群论
群论
代数结构（algebraic structure）
对于一个非空集合 \(G\)，和定义在 \(G\) 上的若干二元运算 \(\{f_1,f_2,\dots,f_n\}\)，满足封闭性，则 \((G,f_1,f_2,\dots,f_n)\) 是一个代数结构。
群的基本概念
设 \(G\) 是一些元素（操作）的集合，记为 \(G=\{\cdots,g\cdots\}\)。在 \(G\) 中定义一乘法运算，如果 \(G\) 中的元素满足以下四个条件：
- 封闭性：\(\forall f,g\in G\)，满足 \(f\cdot g\in G\)。
- 结合律：\(\forall f,g,h\in G\)，有 \((f\cdot g)\cdot h=f\cdot(g\cdot h)\)。
- 存在单位元：\(\exists e\in G\)，满足 \(\forall a\in G,e\cdot a=a\cdot e=a\)。
- 可逆性：对于每个元素 \(f\in G\)，\(\exists f'\in G\)，使 \(f\cdot f'=f'\cdot f=e\)。
我们称 \(G\) 是一个群，记为 \((G,\cdot)\) 或 \(G\)。以上四条称为群的公理。
\(e\) 称为单位元或幺元、恒元，有时也记为 \(1\)。
\(f'\) 记为 \(f^{-1}\) 或 \(\frac 1 f\)，称为 \(f\) 的逆元。
例如 \((Z_p^*,\times)\)，\((Z,+)\) 就是群。
群 \((G,\cdot)\) 中的元素个数称为群的阶，记为 \(\lvert G \rvert\)。
-
若代数结构 \((G,\cdot)\) 满足封闭性，结合律性质，则称 \((G,\cdot)\) 是一个半群。
-
若半群 \((G,\cdot)\) 满足单位元性质，则称 \((G,\cdot)\) 是一个幺半群。
-
如果群 \((G,\cdot)\) 满足交换律（\(f\cdot g=g\cdot f\)），则称为交换群或阿贝尔群。
群的性质
定理一
群里的单位元是唯一的。
群里只有一个元素时，成为平凡群。唯一的元素就是单位元。
定理二
每个元素只有唯一的逆元。
消去律
阿贝尔群
定义
如果对于群 \(G\) 中的任意元素 \(a,b\in G\)，都有 \(a*b=b*a\)，则称 \(G\) 为阿贝尔群（abelian group）。又称交换群（commmutative group）。
性质
定理一
群 \(G\) 是阿贝尔群，当且仅当 \(\forall a,b\in G\)，有 \((a*b)^2=a^2*b^2\)。
定理二
\(G\) 是阿贝尔群，\(\forall a,b\in G\)，有 \((a*b)^t=a^t*b^t\)。
子群
定义
设 \((G,*)\) 是群，\(H\) 是 \(G\) 的非空子集，如果 \((H,*)\) 是一个群，则称 \((H,*)\) 是 \((G,*)\) 的子群（subgroup）。
平凡子群：\((\{e\},*)\)，\((G,*)\)
非平凡子群（真子群）：\((H,*)\) 且 \(H\neq\{e\},G\)。
性质
定理一
\(H\) 是群 \(G\) 的子群，\(e\in G\) 是单位元，则 \(e\) 也是子群 \(H\) 的单位元。
定理二
\(H\) 是群 \(G\) 的子群，\(a\in H\)，则 \(a^{-1}\in H\)。
判断子群
定理一
\(H\) 是 \(G\) 的非空子集，对于任意 \(a,b\in H\)，都有 \(a*b^{-1}\in H\)，则 \(H\) 是 \(G\) 的子群。
定理二
\(H\) 是 \(G\) 的非空子集，如果 \(H\) 是有限集，且 \(G\) 的运算 \(*\) 在 \(H\) 上满足封闭性，则 \(H\) 是 \(G\) 的子群。
子群的构造
阿贝尔群
定理一
\(G\) 是阿贝尔群，\(m\in Z\)，则 \(G^m:=\{a^m\mid a\in G\}\) 是 \(G\) 的子群。
证明：
\(a,b\in G\)，则 \(a^m,b^m\in G^m\)。
\(a^m*(b*m)^{-1}=a^m*(b^{-1})^m=(a*b^{-1})^m\in G^m\)。
\((Z_p^*)^2\) 是 \(Z_p^*\) 的子群。
