复分析 个人笔记（期末复习向）

课程教材：《Stein 复分析》，章节、题号均指该教材。

所有定理全文默写且会用！！！

第一章 复分析基本概念

定义

• \(z=x+iy=re^{i\theta}\)
  • \(\mathrm{Re}z=x\)：\(z\) 的实部
  • \(\mathrm{Im}z=y\)：\(z\) 的虚部
  • \(\overline{z}=x-iy\)：\(z\) 的共轭
  • \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)：\(z\) 的模长
• \(\arg z = \theta\in [0,2\pi)\)：\(z\) 的辐角
• 欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin \theta\)
• 复指数函数 \(e^z = e^{x+iy} = e^x\cos y + ie^x\sin y\)
• 复三角函数 \(\cos z = \dfrac {e^{iz}+e^{-iz}}2, \sin z = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)
• \(D(z_0,r)\)：以 \(z\) 为圆心，\(r\) 为半径的开圆盘，即 \(D(z_0,r) = \{z:|z-z_0|<r\}\)
  • \(D_r = D(r) = D(0,r), C_r = \partial D_r\)
  • \(\mathbb{D}=D(0,1)\)：单位圆盘
• \(\overline{D}\)：区域 \(D\) 的闭包
• \(\partial D\)：区域 \(D\) 的边界，逆时针方向
• \([z,w]\)：以 \(z,w\) 为端点的线段（起点是 \(z\)）
• \(\gamma: z=z(t),t\in [a,b]\)：复平面上的一条曲线，\(z(a)=z(b)\) 就是闭曲线
• \(\int_\gamma f(z)dz\)：曲线积分，\(\int_\gamma f(z)dz = \int_a^bf(z(t))z'(t)dt = F(z(b))-F(z(a))\)（\(F\) 为 \(f\) 的原函数，即 \(F'(z)=f(z)\)。但是 \(F\) 不一定存在）
• 常函数：\(f(z)=C\)
• 全纯函数（holomorphic function）：\(f'(z)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac {f(z+h)-f(z)}h\) 处处存在。注意只能称一个函数在一个开集上全纯，有边界点的是不可以的。
  • 整函数：在复平面 \(\mathbb{C}\) 上全纯的函数
• 单连通区域：任意两条曲线同伦可以简单理解为没有洞的区域

定理 0. Cauchy-Riemann 方程

设 \(f\) 在 \(z_0\) 全纯，则

\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. \]

题

1. \(\star\) 给定 \(w\in \mathbb{D}\)，证明函数 \(F(z) = \dfrac {w-z}{1-\overline{w}z}\) 满足下列性质：

   • \(F: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}\) 且全纯
   • \(F(0)=w,F(w)=0\)
   • 若 \(|z|=1\)，则 \(|F(z)|=1\)
   • \(F\) 是双射

   解答：Ex 1.7(b)

2. \(\sharp\) 设 \(f\) 在开集 \(\Omega\) 上全纯，\(|f|\) 为常值，证明 \(f\) 为常函数。

   解答：Ex 1.13(b)

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第二章 Cauchy 定理及其应用

定理 1. Cauchy 定理（Cauchy's theorem）

设 \(f\) 在圆盘 \(D\) 上全纯，闭曲线 \(\gamma\subset D\)，则

\[\int_{\gamma}f(z)dz=0. \]

推论 1.

设 \(f\) 在包含圆周 \(C\) 及其内部的区域上全纯，则

\[\int_Cf(z)dz=0. \]

应用

在求积分的时候可以把积分区域补成闭曲线，且满足被积函数在闭曲线里围成的区域中全纯。答案就是另几条边的积分的相反数。

一般积分区域是 \(\mathbb{R}\) 都会转成极限然后补成半圆或者矩形，\(\mathbb{R}^+\) 补成扇形或者矩形。

选取闭曲线时，另外几条边的积分一般是 \(0\) 或很容易计算的实积分。

定理 2. Cauchy 积分公式（Cauchy integral formula）

设 \(f\) 在包含圆盘 \(D\) 的闭包的一个开集中全纯，\(\partial D\) 为 \(D\) 的正向边界曲线，则

\[f(z) = \dfrac 1{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta, \forall z\in D. \]

