补题(1)

Needless to say, you know, I know

补题,没做的题都得补$QAQ$(话说这几天一直都在云题...)

$T1$治疗之雨

显然高斯消元,考虑式子怎么列

显然的,f[i]表示到达i滴血的期望次数,很多种情况

$f[i]$可以先加一滴血再减一些血过来

$f[i]$可以直接减一些血过来

$f[i]=f[i+k]$我还在想概率$...$

好吧,其实如果不考虑加血的话其实很好说,考虑概率,肯定是个排列计数,组合的话,显然每种情况出现次数不同,那么就是列总次数,然后钦定几个选了的次数得到就好了,然后还有一个限制就是加血

然后愉快的发现,我设的状态根被求不出来

那么改一改状态从而实现倒推

$f[i]$表示我们还有$i$血量的血被消灭的期望次数,那么可以实现倒推了

$f[i]=1+\sum_{j=1}^{j-1}f[j]\times p$

其实倒推我一直不是很透彻,这个大概就是,这个的期望次数是,所有情况的期望次数+1乘上概率

式子大概长这样

$f[i]=1+\sum_{j=1}^i(f[i-j]\times p[j]\times \frac{m}{m+1}+f[i-j+1]\times p[j+1]\times \frac{1}{m+1})+f[i+1]\times \frac{p[0]}{m+1}$

无非是分两种情况

其实可以$O(n^2)$预处理$p$

然后$O(n^3)$写出高斯消元得到$70pts$

由于这个矩阵比较特殊,可以将消元的复杂度降到$O(n^2)$

首先可以把每一行的系数变成$1$,由于每一行只需要消俩数就好了

$T2$

具体证明需要$border$理论,我是一个字符串菜菜

就记结论了

$Sit_1:$

$2\times a_i>a_{i+1}$ 直接拼后面一部分

$Sit_2:$

$2\times a_i<=a_{i+1}$前后一样,中间$0001$

$T3$随机立方体

有一个$n\times m\times l$的立方体,在每个格子上随机填数使得最后每个数都恰好出现一次

极大数就是这个数在本行本列本高度都是最大的数就是极大数

询问恰好出现$k$个极大数的概率

开始推式子

恰好起步,以示尊敬

恰好比较难处理,那么还是搞成至少有多少然后搞一个二项式反演(很套路了)

还是设$f[i]$为恰好有$i$个的方案数,$F[i]$为至少有$i$个的方案数

经典二项式

$F[i]$是钦定$i$个的方案数

$F[i]=\sum_{j}C(j,i)f[j]$

经典比被他多的算了这些次,然后经典的二项式反演

$f[i]=\sum_{j}(-1)^{j-i}C(j,i)F[j]$

我们只需要求$F[i]$就好了(当然也不好求)

几个性质$:$

最多不会超过$min(n,m,l)$极大的数,较为显然

每个极大数不可能存在重合的任意一维,较为显然

若至少存在$i$个极大数,那么我们有$i$行/列/高被限制

极大数只和相对大小关系有关,和本身数字大小无关,也就是说我们已经填完让极大数满足的那些行/列/高之后,其余的可以随便填了,即$(x-i)(y-i)(z-i)$的排列数

我们只需要填的时候选出最大的肯定能构造出方案了

$F[i]=(n^{\underline{i}}m^{\underline{i}}l^{\underline{i}})\times((nml)^{\underline{(n-i)(m-i)(l-i)}})\times g[i]$

首先我们要挑出$i$个三维不同的方案数,第二个是其余的排列,最后一个是使其满足条件的排列方案数

其实我们无非都是挑出$i$个,那么$g$必然是一样的

首先.最大的数必然是一个极大数,较为显然,那么其实没有什么限制,直接选就好了,越往后限制越大,也就是只能选最大的了,较为显然

尝试写出$g$的数值

$69^\underline{9},59^\underline{11},47^\underline{13},33^\underline{13}$