复分析 个人笔记（期末复习向）

课程教材：《Stein 复分析》，章节、题号均指该教材。

所有定理全文默写且会用！！！

第一章 复分析基本概念

定义

• $z=x+iy=r{e}^{i\theta }$
  • $\mathrm{Re}z=x$：$z$ 的实部
  • $\mathrm{Im}z=y$：$z$ 的虚部
  • $\bar{z}=x-iy$：$z$ 的共轭
  • $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$：$z$ 的模长
• $\arg z=\theta \in [0,2\pi )$：$z$ 的辐角
• 欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$
• 复指数函数 $e^z=e^{x+iy}=e^x\cos y+i{e}^x\sin y$
• 复三角函数 $\cos z={\displaystyle \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\sin z={\displaystyle \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$
• $D(z_0,r)$：以 $z$ 为圆心，$r$ 为半径的开圆盘，即 $D(z_0,r)=\{z:|z-z_0|<r\}$
  • $D_r=D(r)=D(0,r),C_r=\partial D_r$
  • $\mathbb{D}=D(0,1)$：单位圆盘
• $\bar{D}$：区域 $D$ 的闭包
• $\partial D$：区域 $D$ 的边界，逆时针方向
• $[z,w]$：以 $z,w$ 为端点的线段（起点是 $z$）
• $\gamma :z=z(t),t\in [a,b]$：复平面上的一条曲线，$z(a)=z(b)$ 就是闭曲线
• ${\int }_{\gamma }f(z)dz$：曲线积分，${\int }_{\gamma }f(z)dz={\int }_a^{b}f(z(t))z^{\prime }(t)dt=F(z(b))-F(z(a))$（$F$ 为 $f$ 的原函数，即 $F^{\prime }(z)=f(z)$。但是 $F$ 不一定存在）
• 常函数：$f(z)=C$
• 全纯函数（holomorphic function）：$f^{\prime }(z)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ 处处存在。注意只能称一个函数在一个开集上全纯，有边界点的是不可以的。
  • 整函数：在复平面 $\mathbb{C}$ 上全纯的函数
• 单连通区域：任意两条曲线同伦可以简单理解为没有洞的区域

定理 0. Cauchy-Riemann 方程

设 $f$ 在 $z_0$ 全纯，则

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

题

1. $\star$ 给定 $w\in \mathbb{D}$，证明函数 $F(z)={\displaystyle \frac{w-z}{1-\bar{w}z}}$ 满足下列性质：

   • $F:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 且全纯
   • $F(0)=w,F(w)=0$
   • 若 $|z|=1$，则 $|F(z)|=1$
   • $F$ 是双射

   解答：Ex 1.7(b)

2. $\mathrm{♯}$ 设 $f$ 在开集 $\mathrm{\Omega }$ 上全纯，$|f|$ 为常值，证明 $f$ 为常函数。

   解答：Ex 1.13(b)

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第二章 Cauchy 定理及其应用

定理 1. Cauchy 定理（Cauchy's theorem）

设 $f$ 在圆盘 $D$ 上全纯，闭曲线 $\gamma \subset D$，则

$${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

推论 1.

设 $f$ 在包含圆周 $C$ 及其内部的区域上全纯，则

$${\int }_{C}f(z)dz=0.$$

应用

在求积分的时候可以把积分区域补成闭曲线，且满足被积函数在闭曲线里围成的区域中全纯。答案就是另几条边的积分的相反数。

一般积分区域是 $\mathbb{R}$ 都会转成极限然后补成半圆或者矩形，${\mathbb{R}}^{+}$ 补成扇形或者矩形。

选取闭曲线时，另外几条边的积分一般是 $0$ 或很容易计算的实积分。

定理 2. Cauchy 积分公式（Cauchy integral formula）

设 $f$ 在包含圆盘 $D$ 的闭包的一个开集中全纯，$\partial D$ 为 $D$ 的正向边界曲线，则

$$f(z)={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\int }_{\partial D}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta ,\mathrm{\forall }z\in D.$$

推论.