推论.

\[f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta. \]

定理 3. Cauchy 不等式（Cauchy inequalities）

设 \(f\) 在包含圆盘 \(D(z_0,R)\) 的一个开集中全纯，则

\[|f^{(n)}(z_0)|\leq \frac{n!\Vert f\Vert_{\partial D}}{R^n}. \]

其中 \(\Vert f\Vert_{\partial D} = \sup_{z\in \partial D}|f(z)|\)。

定理 4. Liouville 定理（Liouville's theorem）

设 \(f\) 是有界整函数，则 \(f\) 是常函数。

定理 5. 解析延拓原则（analytic continuation）

设 \(f\) 在区域 \(\Omega\) 上全纯，存在 \(z_0\in \overline\Omega\) 和 \(\{z_n\}\subset \Omega\) 满足 \(\{z_n\}\) 两两不同且 \(\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=z_0\)，则 \(f=0\)。

推论.

设 \(f\) 和 \(g\) 都在 \(\Omega\) 上全纯且在 \(\Omega\) 的非空开子集 \(\Omega'\) 上相等（或者在一个收敛点列上相等），则 \(f(z)=g(z),\forall z\in \Omega\)。因此如果 \(f\) 本身定义在 \(\Omega'\) 上而 \(g\) 定义在 \(\Omega\) 上，就可以将 \(f\) 的定义拓展到 \(\Omega\)。即称 \(g\) 为 \(f\) 的解析延拓。

复积分的二级结论

• \(\int_{\partial\mathbb{D}}z^ndz=0, n\in \mathbb{Z},n\neq -1\)

• \(\int_{\partial\mathbb{D}}z^{-1}dz = 2\pi i\)

• \(\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt \pi\)

• \(\int_0^{\infty} \frac{\sin x}x = \frac {\pi}2\)

题

1. \(\star\) 证明

   \[\int_0^\infty \sin(x^2)dx = \int_0^\infty \cos(x^2)dx = \frac {\sqrt{2\pi}}4 \]

   解答：Ex 2.1

2. \(\star\) 证明

   \[\int_0^{\infty} \frac{\sin x}xdx = \frac{\pi}2. \]

   解答：Ex 2.2

3. \(\star\) 设 \(f\) 在带状区域 \(\Omega=\{-1<y<1,x\in \mathbb{R}\}\) 上全纯，且

   \[|f(z)|\leq A(1+|z|)^{\eta}, \eta\in \mathbb{R},\forall z \]

   证明对任意整数 \(n\geq 0\)，存在 \(A_n\geq 0\) 使得

   \[|f^{(n)}(x)|\leq A_n(1+|x|)^\eta, \forall x\in \mathbb{R} \]

   解答：Ex 2.8

4. \(\sharp\) 计算

\[\begin{aligned} \int_0^\infty e^{-ax}\cos bxdx\\ \int_0^\infty e^{-ax}\sin bxdx \end{aligned} \]

​ 解答：Ex 2.3

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第三章 半纯函数和对数函数

定义

• 半纯函数（meromorphic function）：除可数个极点外全纯

• 奇点（singular）：\(f\) 不全纯的点

  • 可去奇点（removable singularities）：\(|f(z)|\rightarrow A(z\rightarrow z_0)\)，可补充定义 \(f(z_0)=A\) 使 \(f\) 在 \(z_0\) 处全纯（因此不妨假定 \(f\) 没有可去奇点）。
  • 极点（poles）：\(|f(z)|\rightarrow \infty(z\rightarrow z_0)\)
    • 单极点（simple pole）：\(|f(z)|\rightarrow \infty(z\rightarrow z_0),(z-z_0)f(z_0)=A\)
    • \(m\) 阶极点：\((z-z_0)^{m-1}f(z_0)\rightarrow \infty(z\rightarrow z_0)\)，但 \((z-z_0)^m f(z_0) = A\)
    • \(f\) 的 \(m\) 阶极点等价于 \(\frac 1f\) 的 \(m\) 阶零点

