微积分甲II期末复习 - 补充内容（含参积分，广义重积分，Fourier级数）

期末题型

1. 多元微分/隐函数定理 定理默写或应用
2. 条件极值
3. 不规则区域重积分（可能是反常重积分）
4. 曲线/曲面积分
5. green/gauss 的带奇点版本（挖掉一个洞那种）
6. 含参积分 收敛性证明/求值
7. Fourier级数 收敛性的定理/最佳平方逼近的定理
8. 场论？？？不会

历年题

1. （出了两次）求第二类曲面积分

   $$J={\int }_S\frac{x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma }{(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2{)}^{\frac{3}{2}}}dS$$

   其中 $n=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是曲面 $S$ 在任一点处的单位法向量。

   • $S$ 是不包含原点的闭合曲面

     由高斯公式，因为 $F(x,y,z)={\displaystyle \frac{(x,y,z)}{(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2{)}^{\frac{3}{2}}}}$ 在 $S$ 内部（记作 $V$）连续可微，所以

     $$J={\int }_V\frac{(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)-3a{x}^2+(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)-3b{y}^2+(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)-3c{z}^2}{(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2{)}^{\frac{5}{2}}}=0.$$

   • $S$ 是包含原点的闭合曲面

     取 $\mathrm{\Omega }=V\mathrm{\setminus }B$，其中 $B=\{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2\le {ϵ}^2\}$，则 $f$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 内连续可微。同上一问可知 ${\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}F\cdot dS=0$。因此

     $$\begin{array}{rl}J=& {\int }_{\partial B}F\cdot dS\\ =& {\int }_{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2={ϵ}^2}\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{{ϵ}^2}\\ =& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\sqrt{abc}{\sin }^3\phi {\cos }^2\theta +\sqrt{abc}{\sin }^3\phi {\sin }^2\theta +\sqrt{abc}{\cos }^2\phi \sin \phi d\phi d\theta \\ =& 2\pi \sqrt{abc}\cdot {\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi \\ =& 4\pi \sqrt{abc}\end{array}$$

   三维极坐标做曲面积分时的常用公式：

   第一类：$EG-F^2=R$

   第二类：$y_{\phi }{z}_{\theta }-z_{\phi }{y}_{\theta }=R^2{\sin }^2\phi \cos \theta ,z_{\phi }{x}_{\theta }-x_{\phi }{z}_{\theta }=R^2{\sin }^2\phi \sin \theta ,x_{\phi }{y}_{\theta }-y_{\phi }{x}_{\theta }=R^2\sin \phi \cos \phi$。

2. 求第二类曲线积分

   $${\int }_L(y^2+z^2)dx+(x^2+z^2)dy+(x^2+y^2)dz$$

   其中 $L$ 是平面 $x+y+z=a$ 与三个坐标轴的交点，从 $(1,1,1)$ 看去是逆时针方向。

   由斯托克斯公式，

   $$J={\int }_T(2y-2z)dydz+(2z-2x)dzdx+(2x-2y)dxdy$$

   其中 $T=\{x+y+z=a,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}$。

   因为 $T$ 的单位法向为 $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$，所以

   $$J={\int }_T(2y-2z+2z-2x+2x-2y)\cdot (\pm \frac{1}{\sqrt{3}})dS=0.$$

3. 求积分

   $${\int }_V{z}^{2}dxdydz$$

   其中 $V=\{x^2+y^2+z^2\le R^2,x^2+y^2+z^2\le 2Rz\}$

   $V$ 是球面与抛物面的交，且二者交线为 $x^2+y^2={\displaystyle \frac{3}{4}}{R}^2,z={\displaystyle \frac{R}{2}}$。因此积分区域可分为两半

