三角求值问题

\begin{Example}
求
\[x = \cot \frac { \pi } { 11 } - \cot \frac { 2 \pi } { 11 } + \cot \frac { 3 \pi } { 11 } + \cot \frac { 4 \pi } { 11 } + \cot \frac { 5 \pi } { 11 }.\]
\end{Example}
\begin{Solution}
(邵美悦)记$z = \cos ( \pi / 11 ) + i \sin ( \pi / 11 )$,则
\begin{align*} \mathrm { i } x & = \frac { 1 + z ^ { 2 } } { 1 - z ^ { 2 } } - \frac { 1 + z ^ { 4 } } { 1 - z ^ { 4 } } + \frac { 1 + z ^ { 6 } } { 1 - z ^ { 6 } } + \frac { 1 + z ^ { 8 } } { 1 - z ^ { 8 } } + \frac { 1 + z ^ { 10 } } { 1 - z ^ { 10 } } \\ & = \frac { p ( z ) } { q ( z ) }, \end{align*}
其中
\begin{align*}
q ( z ) = & \left( 1 - z ^ { 2 } \right) \left( 1 - z ^ { 4 } \right) \left( 1 - z ^ { 6 } \right) \left( 1 - z ^ { 8 } \right) \left( 1 - z ^ { 10 } \right) \\
p ( z ) = & 3 - z ^ { 2 } - 5 z ^ { 4 } + 2 z ^ { 6 } - 2 z ^ { 8 } + z ^ { 10 } \\
& + z ^ { 12 } + z ^ { 14 } + z ^ { 16 } + z ^ { 18 } + z ^ { 20 } \\
& - 2 z ^ { 22 } + 2 z ^ { 24 } - 5 z ^ { 26 } - z ^ { 28 } + 3 z ^ { 30 } \\
=& 1 - z + z ^ { 2 } - z ^ { 3 } - 10 z ^ { 4 } - z ^ { 5 } \\
&+ z ^ { 6 } - z ^ { 7 } + z ^ { 8 } - z ^ { 9 } + z ^ { 10 }\\
= &\frac { 1 + z ^ { 11 } } { 1 + z } - 11 z ^ { 4 } \\
= &- 11 z ^ { 4 }.
\end{align*}
接下来再考察$q(z)$.由于
\begin{align*}
q ( z ) = & 1 - z ^ { 2 } - z ^ { 4 } + z ^ { 10 } \\
& + z ^ { 12 } + z ^ { 14 } - z ^ { 16 } - z ^ { 18 } - z ^ { 20 } \\
& + z ^ { 26 } + z ^ { 28 } - z ^ { 30 } \\
= & 1 - z - z ^ { 2 } - z ^ { 3 } + z ^ { 5 } \\
& + z ^ { 6 } + z ^ { 7 } - z ^ { 8 } + z ^ { 9 } + z ^ { 10 },
\end{align*}
则
\begin{align*}
[ q ( z ) ] ^ { 2 } = & 1 - 2 z - z ^ { 2 } + 3 z ^ { 4 } + 4 z ^ { 5 } \\
& + z ^ { 6 } - 2 z ^ { 7 } - 8 z ^ { 8 } + z ^ { 10 } \\ & + z ^ { 12 } - 2 z ^ { 13 } + z ^ { 14 } + 2 z ^ { 15 } \\
& + 5 z ^ { 16 } - z ^ { 18 } + 2 z ^ { 19 } + z ^ { 20 } \\
=& 1 - z + z ^ { 2 } - z ^ { 3 } + z ^ { 4 } - z ^ { 5 } \\
& + z ^ { 6 } - z ^ { 7 } - 10 z ^ { 8 } - z ^ { 9 } + z ^ { 10 } \\
= & - 11 z ^ { 8 },
\end{align*}
因此
\[x ^ { 2 } = - \left[ \frac { p ( z ) } { q ( z ) } \right] ^ { 2 } = 11.\]
注意到$x>0$,所以$x=\sqrt{11}$.
\end{Solution}

\textbf{注.}用单位根暴力解这类三角恒等式的时候可以在关于$x$和$z$的联立方程中消去$z$得到$x$满足的代数方程(次数可能会比较高),再设法求解$x$.这里给出的做法是在观察到$p(z)$具有比较简单的形式后直接化简$q(z)$,如果直接按比较机械的消元法则会得到$\left(x^2-11\right)^5=0$,但计算量会更大一些.

\begin{Example}
计算
\[\tan ^ { 6 } 20 ^ { \circ } + \tan ^ { 6 } 40 ^ { \circ } + \tan ^ { 6 } 80 ^ { \circ }.\]
\end{Example}
\begin{Solution}
(邵美悦)利用三倍角公式易知$cos20^ { \circ },cos140^ { \circ },cos260^ { \circ }$是一元三次方程$8x^3-6x-1=0$的三个根,所以$\sec 20^ { \circ },\sec140^ { \circ },\sec 260^ { \circ }$是一元三次方程$x^3+6x^2-8=0$的三个根,也就是矩阵
\[A = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 8 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 6 } \end{array} \right]\]
的三个特征值.注意到
\begin{align*}
& \tan ^ { 6 } 20 ^ { \circ } + \tan ^ { 6 } 40 ^ { \circ } + \tan ^ { 6 } 80 ^ { \circ } \\
= & \left( \sec ^ { 2 } 20 ^ { \circ } - 1 \right) ^ { 3 } + \left( \sec ^ { 2 } 140 ^ { \circ } - 1 \right) ^ { 3 } + \left( \sec ^ { 2 } 260 ^ { \circ } - 1 \right) ^ { 3 } \\
= & \operatorname { tr } \left( \left( A ^ { 2 } - I \right) ^ { 3 } \right).
\end{align*}
直接计算可得
\[\left( A ^ { 2 } - I \right) ^ { 3 } = \left[ \begin{array} { c c c } { - 1521 } & { 8760 } & { - 50448 } \\ { 264 } & { - 1521 } & { 8760 } \\ { 1095 } & { - 6306 } & { 36315 } \end{array} \right].\]
因此
\[\tan ^ { 6 } 20 ^ { \circ } + \tan ^ { 6 } 40 ^ { \circ } + \tan ^ { 6 } 80 ^ { \circ } = 33273.\]
\end{Solution}