• 本性奇点（essential singularities）：对任意 \(n\)，\((z-z_0)^nf(z_0)\rightarrow \infty(z\rightarrow z_0)\)（本章不讨论）

• （\(f\) 在奇点 \(z_0\) 处的）留数（residue）：将 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处展开成有理级数（本性奇点 \(m=\infty\)）

  \[f(z) = \sum_{n=-m}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \]

  记 \(\mathrm{res}_{z_0}f = a_{-1}\)。

• 极点处留数的计算公式：设 \(z_0\) 为 \(f\) 的 \(m\) 阶极点，则

  \[\mathrm{res}_{z_0}f = \lim_{z\rightarrow z_0}\frac 1{(m-1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z). \]

  一般只需要用到 \(m=1,2\) 的情况：

  \[\begin{aligned} m=1, & \mathrm{res}_{z_0}f = (z-z_0)f(z)|_{z=z_0} \\ m=2, & \mathrm{res}_{z_0}f = ((z-z_0)^2f(z))'|_{z=z_0} \end{aligned} \]

• 复对数：多值函数，因为 \(\log z = \log(re^{i\theta})=\log r+i\theta\)，而 \(\theta\) 是多值的。

  • 在不含原点的单连通区域（例如半平面、半圆盘、 \(\mathbb{C}\backslash(-\infty,0]\) 等）上可以全纯定义。

定理 6. 留数定理（Residue Theorem）

设 \(f\) 在包含闭曲线 \(\gamma\) 及其内部区域的开集 \(\Omega\) 上半纯，极点为 \(z_1,\dots,z_N\)，则

\[\int_\gamma f(z)dz = 2\pi i\sum_{k=1}^N \mathrm{res}_{z_k}f. \]

应用

比 Cauchy 定理更强的公式，不需要区域内全纯，只需要区域内半纯即可。

但是注意用留数时极点只能落在区域内或者区域外。如果极点在边界上就用不了了。

对区域的选取：

• 同 Cauchy 定理，一般考虑补成半圆计算 \(\mathbb{R}\) 上积分或者补成 1/4 扇形计算 \(\mathbb{R}^+\) 上积分。
• 如果积分曲线上存在极点，用一个小圆弧“绕开”它。

对圆弧积分的计算，可以用下面两个引理（可直接使用）：

• 大圆弧引理：设 \(f(z)\) 在 \(L: z=z_0+\rho e^{i\theta}, \theta\in [\alpha,\beta]\) 上连续，且 \(\lim_{z\rightarrow \infty} (z-z_0)f(z) = A\)，则 \(\lim_{\rho\rightarrow \infty} \int_L f(z)dz = i(\beta-\alpha)A\)
• 小圆弧引理：设 \(f(z)\) 在 \(L: z=z_0+\rho e^{i\theta}, \theta\in [\alpha,\beta]\) 上连续，且 \(\lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_0)f(z) = A\)，则 \(\lim_{\rho\rightarrow 0} \int_L f(z)dz = i(\beta-\alpha)A\)
• Jordan 引理：设 \(f(z)\) 在 \(L: z=\rho e^{i\theta}, \mathrm{Im}z\geq 0\) 上连续，且 \(\lim_{z\rightarrow \infty, \mathrm{Im}z\geq 0}f(z) = 0\)，则 \(\forall \lambda > 0, \lim_{\rho\rightarrow \infty}\int_L f(z)e^{\lambda iz}dz = 0\)。

留数的题

1. \(\star\) 证明

   \[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2+a^2}dx = \pi\frac{e^{-a}}a,a>0. \]

   解答：Ex 3.3

2. \(\star\) 证明

   \[\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cos\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}. \]

   解答：Ex 3.8

3. \(\sharp\) 证明

   \[\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\pi. \]

   解答：Ex 3.6

4. 计算

   \[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin x}{x^2+a^2}dx. \]