   $$\begin{array}{rl}J=& J_1+J_2\\ =& {\int }_{V_1}{z}^{2}dxdydz+{\int }_{V_2}{z}^{2}dxdydz\\ =& {\int }_{x^2+y^2+z^2\le 2Rz,z\le \frac{R}{2}}{z}^{2}dxdydz+{\int }_{x^2+y^2+z^2\le R^2,z\ge \frac{R}{2}}{z}^{2}dxdydz\\ =& {\int }_0^{\frac{R}{2}}{\int }_0^{\sqrt{2Rz-z^2}}{\int }_0^{2\pi }{z}^{2}d\theta drdz+{\int }_{\frac{R}{2}}^R{\int }_0^{\sqrt{R^2-z^2}}{\int }_0^{2\pi }{z}^{2}d\theta drdz\\ =& 2\pi ({\int }_0^{\frac{R}{2}}{z}^2\sqrt{2Rz-z^2}dz+{\int }_{\frac{R}{2}}^R{z}^2\sqrt{R^2-z^2}dz)\end{array}$$
   $$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\frac{R}{2}}{z}^2\sqrt{2Rz-z^2}dz\\ =& {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(R-R\cos t{)}^{2}R\sin td(R-R\cos t)\\ =& {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(R-R\cos t{)}^2{R}^2{\sin }^{2}tdt\\ =& R^4({\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\sin }^{2}tdt-2{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\cos t{\sin }^{2}tdt+{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\cos }^{2}t{\sin }^{2}tdt)\\ =& R^4(\frac{5t}{8}-\frac{\sin 2t}{4}-\frac{2}{3}{\sin }^{3}t-\frac{\sin 4t}{32}){|}_0^{\frac{\pi }{3}}\\ =& (\frac{5\pi }{24}-\frac{23}{64}\sqrt{3})R^4\end{array}$$
   $$\begin{array}{rl}& {\int }_{\frac{R}{2}}^R{z}^2\sqrt{R^2-z^2}dz\\ =& {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}(R\sin t{)}^{2}R\cos td(R\sin t)\\ =& R^4{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt\\ =& R^4(\frac{t}{8}-\frac{\sin 4t}{32}){|}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\\ =& (\frac{\pi }{24}+\frac{\sqrt{3}}{64})R^4\end{array}$$

   所以 $J=({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{11}{16}}\sqrt{3})\pi R^4$

含参积分

含参正常积分

1. 含参正常积分的形式

   $$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,t)dt$$

2. 含参正常积分的连续性

   $f$ 在 $G(a,b)=\{a\le x\le b,c(x)\le t\le d(x)\}$ 上连续，则 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续。

3. 含参正常积分的可微性（求导与积分换序）

   $f$ 在包含 $G(a,b)$ 的开集上可微，$c,d$ 可微，则 $F$ 在 $[a,b]$ 上可微且

   $$F^{\prime }(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}{f}_x(x,t)dt+f(x,d(x))d^{\prime }(x)-f(x,c(x))c^{\prime }(x).$$

4. 含参正常积分的可积性（累次积分可换序的条件）

   $f$ 在 $[a,b]\times [c,d]$ 上连续，则 $F(x)={\int }_c^{d}f(x,t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可积，且

   $${\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,t)dt={\int }_c^{d}dt{\int }_a^{b}f(x,t)dx.$$

例 1 利用

$$I(\alpha )={\int }_0^1\frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^2}dx$$

其中 $\alpha \in [0,1]$，计算 $I(1)$。

这类积分一般无法用初等方法直接积出来，普遍的方法是先对参数 $\alpha$ 求导得到 $I^{\prime }(\alpha )$（一般这是一个可以直接求的积分），然后再 $I(\alpha )=I(0)+{\int }_0^{\alpha }{I}^{\prime }(s)ds$。

解：对被积函数求导得

$$\frac{d}{d\alpha }\frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^2}=\frac{x}{(1+\alpha x)(1+x^2)}$$

在 $[0,1]$ 连续，因此 $I$ 连续可微。所以

$$I^{\prime }(\alpha )={\int }_0^1\frac{x}{(1+\alpha x)(1+x^2)}dx=\frac{2\ln 2-4\ln (1+\alpha )+\pi \alpha }{4({\alpha }^2+1)}$$

$$\begin{array}{rl}I(1)=& I(0)+{\int }_0^1\frac{2\ln 2-4\ln (1+\alpha )+\pi \alpha }{4({\alpha }^2+1)}\\ =& \frac{\pi }{4}{\int }_0^1\frac{\alpha }{{\alpha }^2+1}d\alpha +\frac{\ln 2}{2}{\int }_0^1\frac{1}{{\alpha }^2+1}d\alpha -{\int }_0^1\frac{\ln (1+\alpha )}{1+{\alpha }^2}d\alpha \\ =& \frac{\pi }{8}\ln 2+\frac{\pi }{8}\ln 2-I(1)\end{array}$$