\((Z_p^*)^m\) 是 \(Z_p^*\) 的子群。
\((Z,+)\)，\(mZ=\{mz\mid z\in Z\}=\{0,\pm m,\pm2m,\dots\}\)。
\((Z_n,+)\)，\(mZ_n=\{mz \bmod n\mid z\in Z\}\)。
定理二
\(G\) 是阿贝尔群，\(m\in Z\)，则 \(G\{m\}=\{a\in G\mid a^m =e\}\) 是 \(G\) 的子群。
证明：
\(a,b\in G\) 且 \(a^m=b^m=e\)，则 \(a,b\in G\{m\}\)。
\((a*b^{-1})^m=a^m*(b^{-1})^m=a^m*(b^m)^{-1}=e*e=e\)。
\(a*b^{-1}\in G\{m\}\)。
\((Z_n,+)\)，\(Z_n\{m\}=\{z\in Z_n\mid mz\bmod n=0\}\)。
设 \(d=\gcd(n,m)\)。
则 \(Z_n\{m\}=\{0,\dfrac n d,\dfrac {2n} d,\dots,\dfrac{(d-1)n} d\}=\dfrac n d Z_n=Z_n\{d\}\)。
整数群
定理一
\(H\) 是 \((Z,+)\) 的子群，则存在唯一的非负整数 \(m\)，使得 \(H=mZ\)。
定理二
\(m_1\) 和 \(m_2\) 是非负整数，则 \(m_2\mid m_1\)，当且仅当 \(m_1Z\subseteq m_2Z\)。
定理三
\(H\) 是 \(Z_n\) 的子群。
- 存在 \(n\) 的唯一正因子 \(m\)，使得 \(H=mZ_n\)。
- \(m_1\) 和 \(m_2\) 是 \(n\) 的正因子，则 \(m_2\mid m_1\) 当且仅当 \(m_1Z_n\subseteq m_2Z_n\)。
子群构造子群
定理一
\(H_1\) 和 \(H_2\) 是阿贝尔群 \(G\) 的子群，则 \(H=H_1H_2\) 是 \(G\) 的子群。
证明：
\(H=H_1H_2=\{a_1*a_2\mid a_1\in H_1,a_2\in H_2\}\)。
\(H\) 非空，因为 \(H_1,H_2\) 都是非空的。
对于任意 \(a,b\in H\)，有 \(a=a_1*a_2\)，\(b=b_1*b_2\)，且 \(a_1,b_1\in H_1\)，\(a_2,b_2\in H_2\)。
则 \(a*b^{-1}=(a_1*a_2)*(b_1*b_2)^{-1}=(a_1*b_1^{-1})*(a_2*b_2^{-1})\in H\)。
扩展
\(H_1,H_2,\dots,H_n\) 是阿贝尔群 \(G\) 的子群，则 \(H=H_1H_2\dots H_n\) 是 \(G\) 的子群。
定理二
\(H_1\) 和 \(H_2\) 是群 \(G\) 的子群，则 \(H_1\cap H_2\) 也是 \(G\) 的子群。
扩展
\(H_1,\dots,H_2\) 是群 \(G\) 的子群，则 \(H_1\cap\dots\cap H_n\) 也是 \(G\) 的子群。
定理三
\(H_1\) 和 \(H_2\) 是群 \(G\) 的非平凡子群，则 \(G\neq H_1\cup H_2\)。
证明：
设 \(a\not\in H_1\)，\(b\not\in H_2\)。
则 \(a\in H_2\)。
设 \(c=a*b\in H_2\)，则 \(a=c*b^{-1}\)。
则 \(a\in H_1\)，矛盾。
所以 \(a*b\not\in H_1\)。
同理，\(a*b\not\in H_2\)。
因此，\(a*b\not\in H_1\cup H_2\)。
得 \(a*b\not\in G\)，得证。
陪集（coset）
定义
\(H\) 是群 \(G\) 的子集，\(a\in G\)，则 \(aH:=\{a*h\mid h\in H\}\) 称为 \(H\) 关于 \(a\) 在 \(G\) 中的左陪集（left cost）。
同理，\(Ha:=\{h*a\mid h\in H\}\) 称为 \(H\) 关于 \(a\) 在 \(G\) 中的右陪集（right cost）。
如果 \(aH=Ha\)，称为 \(H\) 关于 \(a\) 在 \(G\) 中的陪集 \([a]_H\)。
\(a\) 称为代表元（representative）。
性质
性质一