   

5. 证明对任意 \(c>0\)，

   \[\frac 1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{y^s}{s^2}ds = \begin{aligned}&\log y, & y\geq 1, \\ &0, & 0<y<1.\end{aligned} \]

   

6. \(a>0,\mathrm{Re}(s)>0\)，计算

   \[\int_0^{+\infty}\frac{x^s}{x^2+a^2}dx \]

   

（实部等于 1 发散我不确定，可能虚部要满足一些条件才发散。不会证）

定理 7. 辐角原理（Argument Principle）

设 \(f\) 在包含闭曲线 \(C\) 及其内部区域的开集上半纯，且 \(f\) 在 \(C\) 上没有零点和极点，则

\[\frac 1{2\pi i}\int_C\frac{f'(z)}{f(z)}dz = f 在C内部的零点数-f在C内部的极点数 \]

推论（广义辐角原理）

\[\frac 1{2\pi i}\int_Cz^n\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\sum_{f(z)=0}z^n-\sum_{f(z)=\infty}z^n \]

定理 8. Rouche 原理（Rouche's throrem）

设 \(f\) 和 \(g\) 在包含闭曲线 \(C\) 及其内部区域的开集上半纯，且

\[|f(z)|>|g(z)|, \forall z\in C \]

则 \(f\) 和 \(f+g\) 在 \(C\) 中的零点数相等。

定理 9. 极大模原理（Maximum modulus principle）

设 \(f\) 在区域 \(\Omega\) 中全纯且非常值，则 \(|f|\) 在 \(\Omega\) 内部取不到最大值。即

\[|f(z_0)|<\sup_{z\in \Omega}|f(z)|, \forall z_0\in \Omega \]

题

1. \(\star\) 利用 Cauchy 不等式或极大值原理证明：

   • 若 \(f\) 在 \(\mathbb{D}\) 内部全纯有界，且在扇形区域 \(\theta<\arg z<\varphi\) 上当 \(|z|\rightarrow 1\) 时一致收敛于零，则 \(f=0\)。
   • 设 \(w_1,\dots,w_n\in \mathbb{D}\)， 证明 \(\exists z\in \mathbb{D}, \prod_{j=1}^n |z-w_j|\geq 1\)。

   解答：Ex 3.15 (b)(c)

2. \(\star\) 设 \(f,g\) 在包含 \(\overline{\mathbb{D}}\) 的区域上全纯且在 \(\overline{\mathbb{D}}\) 上只有一个一阶零点 \(z=0\)。记 \(f_\epsilon(z) = f(z) + \epsilon g(z)\)。证明：当 \(\epsilon\) 充分小时，有

   • \(f_{\epsilon}(z)\) 在 \(\overline{\mathbb{D}}\) 上只有一个一阶零点
   • 若 \(z_{\epsilon}\) 是上一问中的零点，则映射 \(\epsilon\rightarrow z_\epsilon\) 连续。

   解答：Ex 3.16

3. 设 \(a>1\)，证明 \(ze^{a-z}=1\) 在 \(\mathbb{D}\) 上有且仅有一个根，且为正实数。

   解答：令 \(f(z) = ze^{a-z}, g(z) = -1\)，则

   \[|f(z)|=|ze^{a-z}|=|z||e^{a-z}|=e^{a-\mathrm{Re}(z)}> e^{a-1}=1, \forall z\in \partial \mathbb{D}. \]

   因此 \(|f|>|g|, \forall z\in \partial\mathbb{D}\)。

   由 Rouche 定理，\(ze^{a-z}-1=0\) 和 \(ze^{a-z}=0\) 在 \(\mathbb{D}\) 上有相同数量的根。

   显然 \(ze^{a-z}=0\) 有唯一根 \(z=0\)，因此 \(ze^{a-z}-1=0\) 在 \(\mathbb{D}\) 上也只有一个根。

   考虑 \(\mathbb{R}\) 上的函数 \(f(x) = xe^{a-x}\)。因为 \(f(0)=0<1, f(1)=e^{a-1}>1\)，由连续函数的介值定理知 \(f(x)=1\) 在 \((0,1)\) 上存在至少一个根。结合前面结论得 \(f\) 在 \(\mathbb{D}\) 上的唯一根为正实根。证毕。