因此 $I(1)={\displaystyle \frac{\pi }{8}}\ln 2$。

含参反常积分

5. 形式（以上限无穷积分为例）

   $$F(x)={\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$$

6. 含参反常积分的一致收敛性

   设 $f(x,t)$ 定义在无界区域 $[a,b]\times [c,\mathrm{\infty })$ 上，且存在 $F(x)$ 使得

   $$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N>c,s.t.\mathrm{\forall }M>N,\mathrm{\forall }x\in [a,b],|{\int }_c^{M}f(x,t)dt-F(x)|<ϵ$$

   则称反常积分 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $F(x)$。

7. 一致收敛的证明方法

   1. Cauchy 准则

      一致收敛等价于

      $$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N>c,s.t.\mathrm{\forall }N<M_1<M_2,\mathrm{\forall }x\in [a,b],|{\int }_{M_1}^{M_2}f(x,t)dt|<ϵ.$$

      再令 $M_2\to \mathrm{\infty }$，上式又等价于

      $$\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim}\underset{x\in [a,b]}{sup}|{\int }_N^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt|=0.$$

   2. Weierstrass $M$ 判别法

      设函数 $g(t)$ 满足

      $$|f(x,t)|\le g(t),\mathrm{\forall }x\in [a,b],\mathrm{\forall }t\in [c,\mathrm{\infty })$$

      且 ${\int }_c^{+\mathrm{\infty }}g(t)dt$ 收敛，则 ${\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。

   3. Abel判别法

      • ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛
      • $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，$g(x,t)$ 关于 $t$ 单调，且 $g(x,t)$ 在 $x\in [a,b]$ 上一致有界

      则 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)g(x,t)dt$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。

   4. Dirichlet 判别法

      • 对任意 $N>c$，${\int }_c^{N}f(x,t)dt$ 在 $[a,b]$ 上一致有界
      • $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，$g(x,t)$ 关于 $t$ 单调递减，当 $t\to \mathrm{\infty }$ 时 $g(x,t)$ 在 $x\in [a,b]$ 上一致收敛于 $0$

   5. 不一致收敛的判定：取 $\{x_n\}\subset [a,b]$ 和 $t_n\to \mathrm{\infty }$，若 $|F(x_n)-{\int }_c^{t_n}f(x_n,t)dt|\nrightarrow 0$，则 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)$ 在 $[a,b]$ 上不一致收敛于 $F(x)$。

8. 内闭一致收敛：设 $f(x,t)$ 定义在 $(a,b)\times [c,\mathrm{\infty })$ 上，且对任意 $[a^{\prime },b^{\prime }]\subset (a,b)$，${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $x\in [a^{\prime },b^{\prime }]$ 上一致收敛，则称 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $(a,b)$ 上内闭一致收敛。

9. 含参反常积分的连续性

   设 $I$ 是区间（端点处开闭均可），若

   • $f(x,t)$ 在 $I\times [c,\mathrm{\infty })$ 上连续
   • ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $x\in I$ 上（内闭）一致收敛

   则 $F(x)={\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $x\in [a,b]$ 上连续。

10. 含参反常积分的可微性（求导与积分换序）

    • $f(x,t)$ 在 $I\times [c,\mathrm{\infty })$ 上连续
    • ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $x\in I$ 上收敛
    • ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}{f}_x(x,t)dt$ 在 $x\in I$ 上（内闭）一致收敛

    则 $F(x)={\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $I$ 上可微且 $F^{\prime }(x)={\int }_c^{\mathrm{\infty }}{f}_x(x,t)dt$。

11. 含参反常积分的可积性（累次积分换序）

    • $f(x,t)$ 在 $[a,b]\times [c,\mathrm{\infty })$ 上连续
    • ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $x\in [a,b]$ 上一致收敛

    则 $F(x)={\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可积，且

    $${\int }_a^{b}dx{\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt={\int }_c^{\mathrm{\infty }}dt{\int }_a^{b}f(x,t)dx.$$

12. 积分区间均为无穷的累次积分换序

    • $f(x,t)$ 在 $[a,\mathrm{\infty })\times [c,\mathrm{\infty })$ 上连续
    • ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 在 $x\in [a,\mathrm{\infty })$ 上内闭一致收敛
    • ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dx$ 在 $t\in [c,\mathrm{\infty })$ 上内闭一致收敛
    • ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}dx{\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt$ 和 ${\int }_c^{\mathrm{\infty }}dt{\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dx$ 至少一个收敛

    则

    $${\int }_a^{\mathrm{\infty }}dx{\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dt={\int }_c^{\mathrm{\infty }}dt{\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x,t)dx$$