$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{n+1}}d\zeta .$$

定理 3. Cauchy 不等式（Cauchy inequalities）

设 $f$ 在包含圆盘 $D(z_0,R)$ 的一个开集中全纯，则

$$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!\Vert f{\Vert }_{\partial D}}{R^n}.$$

其中 $\Vert f{\Vert }_{\partial D}=\underset{z\in \partial D}{sup}|f(z)|$。

定理 4. Liouville 定理（Liouville's theorem）

设 $f$ 是有界整函数，则 $f$ 是常函数。

定理 5. 解析延拓原则（analytic continuation）

设 $f$ 在区域 $\mathrm{\Omega }$ 上全纯，存在 $z_0\in \bar{\mathrm{\Omega }}$ 和 $\{z_n\}\subset \mathrm{\Omega }$ 满足 $\{z_n\}$ 两两不同且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=z_0$，则 $f=0$。

推论.

设 $f$ 和 $g$ 都在 $\mathrm{\Omega }$ 上全纯且在 $\mathrm{\Omega }$ 的非空开子集 ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ 上相等（或者在一个收敛点列上相等），则 $f(z)=g(z),\mathrm{\forall }z\in \mathrm{\Omega }$。因此如果 $f$ 本身定义在 ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ 上而 $g$ 定义在 $\mathrm{\Omega }$ 上，就可以将 $f$ 的定义拓展到 $\mathrm{\Omega }$。即称 $g$ 为 $f$ 的解析延拓。

复积分的二级结论

• ${\int }_{\partial \mathbb{D}}{z}^{n}dz=0,n\in \mathbb{Z},n\ne -1$

• ${\int }_{\partial \mathbb{D}}{z}^{-1}dz=2\pi i$

• ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

• ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi }{2}$

题

1. $\star$ 证明

   $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin (x^2)dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos (x^2)dx=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}$$

   解答：Ex 2.1

2. $\star$ 证明

   $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}.$$

   解答：Ex 2.2

3. $\star$ 设 $f$ 在带状区域 $\mathrm{\Omega }=\{-1<y<1,x\in \mathbb{R}\}$ 上全纯，且

   $$|f(z)|\le A(1+|z|{)}^{\eta },\eta \in \mathbb{R},\mathrm{\forall }z$$

   证明对任意整数 $n\ge 0$，存在 $A_n\ge 0$ 使得

   $$|f^{(n)}(x)|\le A_n(1+|x|{)}^{\eta },\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$$

   解答：Ex 2.8

4. $\mathrm{♯}$ 计算

$$\begin{array}{r}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ax}\cos bxdx\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ax}\sin bxdx\end{array}$$

​ 解答：Ex 2.3

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第三章 半纯函数和对数函数

定义

• 半纯函数（meromorphic function）：除可数个极点外全纯

• 奇点（singular）：$f$ 不全纯的点

  • 可去奇点（removable singularities）：$|f(z)|\to A(z\to z_0)$，可补充定义 $f(z_0)=A$ 使 $f$ 在 $z_0$ 处全纯（因此不妨假定 $f$ 没有可去奇点）。
  • 极点（poles）：$|f(z)|\to \mathrm{\infty }(z\to z_0)$
    • 单极点（simple pole）：$|f(z)|\to \mathrm{\infty }(z\to z_0),(z-z_0)f(z_0)=A$
    • $m$ 阶极点：$(z-z_0{)}^{m-1}f(z_0)\to \mathrm{\infty }(z\to z_0)$，但 $(z-z_0{)}^{m}f(z_0)=A$
    • $f$ 的 $m$ 阶极点等价于 $\frac{1}{f}$ 的 $m$ 阶零点

• 本性奇点（essential singularities）：对任意 $n$，$(z-z_0{)}^{n}f(z_0)\to \mathrm{\infty }(z\to z_0)$（本章不讨论）

• （$f$ 在奇点 $z_0$ 处的）留数（residue）：将 $f(z)$ 在 $z_0$ 处展开成有理级数（本性奇点 $m=\mathrm{\infty }$）

  $$f(z)=\sum _{n=-m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$$

  记 ${\mathrm{res}}_{z_0}f=a_{-1}$。

• 极点处留数的计算公式：设 $z_0$ 为 $f$ 的 $m$ 阶极点，则

  $${\mathrm{res}}_{z_0}f=\underset{z\to z_0}{lim}\frac{1}{(m-1)!}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}(z-z_0{)}^{m}f(z).$$

