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习题

1.求证:切比雪夫-拉盖尔(Chebyshev-Laguerre)多项式
Ln(x)=exdndxn(xnex)
n个不同的零点.

2.求证:切比雪夫-埃尔米特(Chebyshev-Hermite)多项式
Hn(x)=(1)n1n!ex22dndxn(ex22)
n个不同的零点.


 

1.注意到x=0Ln(x)n重零点,而且lim.

2.注意到\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left(\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)=0\,(k=1,2, \cdots, n).

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