习题
1.求证:切比雪夫-拉盖尔(Chebyshev-Laguerre)多项式
Ln(x)=exdndxn(xne−x)
有n个不同的零点.
2.求证:切比雪夫-埃尔米特(Chebyshev-Hermite)多项式
Hn(x)=(−1)n1n!ex22dndxn(e−x22)
有n个不同的零点.
1.注意到x=0是Ln(x)的n重零点,而且lim.
2.注意到\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left(\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)=0\,(k=1,2, \cdots, n).
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