【数学】test20170304

【小 Y 的智力游戏】(Game.pas/c/cpp Time:1s Memory:256M)
【问题描述】
　　小 Y 最近迷上了一款智力游戏。(当然小 Y 还是很好学的)这款智力游戏就是让你从 1 到 N 这 N 个数中,选取若干个不相等的正整数,使得它们的乘积为一个完全平方数,同时,这个乘积也将成为你的得分。他(或她,以后这个括号就省略了)想知道最大得分对 1000000007 的模值。
【输入】
　　输入文件名 game.in 一行一个正整数 N,代表数字的个数。
【输出】
　　输出文件名 game.out 一行一个正整数,代表最大得分对 1000000007 的模值。
【输入输出样例】
　　Game.in　　Game.out
　　3　　　　　 1
【数据范围】
　　对于 30%的数据,保证有 n≤50。
　　对于 60%的数据,保证有 n≤1000。
　　对于 70%的数据,保证有 n≤10000。
　　对于 80%的数据,保证有 n≤100000。
　　对于 90%的数据,保证有 n≤1000000。
　　对于 100%的数据,保证有 n≤3000000。

【Analysis】

　　将1～n逐个分解质因数（等效于分解n!），若质因子指数为偶，直接乘，否则指数－1再乘，求n!中质数ｋ的次数s(k)=n/k+n/(k^2)+n/(k^3)+......

【code】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int A = 3e6+10, mod = 1e9+7;

int n,s;
int p[A],ex[A],sum[A];
unsigned long long ans=1,x,k,y;

int power(int a,int b)
{
    x=a;k=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)k=(k*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        b>>=1;
    }
    return k;
}

void prime()
{
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!ex[i])p[++s]=i;
        for(int j=1;j<=s&&p[j]*i<=n;++j)
        {
            ex[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }    
    }
}

void calc(int n,int p,int &s)
{
    y=p;
    while(y<=n)s+=(n/y),y*=p;
}

int main()
{
    freopen("game.in","r",stdin);
    freopen("game.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    prime();
    for(int i=1;i<=s;++i)calc(n,p[i],sum[i]);
    for(int j=1;j<=s;++j)
        if(sum[j])
        {
            if(sum[j]%2==1)--sum[j];
            if(sum[j])ans=(ans*power(p[j],sum[j]))%mod;
        }
    printf("%llu\n",ans);
    return 0;
}

 

【小 Y 的绝对战争】(War.pas/c/cpp Time:1s Memory:256M)
【问题描述】
　　小 Y 与大黄爆发了一场绝对要胜利的战争。(原因是大黄生活作风问题)小 Y 现在拥有 N 个城池,每个城池都有一个强大值 Wi。现在没有一条通路连接任意两个城池(通路是双向的)。现在小 Y 想顺次修建若干条通路,使得每修建一条通路都连接了两个原本不连通的城池(联通的定义是两个城池之间存在一条由通路构成的路径)。每修建一条通路 IJ,那么安全值就会增加 Gcd ( Wi,Wj)。为了确保这场战争的胜利,小 Y 想知道,可能的最大安全值是多少(囧)。
【输入】
　　输入文件名为 war.in。
　　第一行一个正整数 N,代表城池的个数。
　　接下来 N 行,每行一个正整数,代表这个城市的强大值。
【输出】
　　输出文件名为 war.out。
　　一行一个整数,代表最大的安全值。
【输入输出样例】
　　War.in
　　4
　　1
　　2
　　3
　　4
　　War.out
　　4
【数据范围】
　　对于 30%的数据,保证有 n≤1000。
　　对于 100%的数据,保证有 n≤1000000, 任意 W 小于等于 1000000。

【Analysis】

　　对于任意质数，设起在Ａ中次数为a,在Ａ1中次数为a1,在Ｂ中次数为b,在Ｂ1中次数为b1,在X中次数为x,则min(a,a1)=x,max(b,b1)=x;据此求ｘ的取值范围

