2019年清华自主招生部分试题

竞赛与自招公众号：今天上午，进行了清华大学的自主招生笔试。考试时间是90分钟，采用的是机考的形式，总共35个不定项选择题。在考试结束后，我们根据考生的回忆，将此次的部分试题整理出来，并推送给大家。后期若有增加，会陆续推送。由于考生的回忆可能会有一些错误，还请大家帮忙指正，谢谢。

1.一个四面体棱长分别为$6,6,6,6,6,9$,求外接球的半径.

2.求值: $\int_{-1}^1\left(1-\sin^2x\right)x^2dx$.

3.已知$P$为单位圆上一动点, $A(0,2),B(0,-1)$,求$|AP|\cdot |BP|^2$的最大值.

4. $AB$为圆$O$直径, $CO\perp AB$, $M$为$AC$中点, $CH\perp MB$,则下列选项正确的是

A. $AM=2OH$  B. $AH=2OH$  C. $\triangle BOH\sim \triangle BMA$ D.忘了

5. $A=\{1,2,3,\cdots,15\},B=\{1,2,3,4,5\}$, $f$是$A$到$B$的映射,若满足$f(x)=f(y)$,则称有序数对$(x,y)$为“好对”,求“好对”的个数最小值.

6.若对任意$c\in\mathbb{R}$,存在$a,b$,使得$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c)$成立,则称函数$f(x)$满足性质$T$,下列函数不满足性质$T$的是

A. $f(x)=x^3-3x^2+3x$  B. $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$  C. $f(x)=e^{x+1}$  D. $f(x)=\sin (2x+1)$

7.已知$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2},(\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$,若$|\vec{d}-\vec{c}|=1$,求$|\vec{d}|$的最大值.

8.椭圆$\frac{x^2}6+\frac{y^2}2=1$,过$F(2,0)$的直线交椭圆于$A,B$两点,点$C$在直线$x=3$上,若$\triangle ABC$为正三角形,求$\triangle ABC$的面积.

9.圆$x^2+y^2=4$上一点$(x_0,y_0)$处的切线交抛物线$y^2=8x$于$A,B$两点,且满足$\angle AOB=90^\circ$,其中$O$为坐标原点,求$x_0$.

10. $a=4444^{4444}$, $b$是$a$的各位数字之和, $c$为$b$的各位数字之和,求$c$的值.

11.实数$x,y$满足$x^2+(y-2)^2\leq 1$,求$\frac{x+\sqrt{3} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$的最大值和最小值.

$$\sum_{k=1}^{n} k^{2} 2^{k}=\left(n^{2}-2 n+3\right) 2^{n+1}-6.$$

设$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{6} \in\left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$,求证: $\sum_{i=1}^{6} \frac{a_{i}-a_{i+1}}{a_{i+1}+a_{i+2}} \geq 0$.

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清华飞测（6.1）

1.给定$\odot O$及内部两点$A,B$,求满足$P$在$\odot O$上,且$OP$平分$\angle APB$的$P$点个数最大值.（此处约定若$O$在射线$AB$上, $P$在$AB$上,也称$OP$平分$\angle APB$）

2.设$x_i\,(1\leq i\leq n)$是$(0,1)$之间两两不同的数,记$[x]$为不超过$x$的最大整数, $\{x\}=x-[x]$.求 $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\{x_i-x_j\}^k(k\in\mathbb{N}^\ast)$$ 的最小可能值.

3.设$f(x,y,z)=\sum_{i,j,k}c_{ijk}x^iy^jz^k$,设$d=\max\{i+j+k\}$.给定有限集合$A$,定义集合 $$S=\{(x,y,z)|f(x,y,z)=0,x,y,z\in A\}.$$ 求证$S\leq d\cdot |A|^2$.

4.设$A_1,A_2,\cdots,A_n$是有限集$X$的$n$个子集（非空）.设$b_k$是集合 $$\{x|x\in X,x\in A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\cdots \cap A_{i_k},1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n\}$$ 的元素个数.求证: $$\prod_{i=1}^nb_i\leq\prod_{i=1}^n |A_i|.$$

 

设N=4444^4444的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B,B的各位数字之和为C,求C。

lgN=4444lg4444<4444*4=17776， 所以 A<17776*9=159984， B<1+9*5=46， C<4+9=13， N、A、B、C 被9除的余数相等， 且 N≡(4446-2)^4444≡2^4444 ≡8^4443*2≡-2≡7(mod 9)， 所以 C=7 。 追答 倒数第二行错了，应是 8^1481*2≡-2≡7

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浙大自主招生试题

1.已知$\alpha=\frac{\pi}{7}$,求$\cos \alpha-\cos 2 \alpha+\cos 3 \alpha$.

2.已知$S=\{1,2,3,4\}$,若$\left|a_{1}-a_{3}\right|+\left|a_{2}-a_{4}\right|$的平均数为最简分数$\frac{q}{p}$,其中$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in S$,则$p+q$的值为

3.动圆过定点$(a,0)$,且圆心到$y$轴的距离为$2a$,则圆心轨迹是（  ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.无法确定

4.已知$a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$,则$\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{a_ia_{i+2}}=$______

5.一枚质地均匀的硬币,扔硬币$10$次,正面朝上次数多的概率为________

6.一枚质地均匀的硬币,甲扔硬币$2019$次,乙扔硬币$2018$次,则甲正面朝上次数比乙正面朝上的次数多的概率为________

7.已知$x^2+y^2+z^2=1$,求$\sqrt{3}xy+yz$的最小值.

8.已知$P(n)$为关于$n$的整系数多项式,若$P(0)$和$P(1)$均为奇数,则(  )

A. $P(n)$无整数根  B. $P(n)$可能有负整数根  C. $P(n)$无解 D.忘了

9. $3.\overline{abc}$是所有三位小数中最接近$\sqrt{11}$的数,求$a+b+c$的值.

10.已知$n\in\mathbb{N}^\ast$,下列说法正确的是(  )

A. 若$n\neq 3k,k\in\mathbb{N}$,则$7\mid 2^n-1$  B. 若$n= 3k,k\in\mathbb{N}$,则$7\mid 2^n-1$

C. 若$n\neq 3k,k\in\mathbb{N}$,则$7\mid 2^n+1$ D. 若$n= 3k,k\in\mathbb{N}$,则$7\mid 2^n+1$

11.复数$|z_{1}|=| z_{2}|=1\,\left(z_{1} \neq z_{2}\right)$,满足$\left|z_{k}+1+i\right|+\left|z_{k}-1-i\right|=2 \sqrt{3}\,(k=1,2)$,求$z_1z_2$.

12.若$x>1$,且满足$x^2+\frac{1}{x^2}=3$,求$x^5-\frac{1}{x^5}$.

12.已知点$(a,b)$在椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上,求$2a+3b+4$的最大值和最小值之和.

13.若将$19$表示为若干个正整数的和,则这些正整数的积的最大值为______

14.数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,S_{n+1}=4a_n+3$,求$a_{2019}-2a_{2018}$的值.

15.定义在$\mathbb{R}$上的偶函数$f(x)$满足$f(x+1)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^{2}(x)}$,求$f\left(\frac{121}{2}\right)$.

16.若$p,q$是方程$x^2+6x+5a-a^2=0$的两根,且满足$q+8p=p^3$,则$a$的可能取值有多少个?

17. $\triangle ABC$的顶点为$A(-p,0),B(p,0)$,其内心在直线$x=q$上,且$p>q>0$,则顶点$C$的轨迹方程为_____