第五章 整函数的零点和阶数

定义

• 整函数的增长阶（order of growth）：设 \(f\) 为整函数，若存在 \(\rho>0\) 和 \(A,B>0\) 使得 \(|f(z)|\leq Ae^{B|z|^\rho},\forall z\in \mathbb{C}\)，则称 \(f\) 的增长阶 \(\leq \rho\)。即记

  \[\rho_f = \inf\{\rho:\exists A,B>0,\text{s.t.}|f(z)|\leq Ae^{B|z|^\rho},\forall z\in\mathbb{C}\} \]

  例如多项式函数的增长阶为 \(0\)，\(e^{z^2}\) 的增长阶为 \(2\)，\(e^{e^z}\) 的增长阶为 \(\infty\)。

• 典范因子（canonical factor）：\(E_0(z) = 1-z, E_k(z) = (1-z)e^{z+z^2/2+\dots+z^k/k}, k\geq 1.\)

定理 10. Jensen 公式（Jensen's formula）

设 \(\Omega\) 为包含圆盘 \(D_R\) 及其边界的开集，\(f\) 在 \(\Omega\) 上全纯，\(f(0)\neq 0\)，\(f\) 在 \(C_R\) 上非零。

若 \(z_1,\dots,z_N\) 是 \(f\) 在 \(D\) 中的零点（计重数，即 \(m\) 重零点会加 \(m\) 次），则

\[\log |f(0)| = \sum_{k=1}^N \log\frac{|z_k|}R + \frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|d\theta. \]

定理 11. Hardmard 因子分解定理（Hardmard's factorization theorem）

设 \(f\) 是增长阶为 \(\rho_0\) 的整函数，\(k = \lfloor \rho_0\rfloor\)，\(\{a_n\}\) 为 \(f\) 的全体零点，则

\[f(z) = e^{P(z)}z^m\prod_nE_k(z/a_n) \]

其中 \(P\) 为次数不超过 \(k\) 的多项式，\(m\) 为 \(0\) 的重数。

常用二级结论

\[\pi\cot\pi z = \sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac 1{z+n} \]

题

1. \(\star\) 证明当 \(\alpha > 1\) 时，\(F_\alpha(z) = \int_{-\infty}^\infty e^{-|t|^\alpha}e^{2\pi izt}dt\) 是增长阶为 \(\frac \alpha{\alpha-1}\) 的整函数。

   解答：Ex 5.5

2. \(\star\) 求下列函数的 Hardmard 因子分解：

   • \(e^z-1\)
   • \(\cos \pi z\)

   解答：Ex 5.10

3. \(\star\) 利用 Hardmard 因子分解定理证明：若 \(F\) 是整函数且增长阶不是整数，则 \(F\) 有无穷多个零点。

   解答：Ex 5.14

4. \(\sharp\) 证明方程 \(e^z-z=0\) 有无穷多复数根。

   解答：Ex 5.13

5. 证明若 \(f\) 在 \(\mathbb{D}\) 中有界全纯且不恒等于 \(0\)，\(\{z_n\}\) 为 \(f\) 的零点，则

   \[\sum_n(1-|z_n|)<\infty. \]

   

6. 证明对任意 \(|x|<1\) 有

   \[\prod_{n=0}^{\infty}(1-x^{5n+1})(1-x^{5n+4})(1-x^{5n+5})=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^nx^{\frac{n(5n+3)}2} \]

   这题不会（（

第六章 \(\Gamma\) 函数和 \(\zeta\) 函数

定义

• \(\Gamma\) 函数（Gamma function）：对任意右半平面 \(\{\mathrm{Re}(s)>0\}\) 的复数 \(s\)，定义

  \[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t}t^{s-1}dt. \]

  简单性质：

  • \(\Gamma(1) = 1, \Gamma(\frac 12) = \sqrt\pi\)

