博弈论

博弈论和\(SG\)函数

发现原来学的东西都忘了,一方面是第一遍不是很懂,还有就是做题不多,于是重新回顾了一下

博弈,其实差不多明白本质是状态与状态之间的转化就好了

常见博弈

\(1.\)巴什博弈

一堆石子\(n\)个,取\(1-m\)个,\(n=m+1\)先手必败,\(n=k(m+1)+r\)先手必胜,因为我们总能到另一个\(n=k_1(m+1)+r_1\)状态,最后我们是\((m+1),\)必胜

\(2.\)尼姆博弈

偶状态必败,奇状态必胜,异或判断即可

\(3.\)威佐夫博弈

奇异状态必败,否则必胜

\((a_k,b_k)\)为奇异状态当且仅当\(a_k=k\times\lfloor\frac{\sqrt 5+1}{2}\rfloor,b_k=a_k+k\)

\(SG\)函数

结论\(:\)游戏和的\(SG\)函数等于各个游戏的\(Nim\)和

大概就是我们这个和游戏当前状态的\(SG\)等于构成这个游戏的所有游戏的状态的\(Nim\)和

\(SG\)函数可以形式化定义为

\(SG(x)=mex(SG(a),SG(b),SG(c)...)\)

其中\(a,b,c\)为\(SG\)的后继状态

其实\(SG\)函数可以看做我们之前\(Nim\)游戏的每个状态,然后异或起来得到的结果判定胜负

\(upd:(3.30)\)

这个屑忘记看阶梯博弈了,上午考试还考了

这个判断必胜的条件就是奇数位置的堆异或起来为\(0\)就是必输,否则必胜

考虑为什么,就是说,我们这步操作如果是奇数堆移动到偶数堆,我们可以也可以移动奇数堆

对手移动偶数堆,我们可以消除影响,那么实际上有效操作只是奇数堆在变化(进行博弈)