之交点。易知球面上每一点在这新映射下保持不变。这样我们得到一个由闭球到其边界上且在边界上为恒同映射的光滑映射。而微分拓扑学告诉我们，这是不可能的，因为球面上几乎处处的任一点在该映射下的逆像所构成的光滑曲线无处可跑。
1973年，李天岩在旁听美国马里兰大学数学教授凯洛格的研究生课程 “非线性方程组数值解” 时，听到布劳威尔不动点定理的如上证明，它属于美国微分拓扑学家赫希 (Morris W. Hirsch)发表于1963年的一篇文章。这时，一个奇妙的想法在他脑海中涌现：既然在赫希的证明中若假设闭球映射无不动点时，则对如上定义的 “射线球面交点映射”，球面上随机所取的一点在该映射下的逆像这条光滑曲线无处可跑，则它必然跑到原先映射的不动点集合中去。更精确地说，若令F为n维闭球到此自身的光滑映射的所有不动点组成的非空集合，则利用如上反证法的思想，我们就有将F在闭球中的补集映到球面如上定义的光滑映射。由微分拓扑的沙德(Arthur Sard) 引理可知，几乎所有的球面上的点都是该映射的 “正则值”，因而这些点在映射下的逆像为起始于该点的一条光滑曲线。这条曲线的另一端不能再回到球面上，也不能在映射的定义域中停止，故必定趋向于原先映射的不动点集合F。如果能数值跟随这条曲线，就能计算出闭球映射的一个不动点。在凯洛格和约克两位教授的鼓励下，李天岩开始了这一卓越思想的数值实现。
在接下来的两个月时间内，他几乎每天都与学校计算中心那台只能用卡片输入的计算机打交道，但总是无功而返，计算机吐出的厚厚一叠纸预示着程序的失败。但李天岩契而不舍地修改程序。改错、输入、再改错、再输入，从一个实际计算的门外汉逐步登堂入室。直到有一天，他惊喜地发现计算机仅仅输出一张打印纸，上面正是成功计算出的布劳威尔不动点！他成功了！一个全新的布劳威尔不动点算法诞生了。
有趣的是，凯洛格-李-约克关于布劳威尔不动点的计算，并非是历史上的首次尝试。尽管他们当时不知道，早在1967年，美国耶鲁大学经济学教授斯卡夫 (H. Scarf) 在研究数量经济学时，将求解一个经济模型的均衡点问题归结为求解定义在n维标准单纯形上的一个连续映射f的不动点问题。根据布劳威尔不动点定理，这样的不动点存在。斯卡夫采用了所谓的单纯三角剖分方法，运用组合数学中的斯泊纳 (E. Sperner) 引理，跟随一条折线来近似f的不动点，从而设计了一种单纯剖分不动点算法。在七十年代，此算法被推广成求解非线性方程组的单纯不动点算法，成了热极一时的研究领域。
1974年，将在美国克莱姆森大学举行的第一届国际不动点算法大会组委会获悉凯洛格-李-约克的新方法时，提供了两张飞机票让他们赴会报告这一结果。正如斯卡夫在其会议论文集《不动点算法及其应用》序言中所述：“对我们众多与会者而言，克莱姆森会议之令人惊奇之处在于凯洛格-李-约克关于计算连续映射不动点的文章。他们提出了第一个基于微分拓扑思想——而不是我们习以为常的组合技巧——的计算方法。”
虽然单纯不动点算法的研究目前已经冷却，以凯洛格-李-约克方法为 “初始点” 的现代同伦延拓法研究依然方兴未艾，在不同的领域生根发芽。李天岩与凯洛格及约克一道是目前世界上被公认为非线性方程现代同伦法数值计算的创始人，并且对此重要的领域作出了巨大的贡献。
“同伦” 的思想在现代数学中到处有用。自七十年代提出计算布劳威尔不动点基于纯粹数学分支微分拓扑理论的现代同伦方法后至今，李天岩一直在求解一般多变量多项式系统同伦算法这一疆场辽阔的领域辛勤地耕耘着。
求解多变量多项式方程组是经常出现在应用科学中的问题，譬如说电路分配问题、机械手问题等等。同时这种问题也出现在混沌理论的研究中，如 “混沌之父” 洛伦茨 (Edward Lorenz)研究的具有混沌现象的四维常微分方程组的定常状态事实上是其右端多项式方程组的解。它的重要性从李天岩在一次学术演讲中所说的一句话可见：“多项式方程组求解不光现在要用，两百年以后还是要用！”几十年来，李天岩和他的弟子及合作者们在这一领域已取得一系列令人瞩目的成果，他2003年应邀在《数值分析手册》第十一卷上发表了长篇综述性论文《求解多项式方程组的同伦延拓法》。在多项式方程组数值解领域，李天岩无愧于其领军人之一之称号。
