多元函数积分学

$$\begin{Example} 设$\Sigma$为上半椭球面$\frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } = 1\, ( z \geq 0 )$, $\pi$为$\Sigma$在点$P(x,y,z)$处的切平面, $\rho(x,y,z)$为原点$O(0,0,0)$到平面$\pi$的距离,求$\iint _ { \Sigma } \frac { z } { \rho ( x , y , z ) } d S$. \end{Example}$$
$$\begin{Solution} 因为椭球面$\frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } = 1$在$P(x,y,z)$点的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,2z)$,所以切平面$\pi$的方程为 \[xX+yY+2zZ=2,\] 从而原点到$\pi$的距离为 \[\rho ( x , y , z ) = \frac { 2 } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } }.\] 令$\left\{ \begin{array} { l } { x = \sqrt { 2 } \sin \varphi \cos \theta }, \\ { y = \sqrt { 2 } \sin \varphi \sin \theta }, \\ { z = \cos \varphi }, \end{array} \right.$则$\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } = \sqrt { 2 \sin ^ { 2 } \varphi + 4 \cos ^ { 2 } \varphi }$,由 \begin{align*} x' _ { \varphi } &= \sqrt { 2 } \cos \varphi \cos \theta , y' _ { \varphi } = \sqrt { 2 } \cos \varphi \sin \theta , z' _ { \varphi } = - \sin \varphi \\ x' _ { \theta } & = - \sqrt { 2 } \sin \varphi \sin \theta , y' _ { \theta } = \sqrt { 2 } \sin \varphi \cos \theta , z' _ { \theta } = 0,\end{align*} 得到 \[\sqrt { E G - F ^ { 2 } } = \sin \varphi \sqrt { 2 \sin ^ { 2 } \varphi + 4 \cos ^ { 2 } \varphi },\] 由此得到 \[\iint \frac { z } { \rho ( x , y , z ) } d S = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos \varphi \sin \varphi \left( \sin ^ { 2 } \varphi + 2 \cos ^ { 2 } \varphi \right) d \varphi = \frac { 3 } { 2 } \pi.\] \end{Solution}$$

\textbf{注.}本题也可由$\Sigma:z=\frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 2 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$投影到$xy$平面上来计算得到
$$\iint _ { \Sigma } \frac { z } { \rho ( x , y , z ) } d S = \frac { 1 } { 4 } \iint _ { D _ { x y } } \left( 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) d x d y = \frac { 3 } { 2 } \pi.$$

$$\begin{Example} 设$\Sigma$是单位球面$x^2+y^2+z^2=1$.证明 \[\iint _ {\Sigma} f ( a x + b y + c z ) d S = 2 \pi \int _ { - 1 } ^ { 1 } f \left( u \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \right) d u,\] 其中$a,b,c$为不全为零的常数, $f(u)$是$| u | \leq\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }$上的一元连续函数. \end{Example}$$
$$\begin{Proof} 将$xyz$坐标系保持原点不动旋转成$x'y'z'$坐标系,使$z'$轴上的单位向量为$\frac { 1 } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } ( a , b , c )$,由于旋转变换是正交变换,保持度量不变,所以球面$\Sigma$上的面积元$dS$也不变.设球面$\Sigma$上一点$(x,y,z)$的新坐标为$(x',y',z')$,则$ax+by+cz=\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }z'$,于是 \[\iint _ {\Sigma} f ( a x + b y + c z ) \mathrm { d } S = \iint _ { \Sigma } f \left( \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } z ^ { \prime } \right) d S.\] 下面计算这一曲面积分.令球面$\Sigma$的参数方程为 \[x' = \sin \varphi \cos \theta ,\quad y' = \sin \varphi \sin \theta ,\quad z' = \cos \varphi,\] 则 \[\sqrt { E G - F ^ { 2 } } = \sin \varphi,\] 所以 \begin{align*} \iint_{\Sigma} f ( a x + b y + c z ) d S & = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { x } f \left( \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \cos \varphi \right) \sin \varphi d \varphi \\ & = 2 \pi \int _ { - 1 } ^ { 1 } f \left( u \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \right) d u. \end{align*} \end{Proof}$$