递推式的求通项公式待定系数法
貌似数学必修讲过一部分,然后对一些套路进行整理
斐波那契通项公式
先看一个普通的递推式
\(a_n=k\times a_{n-1}+b\)
我们有两个基本的数列,等比数列,等差数列
\(a_n=a_1+(n-1)\times d\)
\(a_n=r^{n-1}a_1\)
当\(k=0,\)原数列是常数列
当\(k=1,\)原数列是等差数列
\(k>1\)不是很好处理,转化成等差显然不可能,那么就考虑能不能处理成等比数列的形式
然后就是对原数列构造新数列
\(A_n=(a_n-ka_{n-1})\)的形式,使其满足等比数列形式
然后就能推出\(A_n\)的通项公式,进而得到\(a_n\)的通项公式(话说今天问了全机房都解释不通...)
设斐波那契通项公式
\(a_n-\lambda a_{n-1}=\mu(a_{n-1}-\lambda a_{n-2})\)
\(\left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.\text{}\left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ \mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.\)
那么全部带回
\(\left\{\begin{matrix} a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_1)---------1.\\ a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_1)---------2. \end{matrix}\right.\)
考虑上下相消
\(2.\times \frac{1-\sqrt{5}}{2}-1.\times \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
\(a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]\)
也算是明白了为什么能这么构造了
upd:
一般形式
\[f_n=a f_{n-1}+b f_{n-2}
\\
f_n-\lambda f_{n-1}=\mu(f_{n-1}-\lambda f_{n-2})
\\
f_n-\lambda f_{n-1}=\mu f_{n-1}-\mu\lambda f_{n-2}
\\
f_n=(\mu+\lambda)f_{n-1}-\mu\lambda f_{n-2}
\\
\]
\[\left\{
\begin{aligned}
\mu+&\lambda = a \\
\mu\times &\lambda = -b
\end{aligned}
\right.
\]
\[\left\{
\begin{aligned}
\mu_1=\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2}
\\
\lambda_1=\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2}
\end{aligned}
\right.
\]
\[\left\{
\begin{aligned}
\mu_2=\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2}
\\
\lambda_2=\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2}
\end{aligned}
\right.
\]
愉快回带！
\[f_n-\lambda f_{n-1}=\mu(f_{n-1}-\lambda f_{n-2})
\\
\left\{
\begin{aligned}
f_n-\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2}f_{n-1}=(\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2})^{n-1}(f_{1}-\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2} f_{0})
\\
f_n-\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2}f_{n-1}=(\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2})^{n-1}(f_{1}-\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2} f_{0})
\end{aligned}
\right.
\\
f_1=1,f_0=0
\\
\left\{
\begin{aligned}
f_n-\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2}f_{n-1}=(\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2})^{n-1}
\\
f_n-\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2}f_{n-1}=(\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2})^{n-1}
\end{aligned}
\right.
\\
f_n=\frac{(\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2})^n-(\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2})^n}{\sqrt{a^2+4b}}
\]