例 2 证明

$$F(\alpha )={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x}{x^{\alpha }}dx$$

在 $\alpha \in (0,\mathrm{\infty })$ 连续。

先证内闭一致收敛性（看到开区间一般一致收敛是错的而且也不用证），再由被积函数连续直接得到积分连续。

证明：

${\displaystyle \frac{\cos x}{x^{\alpha }}}$ 在 $(0,\mathrm{\infty })\times [1,\mathrm{\infty })$ 上连续。

任取 ${\alpha }_0>0$，当 $\alpha \ge {\alpha }_0$ 时，

• $|{\int }_1^N\cos xdx|\le 2$，所以 ${\int }_1^N\cos xdx$ 有界，即一致有界；
• 对任意 $ϵ>0$，取 $M={ϵ}^{-1/{\alpha }_0}$，则对任意 $x>M$，${\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha }}}<{\displaystyle \frac{1}{M^{{\alpha }_0}}}<ϵ$ 且单调递减。即 ${\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha }}}$ 一致单调收敛于 $0$。

由 Dirichlet 判别法，${\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos x}{x^{\alpha }}}dx$ 在 $\alpha \in [{\alpha }_0,\mathrm{\infty })$ 上一致收敛。即在 $\alpha \in (0,\mathrm{\infty })$ 上内闭一致收敛。

因此 $F(\alpha )$ 在 $(0,\mathrm{\infty })$ 上连续。

例 3 证明反常积分

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin xy}{y}dy$$

在 $[\delta ,\mathrm{\infty })$ 一致收敛，在 $(0,\mathrm{\infty })$ 上不一致收敛。

证明：

${\displaystyle \frac{\sin xy}{y}}$ 在 $(0,\mathrm{\infty })\times (0,\mathrm{\infty })$ 上连续。

任取 $\delta >0$，当 $x\ge \delta$ 时，

• $|{\int }_0^N\sin xydy|\le {\displaystyle \frac{2}{\delta }}$，所以 ${\int }_0^N\sin xydy$ 一致有界；
• 对任意 $ϵ>0$，取 $M={\displaystyle \frac{1}{ϵ}}$，则对任意 $y>M$，${\displaystyle \frac{1}{y}}<{\displaystyle \frac{1}{M}}<ϵ$ 且单调递减。即 ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ 一致单调收敛于 $0$。

由 Dirichlet 判别法，${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin xy}{y}}dy$ 在 $x\in [\delta ,\mathrm{\infty })$ 上一致收敛。

下证不一致收敛。取 $ϵ=1$，$x_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$，$y_n=n$，则

$${\int }_0^n{\displaystyle \frac{\sin \frac{1}{n^2}y}{y}}dy<{\int }_0^n{\displaystyle \frac{\frac{y}{n^2}}{y}}dy=\frac{1}{n}$$

即 ${\int }_0^{y_n}{\displaystyle \frac{\sin x_{n}y}{y}}\to 0$。然而 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin xy}{y}}dy={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，因此反常积分不一致收敛。

例 4 判断积分

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\alpha }{x^2+{\alpha }^2}dx$$

在 $\alpha >0$ 上的一致收敛性（一致收敛？内闭一致收敛？不收敛？）

这种题基本上肯定是内闭。

证明：

$$F(\alpha )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha }{x^2+{\alpha }^2}dx=\frac{1}{\alpha }\arctan \frac{x}{\alpha }{|}_0^{\mathrm{\infty }}=\frac{\pi }{2\alpha }.$$

对任意 $\delta >0$，当 $\alpha \ge \delta$ 时，

任取 $ϵ>0$，取 $M=\delta \cot (ϵ\delta )$，则

$$|F(\alpha )-{\int }_0^M\frac{\alpha }{x^2+{\alpha }^2}dx|=\frac{1}{\alpha }\arctan \frac{x}{\alpha }{|}_M^{\mathrm{\infty }}<\frac{1}{\delta }\arctan \frac{x}{\delta }{|}_M^{\mathrm{\infty }}=ϵ.$$

因此内闭一致收敛。

另一方面，取 $x_n=n,{\alpha }_n=\frac{1}{n}$，则

$${\int }_0^{x_n}\frac{{\alpha }_n}{x^2+{\alpha }_n^2}dx=n\arctan \frac{n}{x}{|}_0^n=\frac{n\pi }{4}$$