  一般只需要用到 $m=1,2$ 的情况：

  $$\begin{array}{rl}m=1,& {\mathrm{res}}_{z_0}f=(z-z_0)f(z){|}_{z=z_0}\\ m=2,& {\mathrm{res}}_{z_0}f=((z-z_0{)}^{2}f(z){)}^{\prime }{|}_{z=z_0}\end{array}$$

• 复对数：多值函数，因为 $\log z=\log (r{e}^{i\theta })=\log r+i\theta$，而 $\theta$ 是多值的。

  • 在不含原点的单连通区域（例如半平面、半圆盘、 $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }(-\mathrm{\infty },0]$ 等）上可以全纯定义。

定理 6. 留数定理（Residue Theorem）

设 $f$ 在包含闭曲线 $\gamma$ 及其内部区域的开集 $\mathrm{\Omega }$ 上半纯，极点为 $z_1,\dots ,z_N$，则

$${\int }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^N{\mathrm{res}}_{z_k}f.$$

应用

比 Cauchy 定理更强的公式，不需要区域内全纯，只需要区域内半纯即可。

但是注意用留数时极点只能落在区域内或者区域外。如果极点在边界上就用不了了。

对区域的选取：

• 同 Cauchy 定理，一般考虑补成半圆计算 $\mathbb{R}$ 上积分或者补成 1/4 扇形计算 ${\mathbb{R}}^{+}$ 上积分。
• 如果积分曲线上存在极点，用一个小圆弧“绕开”它。

对圆弧积分的计算，可以用下面两个引理（可直接使用）：

• 大圆弧引理：设 $f(z)$ 在 $L:z=z_0+\rho e^{i\theta },\theta \in [\alpha ,\beta ]$ 上连续，且 $\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}(z-z_0)f(z)=A$，则 $\underset{\rho \to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{L}f(z)dz=i(\beta -\alpha )A$
• 小圆弧引理：设 $f(z)$ 在 $L:z=z_0+\rho e^{i\theta },\theta \in [\alpha ,\beta ]$ 上连续，且 $\underset{z\to z_0}{lim}(z-z_0)f(z)=A$，则 $\underset{\rho \to 0}{lim}{\int }_{L}f(z)dz=i(\beta -\alpha )A$
• Jordan 引理：设 $f(z)$ 在 $L:z=\rho e^{i\theta },\mathrm{Im}z\ge 0$ 上连续，且 $\underset{z\to \mathrm{\infty },\mathrm{Im}z\ge 0}{lim}f(z)=0$，则 $\mathrm{\forall }\lambda >0,\underset{\rho \to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{L}f(z)e^{\lambda iz}dz=0$。

留数的题

1. $\star$ 证明

   $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx=\pi \frac{e^{-a}}{a},a>0.$$

   解答：Ex 3.3

2. $\star$ 证明

   $${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{a+b\cos \theta }=\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}.$$

   解答：Ex 3.8

3. $\mathrm{♯}$ 证明

   $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(1+x^2{)}^{n+1}}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\pi .$$

   解答：Ex 3.6

4. 计算

   $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x\sin x}{x^2+a^2}dx.$$

   

5. 证明对任意 $c>0$，

   $$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-i\mathrm{\infty }}^{c+i\mathrm{\infty }}\frac{y^s}{s^2}ds=\begin{array}{rlr}& \log y,& y\ge 1,\\ & 0,& 0<y<1.\end{array}$$

   

6. $a>0,\mathrm{Re}(s)>0$，计算

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^s}{x^2+a^2}dx$$

   

（实部等于 1 发散我不确定，可能虚部要满足一些条件才发散。不会证）

定理 7. 辐角原理（Argument Principle）

设 $f$ 在包含闭曲线 $C$ 及其内部区域的开集上半纯，且 $f$ 在 $C$ 上没有零点和极点，则

$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=f\mathrm{在}C\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{的}\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{数}-f\mathrm{在}C\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{的}\mathrm{极}\mathrm{点}\mathrm{数}$$

推论（广义辐角原理）

$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_C{z}^n\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=\sum _{f(z)=0}{z}^n-\sum _{f(z)=\mathrm{\infty }}{z}^n$$

