答疑问题

limx0e(1+x)1/x(1+x)e/xx2

由泰勒公式可知
(1+x)1/x=exp{ln(1+x)x}=exp{xx22+x33+o(x4)x}=eexp{x2+x23+o(x3)}=e[1+(x2+x23+o(x3))+(x2+x23+o(x3))22+o(x3)]=ee2x+11e24x2+o(x3).
于是
e(1+x)1/x=ee12ee+1x+124ee+1(3e+11)x2+o(x2).
类似地有
(1+x)e/x=ee12ee+1x+124ee+1(3e+8)x2+o(x2).
于是所求极限为
limx0e(1+x)lx(1+x)e/xx2=18ee+1.

limnan=b>0,判断n=1(ban)n的敛散性.

an=bn2nb,则n=1(ban)n=n=11n2收敛.


an=bnnb,则n=1(ban)n=n=11n发散.

求极限limnn2(arctananarctanan+1).

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