而 $F({\alpha }_n)={\displaystyle \frac{n\pi }{2}}$。因此不一致收敛。

例 5 计算积分（可以用 Euler 积分 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$）

$$I(\alpha )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\cos \alpha xdx$$

和例 1 一样做。注意求导前要先证明可导（证明导函数的积分一致收敛）

证明：$e^{-x^2}\cos \alpha x$ 在 $(0,\mathrm{\infty })\times (0,\mathrm{\infty })$ 上收敛。

$$\frac{d}{d\alpha }{e}^{-x^2}\cos \alpha x=-x{e}^{-x^2}\sin \alpha x$$

$|{\int }_0^{\mathrm{\infty }}-x{e}^{-x^2}\sin \alpha x|\le {\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x^2}=\frac{1}{2}$，故导数的积分一致收敛，因此 $F$ 可导，且

$$\begin{array}{rl}{I}^{\prime }(\alpha )=& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}-x{e}^{-x^2}\sin \alpha xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin \alpha xd{e}^{-x^2}\\ =& \frac{1}{2}(\sin \alpha x{e}^{-x^2}{|}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}d\sin \alpha x)\\ =& -\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\alpha \cos \alpha xdx=-\frac{\alpha }{2}I(\alpha ).\end{array}$$

即 $I$ 满足常微分方程 $I^{\prime }(\alpha )=-\frac{\alpha }{2}I(\alpha )$，解得

$$I(\alpha )=e^{-{\alpha }^2}I(0)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-{\alpha }^2}$$

$\mathrm{\Gamma }$ 函数

13. $\mathrm{\Gamma }$ 函数

    $$\mathrm{\Gamma }(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-x}dx,s>0$$

14. $\mathrm{\Gamma }$ 函数的常用性质

    • $\mathrm{\Gamma }$ 在 $(0,\mathrm{\infty })$ 上连续可微
    • $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!,n\in \mathbb{N}$
    • $\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$
    • $\mathrm{\Gamma }(s+1)=s\mathrm{\Gamma }(s)$

15. 余元公式

    $$\mathrm{\Gamma }(s)\mathrm{\Gamma }(1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}$$

16. beta 函数

    $$\text{Beta}(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt,\alpha ,\beta >0$$

17. beta 函数的常用性质

    • $B$ 在 $(0,\mathrm{\infty }{)}^2$ 上连续
    • $B(\alpha ,\beta )=B(\beta ,\alpha )$
    • $B(\alpha ,\beta )={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}}$

18. 与 beta 函数相关的积分

    $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^p\theta {\sin }^q\theta =\frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{q+1}{2})$$

19. $n$ 维球体体积

    $n$ 维球坐标变换：

    $$\begin{array}{rl}{x}_1=& r\sin {\theta }_1\\ x_2=& r\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2\\ x_3=& r\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2\sin {\theta }_3\\ ⋮& \\ x_{n-1}=& r\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2\dots \cos {\theta }_{n-1}\sin {\theta }_{n-1}\\ x_n=& r\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2\dots \cos {\theta }_{n-1}\cos {\theta }_{n-1}\sin {\theta }_{n-1}\\ & r\ge 0,{\theta }_i\in [0,\pi )(i=1,\dots ,n-2),{\theta }_{n-2}\in [0,2\pi )\\ \frac{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}{\partial (r,{\theta }_1,\dots ,{\theta }_{n-1})}=& r^{n-1}{\sin }^{n-2}{\theta }_1{\sin }^{n-3}{\theta }_2\dots \sin {\theta }_{n-2}\end{array}$$
    $$\begin{array}{rl}& V(B(R))\\ =& {\int }_{x_1^2+\cdots +x_n^2\le R^2}1d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n\\ =& {\int }_0^R{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }\dots {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{r}^{n-1}{\sin }^{n-2}{\theta }_1{\sin }^{n-3}{\theta }_2\dots \sin {\theta }_{n-2}drd{\theta }_{1}d{\theta }_2\dots d{\theta }_{n-1}\\ =& {\int }_0^R{r}^{n-1}dr{\int }_0^{\pi }{\sin }^{n-2}{\theta }_{1}d{\theta }_1\dots {\int }_0^{\pi }\sin {\theta }_{n-2}d{\theta }_{n-2}\\ =& \frac{R^n}{n}\cdot B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})\cdot B(\frac{1}{2},\frac{n-2}{2})\cdot \cdots \cdot B(\frac{1}{2},1)\cdot B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ =& \frac{R^n}{n}\prod _{i=1}^{n-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{i}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{i+1}{2})}\\ =& \frac{R^n}{n}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}{)}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}}\\ =& \frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{n\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}\end{array}$$