定理 8. Rouche 原理（Rouche's throrem）

设 $f$ 和 $g$ 在包含闭曲线 $C$ 及其内部区域的开集上半纯，且

$$|f(z)|>|g(z)|,\mathrm{\forall }z\in C$$

则 $f$ 和 $f+g$ 在 $C$ 中的零点数相等。

定理 9. 极大模原理（Maximum modulus principle）

设 $f$ 在区域 $\mathrm{\Omega }$ 中全纯且非常值，则 $|f|$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 内部取不到最大值。即

$$|f(z_0)|<\underset{z\in \mathrm{\Omega }}{sup}|f(z)|,\mathrm{\forall }{z}_0\in \mathrm{\Omega }$$

题

1. $\star$ 利用 Cauchy 不等式或极大值原理证明：

   • 若 $f$ 在 $\mathbb{D}$ 内部全纯有界，且在扇形区域 $\theta <\arg z<\phi$ 上当 $|z|\to 1$ 时一致收敛于零，则 $f=0$。
   • 设 $w_1,\dots ,w_n\in \mathbb{D}$， 证明 $\mathrm{\exists }z\in \mathbb{D},\prod _{j=1}^n|z-w_j|\ge 1$。

   解答：Ex 3.15 (b)(c)

2. $\star$ 设 $f,g$ 在包含 $\bar{\mathbb{D}}$ 的区域上全纯且在 $\bar{\mathbb{D}}$ 上只有一个一阶零点 $z=0$。记 $f_{ϵ}(z)=f(z)+ϵg(z)$。证明：当 $ϵ$ 充分小时，有

   • $f_{ϵ}(z)$ 在 $\bar{\mathbb{D}}$ 上只有一个一阶零点
   • 若 $z_{ϵ}$ 是上一问中的零点，则映射 $ϵ\to z_{ϵ}$ 连续。

   解答：Ex 3.16

3. 设 $a>1$，证明 $z{e}^{a-z}=1$ 在 $\mathbb{D}$ 上有且仅有一个根，且为正实数。

   解答：令 $f(z)=z{e}^{a-z},g(z)=-1$，则

   $$|f(z)|=|z{e}^{a-z}|=|z||e^{a-z}|=e^{a-\mathrm{Re}(z)}>e^{a-1}=1,\mathrm{\forall }z\in \partial \mathbb{D}.$$

   因此 $|f|>|g|,\mathrm{\forall }z\in \partial \mathbb{D}$。

   由 Rouche 定理，$z{e}^{a-z}-1=0$ 和 $z{e}^{a-z}=0$ 在 $\mathbb{D}$ 上有相同数量的根。

   显然 $z{e}^{a-z}=0$ 有唯一根 $z=0$，因此 $z{e}^{a-z}-1=0$ 在 $\mathbb{D}$ 上也只有一个根。

   考虑 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)=x{e}^{a-x}$。因为 $f(0)=0<1,f(1)=e^{a-1}>1$，由连续函数的介值定理知 $f(x)=1$ 在 $(0,1)$ 上存在至少一个根。结合前面结论得 $f$ 在 $\mathbb{D}$ 上的唯一根为正实根。证毕。

第五章 整函数的零点和阶数

定义

• 整函数的增长阶（order of growth）：设 $f$ 为整函数，若存在 $\rho >0$ 和 $A,B>0$ 使得 $|f(z)|\le A{e}^{B|z{|}^{\rho }},\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}$，则称 $f$ 的增长阶 $\le \rho$。即记

  $${\rho }_f=inf\{\rho :\mathrm{\exists }A,B>0,\text{s.t.}|f(z)|\le A{e}^{B|z{|}^{\rho }},\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}\}$$

  例如多项式函数的增长阶为 $0$，$e^{z^2}$ 的增长阶为 $2$，$e^{e^z}$ 的增长阶为 $\mathrm{\infty }$。

• 典范因子（canonical factor）：$E_0(z)=1-z,E_k(z)=(1-z)e^{z+z^2/2+\cdots +z^k/k},k\ge 1.$

定理 10. Jensen 公式（Jensen's formula）

设 $\mathrm{\Omega }$ 为包含圆盘 $D_R$ 及其边界的开集，$f$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 上全纯，$f(0)\ne 0$，$f$ 在 $C_R$ 上非零。

若 $z_1,\dots ,z_N$ 是 $f$ 在 $D$ 中的零点（计重数，即 $m$ 重零点会加 $m$ 次），则

$$\log |f(0)|=\sum _{k=1}^N\log \frac{|z_k|}{R}+\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\log |f(R{e}^{i\theta })|d\theta .$$