\(a\in[a]_H\)。
性质二
-
平凡陪集：\([e]_H=H\)。
-
\(a\in H\Leftrightarrow [a]_H=H\)。
性质三
\([a]_H=[b]_H\Leftrightarrow a^{-1}*b\in H\)。
证明：
\[b=a*h\\ a^{-1}*b=h\\ a^{-1}*b\in H \]
性质四
子群可以把群划分成若干不交陪集。单位元在平凡陪集中。
定义 \(a\equiv b\pmod H\) 二元关系，表示 \(a\) 和 \(b\) 在同一个，由 \(H\) 构造的陪集中。
则
满足自反性 \(a\equiv a\pmod H\)，对称性 \(a\equiv b\pmod H\Rightarrow b\equiv a\pmod H\)，传递性 \(a\equiv b\pmod H,b\equiv c\pmod H\Rightarrow a\equiv c\pmod H\)。则 \(\cdot\equiv\cdot\pmod H\) 是等价关系。
性质五
任意两个陪集 \([a]_H\) 和 \([b]_H\) 之间存在双射。
任意陪集 \([a]_H\) 和子群 \(H\) 是等势的。
拉格朗日定理（Lagrange theorem）
\(G\) 是有限群，\(H\) 是 \(G\) 的任意子群，则 \(\vert H\vert \mid \vert G\vert\)。
正规子群（normal subgroup）
定义
设 \(N\) 是群 \(G\) 的子群，如果 \(\forall a\in G\)，都有 \(aN=Na\)，则称 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群。
商群（quotient group）
定义
集合 \(G/N:=\{[a]_N\mid a\in G\}\)。
定义二元运算 \([a]_N*[b]_N:=[a*b]_N\)。
\((G/N,*)\) 是一个群，叫做群 \(G\) 在模 \(N\) 意义下的商群，\(N\) 是单位元。
\([G:N]\) 表示商群 \(G/N\) 的阶。
定理
定理一
\(G\) 是有限群，\(N\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \([G:N]=\frac {\vert G\vert} {\vert H\vert}\)。
定理二
\(G\) 是有限群，\(N\) 是 \(G\) 的正规子群，\(K\) 是 \(N\) 的正规子群，则 \([G:K]=[G:N][N:K]\)。
阿贝尔群
性质一
\(H\) 是阿贝尔群 \(G\) 的子群，对于 \(\forall a \in G\)，有 \(aH=Ha\)。
性质二
阿贝尔群的子群都是正规子群。
性质三
阿贝尔群的任意子群都可以构造商群。
性质四
阿贝尔群的子群构造的商群也是阿贝尔群。
群同态（group homomorphism）
定义
设群 \((G,*)\) 和群 \((G',\otimes)\)，如果函数 \(f:G\to G'\)对于 \(\forall a,b\in G\)，都有 \(f(a*b)=f(a)\otimes f(b)\)，则称 \(f\) 是 \((G,*)\) 到 \((G',\otimes)\) 的群同态。
同态像（homomorphic image）：\(\text{Im} f:=f(G):=\{f(a)\mid a\in G\}\)
同态核（homomorphic kernel）：\(\text{Ker} f:=\{a\in G\mid f(a)=e'\}\)
嵌入映射（inclusion map）：子群到群的嵌入映射是群同态。
自然映射（natural map）：\(N\) 是 \(G\) 的正规子群，\(f:G\to G/N\)，\(f(a)=[a]_N\)。
\(m\) 次方映射（m-power map）：\(G\) 是阿内尔群，\(f:G\to G\)，\(f(a)=a^m\)。
\(f\) 是单射，为单一同态。
\(f\) 是满射，为满同态。
性质
性质一
性质二
性质三
\(H\) 是 \(G\) 的子群则 \(f(H)\) 是 \(G'\) 的子群。
扩展：\(H:=G\)，则 \(f(G)=\text{Im}f\)。同态像 \(\text{Im} f\) 是 \(G'\) 的子群。