【code】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int A = 1e6;

int n,maxn,pre,k,x,y,q,s,z;
int w[A+10],vis[A+10][2],f[A+10];
long long ans;

int find(int x)
{
    if(x!=f[x])f[x]=find(f[x]);
    return f[x];
}

int main()
{
    freopen("war.in","r",stdin);
    freopen("war.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&w[i]);
        if(w[i]>maxn)maxn=w[i];
        if(!vis[w[i]][0]){vis[w[i]][0]=1;vis[w[i]][1]=i;}
        else {ans+=w[i];f[vis[w[i]][1]]=i;++s;}//
    }
    
    for(int i=maxn;i>=1;--i)//
    {
        pre=0;
        for(int j=1;i*j<=maxn;++j)
        {
            k=i*j;
            if(vis[k][0])
            {
                if(!pre)pre=vis[k][1],q=k;
                else
                {
                    x=find(pre);y=find(vis[k][1]);
                    if(x!=y)
                    {
                        ans+=i;f[x]=y;++s;
                    }
                }
            }
        }
        if(s==n-1)break;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

【小 Y 的数学作业】(Homework.pas/c/cpp Time:1s Memory:256M)
【问题描述】
小 Y 是个很好学的孩子。(附注:Y=yang)最近老师总是布置给他(或者她)一些数学作业题,每道作业题就是求一个数 X 与数字 A 的最大公约数和 X 与数字 B 的最小公倍数。这天晚上 11:00,大黄到小 Y 家去“玩”,不小心弄翻了小 Y 的咖啡,结果 N 道题的数字 X 都看不见了,但是数字 A、数字 B 与小 Y 算出来的答案都还在。小 Y 很急,想问你对于每一道数学作业题,到底有多少种 X 满足已经算出的答案。
【输入】
　　输入文件名为 homework.in。
　　第一行一个整数 N,代表数学老师布置的题目数量。
　　接下来 N 行,每行 4 个正整数 A, A1, B, B1,代表 Gcd(x,A)=A1,Lcm(x,B)=B1。
【输出】
　　输出文件名为 homework.out
　　对于每个数学题,若存在这样的 X,即输出合法的 X 的个数,否则输出 0。
【输入输出样例】
　　Homework.in
　　2
　　41 1 96 288
　　95 1 37 1776
　　Homework.out
　　6
　　2
【数据范围】
　　对于 50%的数据,保证有 1≤A,A1,B,B1≤10000 且 n≤100。
　　对于 100%的数据,保证有 1≤A,A1,B,B1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

【Analysis】
　　从大到小枚举边权，vis[i][0]记存在权值为i的点,vis[i][1]记初始父亲，要处理点权相同的情况
【code】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int size = 45000;

int A,A1,B,B1,a,a1,b,b1,x,s,sum,l,r,T,bo,bb;
int p[size+10],ex[size+10];
long long ans=1;

void prime()
{
    for(int i=2;i<=size;++i)
    {
        if(!ex[i])p[++s]=i;
        for(int j=1;j<=s&&p[j]*i<=size;++j)
        {
            ex[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}

int solve(int &a,int b)
{
    sum=0;
    while(a%b==0)++sum,a/=b;
    return sum;    
}

int main()
{    
    freopen("homework.in","r",stdin);
    freopen("homework.out","w",stdout);
    prime();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ans=1;bo=0;
        scanf("%d%d%d%d",&A,&A1,&B,&B1);
        if(B1%A1){printf("0\n");continue;}
        bb=B1;
        for(int i=1;i<=s;++i)
        {
            if(p[i]>bb) break;
            x=-1;l=-1;r=-1;//
            a=solve(A,p[i]);
            a1=solve(A1,p[i]);
            b=solve(B,p[i]);
            b1=solve(B1,p[i]);
            if(a==a1)l=a;
            else x=a1;
            if(b==b1)r=b;
            else
            {
                if(x>=0&&b1!=x){bo=1;break;}
                x=b1;
            }
            if(l>r&&l>=0&&r>=0){bo=1;break;}
            if(x<0)ans*=(r-l+1);
        }
        if(A>1&&A1>1)ans*=2;
        if(B>1&&B1>1)ans*=2;
        if(bo)printf("0\n");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}