定理 11. Hardmard 因子分解定理（Hardmard's factorization theorem）

设 $f$ 是增长阶为 ${\rho }_0$ 的整函数，$k=\lfloor {\rho }_0\rfloor$，$\{a_n\}$ 为 $f$ 的全体零点，则

$$f(z)=e^{P(z)}{z}^m\prod _n{E}_k(z/a_n)$$

其中 $P$ 为次数不超过 $k$ 的多项式，$m$ 为 $0$ 的重数。

常用二级结论

$$\pi \cot \pi z=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{z+n}$$

题

1. $\star$ 证明当 $\alpha >1$ 时，$F_{\alpha }(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-|t{|}^{\alpha }}{e}^{2\pi izt}dt$ 是增长阶为 $\frac{\alpha }{\alpha -1}$ 的整函数。

   解答：Ex 5.5

2. $\star$ 求下列函数的 Hardmard 因子分解：

   • $e^z-1$
   • $\cos \pi z$

   解答：Ex 5.10

3. $\star$ 利用 Hardmard 因子分解定理证明：若 $F$ 是整函数且增长阶不是整数，则 $F$ 有无穷多个零点。

   解答：Ex 5.14

4. $\mathrm{♯}$ 证明方程 $e^z-z=0$ 有无穷多复数根。

   解答：Ex 5.13

5. 证明若 $f$ 在 $\mathbb{D}$ 中有界全纯且不恒等于 $0$，$\{z_n\}$ 为 $f$ 的零点，则

   $$\sum _n(1-|z_n|)<\mathrm{\infty }.$$

   

6. 证明对任意 $|x|<1$ 有

   $$\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{5n+1})(1-x^{5n+4})(1-x^{5n+5})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^{\frac{n(5n+3)}{2}}$$

   这题不会（（

第六章 $\mathrm{\Gamma }$ 函数和 $\zeta$ 函数

定义

• $\mathrm{\Gamma }$ 函数（Gamma function）：对任意右半平面 $\{\mathrm{Re}(s)>0\}$ 的复数 $s$，定义

  $$\mathrm{\Gamma }(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{s-1}dt.$$

  简单性质：

  • $\mathrm{\Gamma }(1)=1,\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

  • $\mathrm{\Gamma }(s+1)=s\mathrm{\Gamma }(s),\mathrm{\forall }\mathrm{Re}(s)>0$

• 欧拉常数（Euler's constant）：$\gamma =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}-\log N$

• $\zeta$ 函数（zeta function）：对任意半平面 $\{\mathrm{Re}(s)>1\}$ 的复数 $s$，定义

  $$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$$

• $\xi$ 函数（xi function）：对任意半平面 $\{\mathrm{Re}(s)>1\}$ 的复数 $s$，定义

  $$\xi (s)={\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }(s/2)\zeta (s).$$

定理 12. $\mathrm{\Gamma }$ 函数的乘积公式

对任意 $s\in \mathbb{C},\mathrm{Re}(s)>0$，有

$$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}=e^{\gamma s}s\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{s}{n})e^{-s/n}.$$

这个乘积公式表明，$\mathrm{\Gamma }$ 函数可以延拓为 $\mathbb{C}$ 上的半纯函数，且仅在 $0,-1,-2,\dots$ 上有单极点。

定理 13. $\zeta$ 函数的函数方程

$\xi$ 函数在半平面 $\mathrm{Re}(s)>1$ 上全纯，且可解析延拓到复平面 $\mathbb{C}$ 上的极点为 $s=0$ 和 $s=1$ 的半纯函数。进一步有

$$\xi (s)=\xi (1-s),\mathrm{\forall }s\in \mathbb{C}.$$

进一步地，$\zeta$ 函数也可以延拓为 $\mathbb{C}$ 上的半纯函数。

题

1. $\star$ 对任意 $\mathrm{Re}(\alpha )>0,\mathrm{Re}(\beta )>0$，定义 Beta 函数：

   $$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1(1-t{)}^{\alpha -1}{t}^{\beta -1}dt$$
   • 证明 $B(\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}.$
   • 证明 $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u^{\alpha -1}}{(1+u{)}^{\alpha +\beta }}du.$

