错排公式的递推公式

错排

递推理解

思路概述

假设 $D_i$ 表示一个规模为 $n$ 的方案数，则可以试着将这个问题的规模缩小，即可以先从 $n$ 个值中选择一个值放在一个位置，比如说放在 $k(k<n)$ 位置，则此时方案数为 $n-1$，现在再来考虑剩下的 $n-1$ 个值，再选择一个值放，可以将问题分成不重合的两类，而且包含所有的情况。其一是将这个值放在第 $n$ 个位置，这种情况下除了第一个放的值之外剩下的 $n-1$ 个值的方案数就是 $1\ast D_{n-2}$ ；其二，这个值不放在第 $n$ 个位置，而放在其他不为 $k$ 的位置，这时候剩下的这 $n-1$ 个值的方案数就是 $D_{n-1}$。

所以乘法原理都乘起来就是 $D_n=(n-1)\ast D_{n-1)}\ast D_{n-2}$。

这也就是错排的递推式了。

容斥原理理解

思路概述

假设现在你将 $1-n$ 的全排列放上去，考虑哪些排列是错误的，首先第 $k$ 个位置放 $k$ 的方案数是 $(n-1!)$ 种，这一个数的选取方案是 $n$ 个数种选一个的方案数，即 $C_n^1$，乘起来也就是 $n\ast (n-1)!$，这样会多减去两个数都不错排的数量，再加上，也就是 $C_n^2$，剩下的 $n-2$ 个数随便排，即算出来总方案数就是 $n!/2!$，后边同理，最后累加起来得到 $\sum _{k=2}^n((-1{)}^{k}n!/k!)$。