逆境拼搏
我们熟悉的大部分学术界华人明星，多数人事业与身体 “相得益彰”，如精神焕发的杨振宁和健壮如牛的丘成桐。但是，李天岩却是大大的例外，这就是他“传奇”的一部分——他四十五年来在学术界的卓越贡献，是在与身体上几乎无时无刻不受到的病痛作顽强搏斗中取得的。
李天岩在台湾清华大学读本科时，绰号是“棍子”，除了学业成绩名列前茅外，在体育运动上也是一流的，曾任校篮球队队长和校足球队队员。但当他1969年赴美国马里兰大学攻读博士学位的第二年开始，就感到肾脏逐渐不好，但他依然异常用功，至1974年完成了八篇学术论文并取得博士学位。毕业后仅仅六个星期，发现血压竟高达220/160毫柱。他于1976年5月4日起开始了长达五年半辛苦的洗肾过程，每周三次，每次五个小时，还不包括医院往返时间。当时他的研究工作大半是在病榻上完成的。
1980年1月29日，李天岩首次接受换肾手术，然而因排斥效应，不久以失败告终。1981年7月15日他成功地接受了妹妹的一个肾脏移植，在这之后的三年内，他的身体逐渐适应，康复不少。然而好景不长，1984年2月21日，他又遭遇中风，右半身全部麻痹，并于4月26日做了脑血管动脉瘤的大手术。在之后的七、八年，他的身体还算平静，虽无大手术，但局部麻醉的小手术却仍然不断。然而，李天岩趁此机会抓紧时机，在此数年内发展了同伦延拓求解矩阵特征值问题和多项式方程组的重要理论及方法，并培养了一批从中国大陆直接招来的博士研究生，我是其中之一。除此之外，在此期间他除了几乎每年回台湾给予重要的系列演讲，更于1985年6月至7月首度访问了祖国大陆十余所大学与中科院研究所，给出了若干关于混沌动力系统、同伦算法等专题演讲，并开始挑选接受大陆研究生，对于将数学根植于国内及提携后进不遗余力。
那些年，李天岩所遭受的病魔打击和他取得的学术成就都是令人吃惊的新闻，几乎是难以置信的“相反相成”。他曾经告诉我，这段时间他的大部分论文 “是在病榻上完成的”。
1993年1月，李天岩在密歇根州立大学教书时，身体突然感到不适而昏倒送医，经医生诊断为脑动脉血管阻塞。其后，他以极其坚韧的毅力与无比的信念战胜了疾病。然而，从1992年起他就开始感到腿痛，看遍了无数的中医西医，都没有办法找出病因。后来才知道是背脊椎骨关节炎所引起，最后终于在1995年5月30日动了一次大手术将发炎的部位割掉。在之后的五、六年间，他的身体状况基本平静。然而2000年5月，他又做了一次背脊椎骨的手术。3年后，他再次病倒，医生运用刚刚问世不久的最新医疗技术为他的心脏动脉血管安装了八个支架。后来有许多年他一直勤于运动保养身体，每天要游泳一千公尺或步行二英里，身体状况比以前明显好转许多。但由于他全身是病，遍体是伤，一不小心，伤病便会“卷土重来”。例子之一是2010年6月他在杭州开会期间，晚间在西湖边意外跌倒，血流满柱，在急诊室缝了八针。几天后，他虽然绷带在身，却仍然依约去了东北大学讲学。
在过去的几十年中，李天岩长期遭受疾病的巨大痛苦，全身麻醉的大手术已有十几次，局部麻醉手术则不计其数，全身都是开刀的伤痕。然而他是一个在逆境中求突破，“与病斗其乐无穷” 的人，凭藉着一股坚强的毅力及终极的信念去克服一切困难，在最艰难的环境下作出了第一流的研究工作。他常对他的研究生们说，若他们在学习、研究中遇到困难，只要想到他是怎样克服病痛的巨大困难，一切困难就容易迎刃而解了。正是因为这种超人的精神，尽管一直病痛缠身，李天岩仍然成为密歇根州立大学仅有的三位有国家科学基金会几十年无间断资助的学者之一。
治学之道
李天岩几十年如一日的治学严谨态度也充满魅力，对年轻人不无鞭策力量。他常认为，他的成功之道除了有像约克教授这样的好导师引导，其不二法门无它，就是坚持。他常常对学生说，自己并不聪明，而是否聪明过人也其实并不重要，能将问题弄个水落石出才重要。他常强调，自己对问题的看法只不过是比别人多坚持了一分钟，而那宝贵的一分钟可能就是造就成功之路的一分钟。一个问题，大人物解决不了，并不表示小人物也解决不了，大人物思考问题的路径也不等于解决问题的路径。“ 凭着一股牛劲，凡事坚持到底，绝不轻言放弃”，是他叮咛学生们的名言。