    注：$n$ 维球坐标变换也可用在其他 $n$ 重积分中，计算方法类似。

反常重积分

无界区域

20. 无界区域上的反常重积分

    设 $f$ 在无界区域 $D$ 上有界，且在可求面积的子区域上可积。定义：

    • $\mathrm{\Gamma }$：一条可求长曲线
    • $D_{\mathrm{\Gamma }}$：$D$ 被 $\mathrm{\Gamma }$ 割去的有界部分
    • $d_{\mathrm{\Gamma }}=inf\{|p|=\sqrt{x^2+y^2}:p=(x,y)\in \mathrm{\Gamma }\}$

    若极限 $I=\underset{d(\mathrm{\Gamma })\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{D_{\mathrm{\Gamma }}}f(x,y)dxdy$ 存在，则称反常重积分收敛，且记

    $${\int }_{D}f(x,y)dxdy=I=\underset{d(\mathrm{\Gamma })\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{D_{\mathrm{\Gamma }}}f(x,y)dxdy$$

    否则称反常重积分发散。

收敛性判定

21. 收敛和绝对收敛等价

    $${\int }_{D}f(x,y)dxdy\mathrm{收}\mathrm{敛}⟺{\int }_D|f(x,y)|dxdy\mathrm{收}\mathrm{敛}$$

    因此，若 $D$ 上的积分收敛，则 $D$ 的子集上的积分也收敛。

22. 积分收敛与级数收敛

    设 $D_1\subset D_2\subset \cdots \subset D_n\subset \dots$ 为 $D$ 的子集列，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d({\mathrm{\Gamma }}_n)=\mathrm{\infty }$，则

    $${\int }_{D}f(x,y)dxdy\mathrm{收}\mathrm{敛}⟺\{{\int }_{D_n}f(x,y)dxdy{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{收}\mathrm{敛}$$

23. 比较判别法

    设 $0\le f(x,y)\le g(x,y),\mathrm{\forall }(x,y)\in P$，则

    $$\begin{array}{r}{\int }_{D}g(x,y)dxdy\mathrm{收}\mathrm{敛}⟹{\int }_{D}f(x,y)dxdy\mathrm{收}\mathrm{敛}\\ {\int }_{D}f(x,y)dxdt\mathrm{发}\mathrm{散}⟹{\int }_{D}g(x,y)dxdy\mathrm{发}\mathrm{散}\end{array}$$

24. p-判别法

    设 $D$ 为用极坐标表示的区域

    $$D=\{(r,\theta )|r\ge a,0\le \theta <2\pi \}$$

    若 存在 $M>0$ 使得在 $D$ 上成立 $|f(x,y)|\le {\displaystyle \frac{M}{r^p}}$，则当 $p>2$ 时 ${\int }_{D}f(x,y)dxdy$ 收敛；

    若 存在 $M>0$ 使得在 $D$ 上成立 $|f(x,y)|\ge {\displaystyle \frac{M}{r^p}}$，则当 $p<2$ 时 ${\int }_{D}f(x,y)dxdy$ 收敛。

    $p=2$ 时转极坐标直接变一元。

    例如 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^3+y^3}dxdy$ 收敛，而 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}}dxdy$ 发散。而 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+y^2}dxdy$ 不能用此法判断，要转极坐标。

25. 变量替换公式

    和重积分的变量替换公式完全一致。设 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ 是连续可微的一一映射（可以在面积为零的子集上不是一一的），则

    $${\int }_{T(D)}f(x,y)dxdy={\int }_{D}f(x(u,v),y(u,v))|J_T(u,v)|dudv.$$

26. 反常重积分的计算

    核心目标就是转成一元积分。

    关于 $x$ 或 $y$ 的积分能直接算出来：直接转累次（例如 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(x+y)}dxdy$

    积分区域为平面、半平面、第一象限：极坐标（例如 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$）

Fourier 级数的收敛性

27. Fourier 级数

    $$\begin{array}{rl}f(x)\sim & \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos nx+b_n\sin nx\\ a_n=& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cos ntdt\\ b_n=& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\sin ntdt\end{array}$$