   解答：Ex 6.7

2. $\star$ 证明对任意 $\mathrm{Re}(s)>1$，有

   $$\zeta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx.$$

   解答：Ex 6.13

3. 定义 Bernoulli 数：

   $$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_m}{m!}{x}^m=\frac{x}{e^x-1}$$

   证明：

   $$\zeta (2k)=\frac{(-1{)}^{k-1}{2}^{2k-1}}{(2k)!}{x}^{2k}{B}_{2k}.$$

   解答：

4. 证明

   $$\begin{array}{rl}\zeta (s)=& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x})x^{s-1}dx,0<\mathrm{Re}(s)<1,\\ \zeta (s)=& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2})x^{s-1}dx,-1<\mathrm{Re}(s)<0.\end{array}$$

   不会做（

5. 证明：

   $$\begin{array}{rl}\frac{1}{e^x-1}=& \frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2+4n^2{\pi }^2},\\ \mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)=& \frac{{\pi }^s{2}^{1-s}}{\cos (\pi s/2)}\zeta (1-s).\end{array}$$

   第一问解答：

   第二问不会做（

6. 证明：

   $$\psi (s)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(s)}{\mathrm{\Gamma }(s)}=-\gamma -\frac{1}{s}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+s}-\frac{1}{n})$$

   并验证 $\psi (1-s)-\psi (s)=\pi \cot (\pi s)$。

   证明：根据 $\mathrm{\Gamma }$ 函数的乘积公式得

   $$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}=e^{\gamma s}s\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{s}{n})e^{-\frac{s}{n}}$$

   取对数有

   $$\log \mathrm{\Gamma }(s)=-\gamma s-\log s+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{s}{n}-\log (1+\frac{s}{n}).$$

   求导得

   $$\psi (s)=\frac{d}{ds}\log \mathrm{\Gamma }(s)=-\gamma -\frac{1}{s}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}-\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{s}{n}}=-\gamma -\frac{1}{s}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+s}-\frac{1}{n}).$$

   进而有

   $$\psi (1-s)-\psi (s)=-\frac{1}{1-s}+\frac{1}{s}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+1-s}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+s}+\frac{1}{n})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+s}=\pi \cot (\pi s).$$

   证毕。

7. 证明：

   $$\frac{4}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\log xdx=-\gamma -2\log 2.$$

   证明：注意到

   $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(s)=& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{e}^{-t}dt,\\ {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(s)=& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{d}{ds}{t}^{s-1}{e}^{-t}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{e}^{-t}\log tdt\end{array}$$

   因此

   $${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(\frac{1}{2})={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-t}\log tdt=4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\log xdx=4I$$

   因为（上一题结论）

   $$\psi (\frac{1}{2})=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}=-\gamma -2-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n})$$

   所以 $\frac{4}{\sqrt{\pi }}I=\psi (\frac{1}{2})=-\gamma -2-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n})=-\gamma -2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=-\gamma -2\log 2$。

第九章 椭圆函数初步

定义

• 双周期函数（doubly periodic function）：设 ${\omega }_1,{\omega }_2\ne 0$ 实线性无关（即 ${\omega }_2/{\omega }_1\notin \mathbb{R}$），$\mathbb{C}$ 上的半纯函数 $f$ 满足

  $$f(z+{\omega }_1)=f(z+{\omega }_2)=f(z),\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}$$

  则称 $f$ 为双周期函数。不妨设 ${\omega }_1=1,{\omega }_2=\tau$。

  • 记 $\mathrm{\Lambda }=\{n+m\tau :n,m\in \mathbb{Z}\}$ 为 $1$ 和 $\tau$ 生成（generate）的网格（lattice）；
  • 记 $P_0=\{z:z=a+b\tau ,0\le a<1,0\le b<1\}$ 为基本平行四边形（fundamental parallelogram）；
  • 称 $z$ 和 $w$ 等价，如果 $z=w+n+m\tau ,n,m\in \mathbb{Z}$。记作 $z\sim w$。
  • 全纯双周期函数必为常值函数。

• 称非常值双周期函数为椭圆函数（elliptic function），其基本多边形中的极点数量为阶数（order）。

定理 14. Werierstrass $p$ 函数定义和性质（打不出来那个字母）

$$p(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in {\mathrm{\Lambda }}^{\ast }}[\frac{1}{(z+\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}]=\frac{1}{z^2}+\sum _{(n,m)\ne (0,0)}[\frac{1}{(z+n+m\tau {)}^2}-\frac{1}{(n+m\tau {)}^2}].$$