  • \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s), \forall \mathrm{Re}(s)>0\)

• 欧拉常数（Euler's constant）：\(\gamma = \lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^N\frac 1n - \log N\)

• \(\zeta\) 函数（zeta function）：对任意半平面 \(\{\mathrm{Re}(s)>1\}\) 的复数 \(s\)，定义

  \[\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^s}. \]

• \(\xi\) 函数（xi function）：对任意半平面 \(\{\mathrm{Re}(s)>1\}\) 的复数 \(s\)，定义

  \[\xi(s) = \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s). \]

定理 12. \(\Gamma\) 函数的乘积公式

对任意 \(s\in \mathbb{C},\mathrm{Re}(s)>0\)，有

\[\frac 1{\Gamma(s)}=e^{\gamma s}s\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac sn\right)e^{-s/n}. \]

这个乘积公式表明，\(\Gamma\) 函数可以延拓为 \(\mathbb{C}\) 上的半纯函数，且仅在 \(0,-1,-2,\dots\) 上有单极点。

定理 13. \(\zeta\) 函数的函数方程

\(\xi\) 函数在半平面 \(\mathrm{Re}(s)>1\) 上全纯，且可解析延拓到复平面 \(\mathbb{C}\) 上的极点为 \(s=0\) 和 \(s=1\) 的半纯函数。进一步有

\[\xi(s) = \xi(1-s), \forall s\in \mathbb{C}. \]

进一步地，\(\zeta\) 函数也可以延拓为 \(\mathbb{C}\) 上的半纯函数。

题

1. \(\star\) 对任意 \(\mathrm{Re}(\alpha)>0,\mathrm{Re}(\beta)>0\)，定义 Beta 函数：

   \[B(\alpha,\beta) = \int_0^1(1-t)^{\alpha-1}t^{\beta-1}dt \]
   • 证明 \(B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}.\)
   • 证明 \(B(\alpha,\beta) = \int_0^{\infty} \frac{u^{\alpha-1}}{(1+u)^{\alpha+\beta}}du.\)

   解答：Ex 6.7

2. \(\star\) 证明对任意 \(\mathrm{Re}(s)>1\)，有

   \[\zeta(s) = \frac 1{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx. \]

   解答：Ex 6.13

3. 定义 Bernoulli 数：

   \[\sum_{m=0}^\infty \frac{B_m}{m!}x^m = \frac x{e^x-1} \]

   证明：

   \[\zeta(2k)= \frac{(-1)^{k-1}2^{2k-1}}{(2k)!}x^{2k}B_{2k}. \]

   解答：

4. 证明

   \[\begin{aligned} \zeta(s) =& \frac 1{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\left(\frac 1{e^x-1}-\frac 1x\right)x^{s-1}dx, 0<\mathrm{Re}(s)<1, \\ \zeta(s) =& \frac 1{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\left(\frac 1{e^x-1}-\frac 1x+\frac 12\right)x^{s-1}dx, -1<\mathrm{Re}(s)<0. \end{aligned} \]

   不会做（

5. 证明：

   \[\begin{aligned} \frac 1{e^x-1} =& \frac 1x - \frac 12 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2x}{x^2+4n^2\pi^2},\\ \Gamma(s)\zeta(s) =& \frac{\pi^s2^{1-s}}{\cos(\pi s/2)}\zeta(1-s). \end{aligned} \]

   第一问解答：

   第二问不会做（

6. 证明：

   \[\psi(s) = \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)} = -\gamma - \frac 1s - \sum_{n=1}^{\infty}(\frac 1{n+s} - \frac 1n) \]

   并验证 \(\psi(1-s)-\psi(s)=\pi\cot(\pi s)\)。

   证明：根据 \(\Gamma\) 函数的乘积公式得

   \[\frac 1{\Gamma(s)} = e^{\gamma s}s\prod_{n=1}^\infty (1+\frac sn)e^{-\frac sn} \]