28. Fourier 级数的部分和公式（需会推导）

    $$\begin{array}{rl}{S}_m(x)=& \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^m{a}_n\cos nx+b_n\sin nx\\ =& \frac{a_0}{2}+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^m{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)(\cos nt\cos nx+\sin nt\sin nx)dt\\ =& \frac{a_0}{2}+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^m{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cos n(t-x)dt\\ =& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)(\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^m\cos n(t-x))dt\\ =& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\frac{\sin \frac{2m+1}{2}(t-x)}{2\sin \frac{t-x}{2}}dt\\ =& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x+t)\frac{\sin \frac{2m+1}{2}t}{2\sin \frac{t}{2}}dt\\ =& \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }(f(x+t)+f(x-t))\frac{\sin \frac{2m+1}{2}t}{2\sin \frac{t}{2}}dt\end{array}$$

    又因为 $\frac{2}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\sin \frac{2m+1}{2}t}{2\sin \frac{t}{2}}dt=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^m\cos nt)=1$，所以 $S_m$ 收敛于 $f(x)$ 等价于

    $$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }(f(x+t)+f(x-t)-f(x))\frac{\sin \frac{2m+1}{2}t}{2\sin \frac{t}{2}}dt=0$$

29. Riemann 引理

    设 $\psi (x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则

    $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b\psi (x)\sin nxdx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b\psi (x)\cos nxdx=0.$$

    进而可得 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$。

30. 设 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上可积且满足以下两个条件之一，则 $f(x)$ 的 Fourier 级数在 $x$ 处收敛于 ${\displaystyle \frac{f(x+)+f(x-)}{2}}$。

    1. （Dirichlet-Jordan）$f(x)$ 在 $x$ 的某邻域 $N(x,\delta )$ 上分段单调有界
    2. （Dini-Lipschitz）$f(x)$ 在 $x$ 的某邻域满足指数为 $\alpha \in (0,1]$ 的 Holder 条件，即存在 $L>0,\alpha \in (0,1],\delta >0$ 使得
    $$|f(x+u)-f(x+)|<L{u}^{\alpha },|f(x-u)-f(x-)|<L{u}^{\alpha },0<u<\delta$$

    连续函数和仅有有限个第一类间断点的函数一定满足上述性质，即 Fourier 级数一定收敛。

Fourier 级数的性质

31. Fourier 级数的逐项可积性：设 $f$ 在 $[a,b]\subset [-\pi ,\pi ]$ 上可积，则

    $${\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^b\frac{a_0}{2}dt+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_a^b(a_n\cos nt+b_n\sin nt)dt=\frac{a_0}{2}(b-a)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n\sin nt-b_n\cos nt}{n}}{|}_a^b$$

    进而可得，${\displaystyle \frac{a_0}{2}}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 是 Fourier 级数的必要条件是 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n}$ 收敛（代入 $t=0$）。这可以证明一些写成级 数不可能成为某个可积函数的 Fourier 级数。例如 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}$。

32. Fourier 级数的逐项可微性：设 $f$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上连续且除有限个点外可导，则

    $$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos nx+b_n\sin nx)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n(-a_n\sin nx+b_n\cos nx)$$

33. $\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots \}$ 是可积函数空间的一组正交基，即任意两个不同函数的内积

    $$⟨f,g⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)g(t)dt$$

    为零；且每个函数的范数

    $$\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}>0.$$

34. 设 $T_m=\text{span}\{1,\cos x,\sin x,\dots ,\cos mx,\sin mx\}$，则 $f$ 在 $T_m$ 上的最佳平方逼近为

    $$\hat{f}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^m{a}_n\cos nx+b_n\sin nx$$

    即对任意的 $g\in T_m$,$\Vert f-g{\Vert }^2={\int }_{-\pi }^{\pi }(f(t)-g(t){)}^{2}dt\ge \Vert f-\hat{f}{\Vert }^2$.

    且逼近的余项为 $\Vert f-\hat{f}{\Vert }^2=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)dx-[\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^m(a_n^2+b_n^2)]\ge 0$.

    进而可得 Bessel 不等式

    $$\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)\le \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)dx.$$

    （证明 Bessel 不等式时把上述过程写下来即可。考过原文默写）

35. Parseval 恒等式：设 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上可积或平方可积，则

    $$\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)dx.$$

    证明：

    $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)dx\\ =& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos nx+b_n\sin nx{)}^{2}dx\\ =& \frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_n{b}_m\cos nx\sin mxdx\\ =& \frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2).\end{array}$$