性质四
\(H'\) 是 \(G'\) 的子群，则 \(f^{-1}(H')\) 是 \(G\) 的子群。
扩展：\(H':=\{e'\}\)，则 \(f^{-1}(H')=f^{-1}(\{e'\})=\text{Ker} f\)。同态核 \(\text{Ker} f\) 是 \(G\) 的子群。
性质五
群同态的复合
\(f\) 是 \((G,*)\) 到 \((G',\otimes)\) 的群同态，\(f'\) 是 \((G',\otimes)\) 到 \((G'',\oplus)\) 的群同态，则 \(f\) 和 \(f'\) 的复合 \(f'\circ f:G\to G''\) 也是群同态。
置换群
定义
置换
一个有限集合 \(S\) 到自身的双射（即一一对应）称为 \(S\) 的一个置换。集合 \(S=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 上的置换可以表示为
其中 \(p_1,p_2,\dots,p_n\) 是一个全排列。
对于两个置换 \(f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\end{pmatrix}\) 和 \(g=\begin{pmatrix}a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\\a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}\end{pmatrix}\)，\(f\) 和 \(g\) 的乘积记为 \(g\circ f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}\end{pmatrix}\)。
置换群
集合 \(S\) 上的所有置换关于置换的乘法满足封闭性、结合律、有单位元（恒等置换，即每个元素映射成它自己）、有逆元（交换置换表示中的上下两行），因此构成一个群。这个群的任意一个子群即成为置换群。
循环置换
循环置换可表示为
若两个循环置换不含有相同的元素，则称它们是不相交的。
任意一个置换都可以分解成若干不相交的循环置换的乘积。例如：
Burnside 引理
定义
设 \(A\) 和 \(B\) 为有限集合，\(X\) 为一些从 \(A\) 到 \(B\) 的映射组成的集合。
\(G\) 是 \(A\) 上的置换群，且 \(X\) 中的映射在 \(G\) 中的置换作用下封闭。
证明
轨道稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）
\(\forall x \in X,G^x=\{g \mid g(x) = x, g \in G\},G(x) = \{g(x) \mid g \in G\}\)，其中 \(G^x\) 称为 \(x\) 的稳定子，\(G(x)\) 称为 \(x\) 的轨道，有
证明：
\(G^x\) 是 \(G\) 的子群，根据拉格朗日定理，可得
其中，\([G : G^x]\) 为 \(G^x\) 不同的左陪集个数。需要证明 \(\lvert G(x) \rvert = [G : G^x]\)。
令 \(\varphi (g(x)) = gG^x\)，证明 \(\varphi\) 是双射。
若 \(g(x)=f(x)\)，两边同时左乘 \(f^{-1}\)，可得 \(f^{-1} \circ g(x) = I(x) = x\)，所以 \(f^{-1} \circ g \in G^x\)，那么 \((f^{-1} \circ g) G^x = G^x\)，即 \(gG^x = fG^x\)。
反过来可证，若 \(gG^x=fG^x\)，则有 \(g(x)=f(x)\)。
Burnside 引理证明
所以有
Pólya 定理
定理
若 \(X\) 为所有从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，则
其中，\(c(g)\) 表示 \(g\) 能拆分成的不相交的循环置换的数量。
证明
\(g(x) = x\) 的充要条件是 \(x\) 将 \(g\) 中每个循环置换的元素都映射到了 \(B\) 中的同一元素，所以 \(\lvert X^g \rvert = \lvert B \rvert ^{c(g)}\)。