• $p$ 是周期为 $1$ 和 $\tau$ 的 $2$ 阶椭圆函数。
• $p^{\prime }(1/2)=p^{\prime }(\tau /2)=p^{\prime }((1+\tau )/2)=0$
• $p(1/2)=e_1,p(\tau /2)=e_2,p((1+\tau )/2)=e_3$，则 $p^{\prime 2}=4(p-e_1)(p-e_2)(p-e_3)$。

定理 15. Eisenstein 级数（Eisenstein series）及其 Fourier 展开

定义 $k$ 阶 Eisenstein 级数为

$$E_k(\tau )=\sum _{\omega \in {\mathrm{\Lambda }}^{\ast }}\frac{1}{{\omega }^k}=\sum _{(n,m)\ne (0,0)}\frac{1}{(n+m\tau {)}^k}.$$

若 $k\ge 4,\mathrm{Im}(\tau )>0$，则

$$E_k(\tau )=2\zeta (k)+\frac{2(-1{)}^k(2\pi {)}^k}{(k-1)!}\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{k-1}(r)e^{2\pi i\tau r}.$$

其中除子函数（divisor function） ${\sigma }_l(r)$ 定义为

$${\sigma }_l(r)=\sum _{d|r}{d}^l$$

题

1. $\star$ 设 $a_1,\dots ,a_r$ 和 $b_1,\dots ,b_r$ 分别是椭圆函数 $f$ 在基本平行四边形内的零点和极点，证明

   $$\sum _{j=1}^r{a}_j-\sum _{j=1}^r{b}_j=n{\omega }_1+m{\omega }_2.$$

   解答：Ex 9.2

2. $\star$ 设 $E_4(\tau )=\sum _{(n,m)\ne (0,0)}\frac{1}{(n+m\tau {)}^4}$，证明

   • $E_4(\tau )\to \frac{{\pi }^4}{45}(\mathrm{Im}(r)\to \mathrm{\infty })$
   • $|E_4(\tau )-\frac{{\pi }^4}{45}|\le c{e}^{2\pi t},\tau =x+it,t\ge 1$
   • $|E_4(\tau )-{\tau }^{-4}\frac{{\pi }^4}{45}\le c{t}^{-4}{e}^{-2\pi /t},\tau =it,0<t\le 1$

   解答：Ex 9.8

待过题目

期末：第一题默写，第二题重点原题，第三题非重点原题，第四题没留过的题或和作业类似的题（几乎必出第三章内容）。后三题很难，可以按出题人的提示走两步。

积分题

偶函数带 $\sin f(z)$ 和 $\cos f(z)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的积分，先转成 $e^{if(z)}$，取上半平面的半圆弧积分，然后把奇函数的部分利用对称性消掉；在 ${\mathbb{R}}^{+}$ 上的积分直接转成 $\mathbb{R}$ 上的然后除 2。不是偶函数的可能要在扇形区域上积。

同时带 e 和 log 的积分，可以套 $\mathrm{\Gamma }$ 函数的导数（第六章的 7）。

尽量化简，例如取一个大扇形套小扇形的围道先骗一下（虽然取完就做不了了）

其他

如果证明的式子和 $\mathrm{\Gamma }$ 有关，可以套一下乘积公式（第六章的 6）；和 $\zeta$ 有关可以套一下函数方程。

要求和就找 $\pi \cot \pi z$ 的展开式（第六章的题 3 和 5），能做出来就赚（这题量也根本就不是让人有空好好做后几题的）。证明题实在下不了笔就算了。

如有多余时间可以过一遍 网传前五章答案

• Ch1
  • 7
  • 9，10，13，16，25
• Ch2
  • 1，2，8
  • 3，4，7，11，12，15
• Ch3
  • 3，8，15，16
  • 1，2，6，8，11，13，14，17，20，21，22
  • 4，5，7，9，10，12
• Ch5
  • 5，10，14
  • 2，3，4，6，11，12，13
  • Prob 1
• Ch6
  • 7，15
  • 1，2，3，8，9，14，16
• Ch9
  • 2，8
  • 1，3，4，6，7