他也常说，读书做学问一定要作彻底的理解，尤其是做数学，一知半解地记忆表面上的逻辑过程是没有用的。他曾举例说，一个矩阵的行秩为什么会等于列秩呢？其实学过线性代数的大二学生都会证明。然而它实际上所代表的几何意义是什么？物理上的涵义又是什么？从不同的角度来看这个问题时，你将会得到意想不到的结果。
李天岩对应用数学家和计算数学家的培养有独特的见解。一方面他极端看重在纯粹数学上下苦功，在理论分析上打下坚实的基础。记得当年我到达密歇根州立大学第一天就听本系的中国同学说，要成为李教授博士研究生的一个必要条件（而非充分条件）是修过或考过卢丁(W. Rudin) 的《实复分析》。另一方面，他又特别强调学生们养成上机计算的好习惯，坚决反对 “纸上谈兵” 的计算数学学习法。纵观科学发展史，许多激动人心的伟大发现起源于计算上的 “好奇心”。十九世纪初，“数学王子” 高斯曾花费大量的时间从事数值方面的计算，如数论中的素数之分布，“最小二乘法” 的基本思路也追溯到他。上个世纪乌拉姆的 “蒙特卡洛法”、洛伦茨的 “蝴蝶效应”、梅的 “人口动力学”、李天岩的 “同伦延拓”，也无一不是 “计算好奇心” 催生的产儿。难怪约克在2005年参加完他弟子六十岁生日庆祝活动后被台湾数学界采访时语重心长地说：“研究就是去发现叫人赞叹的想法，而动手计算则可能导致伟大发现。”
李天岩对中国教育中普遍存在的填鸭式教学深有体会，并深恶痛绝。在发表于台湾《数学传播》杂志上的一篇题为 “回首来时路” 的文章中，他以颇具幽默的口吻回忆起当年大学同窗们如何像少年维特烦恼于恋爱那样对《数学分析》中 “ε-δ” 语言的烦恼——甚至有人差点留下“不想活下去”的遗书，藉以抨击 “教科书越难越好” 的教学理念。
从左至右：约克，李天岩，本文作者丁玖。摄于2015李天岩教授70周岁时。
我曾听他清华学弟提到他当年成绩 “全班第三”，但是他“回想起来，当时实在是‘一窍不通’。”到美国求学以后他才知道，数学上的逻辑推理和对数学结构性的认知有相当大的差距。他认为抽象数学的出发点多半起始于为解决实际问题所建立的数学模型，然后将解决问题的方式抽象成一般理论，以解决更普遍的同类问题。学习“高档次”的数学理论，绝对必须从低档次数学的理解出发，对原始概念的历史发展和来龙去脉要有基本的认识，否则就会如坠迷雾，不知所云，只好背定义、背定理、背逻辑，应付考试。
李天岩坚决反对学生死记硬背，不求真懂。参加过他为自己学生设计的数学讨论班的历届研究生都不会忘记他对每一个报告者的基本要求：不要光讲“ε-δ”语言，那仅仅是逻辑——要讲思想，要讲 “basic idea”。在讨论班，他要求学生在演示证明一个一般定理时，要先将具体的或特殊的情形解释清楚，坚决反对一开始就在抽象的概念里捉迷藏。几乎所有学生都因讲得不得要领而被他“挂黑板”，但“平时多流汗，战时少流血”的学生们后来大都成了会讲课的大学教授。
李天岩坚信，若是真正了解一门学科，就会讲得连高中生也能听得懂。他用这样的准则来训练他的学生，也是这样身体力行。他在世界各地应邀所做的数学演讲总是从最初等的概念入手，用最直观的观察引导，听众无不被他深入浅出的生动报告所折服。1986年，当刚到美国攻读博士学位的我在他办公室里准备给他报告一篇著名教授的论文时，他的第一句话便是“你要把我当成笨蛋，我什么也不知道。”当时我十分纳闷，自己慕名而来求学的堂堂大教授，居然“什么也不知道”。正因为面对的是一个“什么也不知道”的数学家，他的弟子们学会了什么是研究数学，什么是讲数学。
正因为李天岩独特的研究方法和讲课艺术，他是密歇根州立大学的杰出教授奖和杰出教学奖的获得者，影响了他一批又一批的学生在研究与教学上齐头并进。他的治学之道对一个科学工作者的成长具有典型的启发性。
2019年6月15日星期六
完稿于美国哈蒂斯堡