   取对数有

   \[\log\Gamma(s) = -\gamma s-\log s+\sum_{n=1}^\infty \frac sn-\log(1+\frac sn). \]

   求导得

   \[\psi(s) = \frac d{ds}\log\Gamma(s) = -\gamma-\frac 1s + \sum_{n=1}^\infty \frac 1n -\frac{\frac 1n}{1+\frac sn}= -\gamma-\frac 1s - \sum_{n=1}^\infty (\frac 1{n+s} - \frac 1n). \]

   进而有

   \[\psi(1-s)-\psi(s) = -\frac 1{1-s} +\frac 1s - \sum_{n=1}^\infty (\frac 1{n+1-s}-\frac 1n-\frac 1{n+s} + \frac 1n) = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac 1{n+s} = \pi\cot(\pi s). \]

   证毕。

7. 证明：

   \[\frac 4{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-x^2}\log xdx = -\gamma-2\log 2. \]

   证明：注意到

   \[\begin{aligned} \Gamma(s) = & \int_0^{\infty} t^{s-1}e^{-t} dt, \\ \Gamma'(s) = & \int_0^{\infty}\frac d{ds}t^{s-1}e^{-t} dt = \int_0^{\infty} t^{s-1}e^{-t}\log t dt \\ \end{aligned} \]

   因此

   \[\Gamma'(\frac 12) = \int_0^{\infty} t^{-\frac 12}e^{-t}\log t dt = 4\int_0^\infty e^{-x^2}\log xdx = 4I \]

   因为（上一题结论）

   \[\psi(\frac 12) = \frac{\Gamma'(\frac 12)}{\Gamma(\frac 12)} = -\gamma - 2 - \sum_{n=1}^\infty (\frac 1{n+\frac 12}-\frac 1n) \]

   所以 \(\frac{4}{\sqrt\pi}I = \psi(\frac 12) = -\gamma-2-\sum_{n=1}^\infty(\frac 1{n+\frac 12}-\frac 1n) = -\gamma-2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=-\gamma-2\log 2\)。

第九章 椭圆函数初步

定义

• 双周期函数（doubly periodic function）：设 \(\omega_1,\omega_2\neq 0\) 实线性无关（即 \(\omega_2/\omega_1\notin \mathbb{R}\)），\(\mathbb{C}\) 上的半纯函数 \(f\) 满足

  \[f(z+\omega_1) = f(z+\omega_2) = f(z), \forall z\in \mathbb{C} \]

  则称 \(f\) 为双周期函数。不妨设 \(\omega_1 = 1, \omega_2 = \tau\)。

  • 记 \(\Lambda = \{n+m\tau: n,m\in \mathbb{Z}\}\) 为 \(1\) 和 \(\tau\) 生成（generate）的网格（lattice）；
  • 记 \(P_0 = \{z: z=a+b\tau, 0\leq a<1, 0\leq b<1\}\) 为基本平行四边形（fundamental parallelogram）；
  • 称 \(z\) 和 \(w\) 等价，如果 \(z=w+n+m\tau, n,m\in \mathbb{Z}\)。记作 \(z\sim w\)。
  • 全纯双周期函数必为常值函数。

• 称非常值双周期函数为椭圆函数（elliptic function），其基本多边形中的极点数量为阶数（order）。

定理 14. Werierstrass \(p\) 函数定义和性质（打不出来那个字母）

\[p(z) = \frac 1{z^2} + \sum_{\omega\in \Lambda^*}\left[\frac 1{(z+\omega)^2}-\frac 1{\omega^2}\right]=\frac 1{z^2}+\sum_{(n,m)\neq (0,0)}\left[\frac 1{(z+n+m\tau)^2}-\frac 1{(n+m\tau)^2}\right]. \]

• \(p\) 是周期为 \(1\) 和 \(\tau\) 的 \(2\) 阶椭圆函数。
• \(p'(1/2)=p'(\tau/2)=p'((1+\tau)/2)=0\)
• \(p(1/2)=e_1,p(\tau/2)=e_2,p((1+\tau)/2)=e_3\)，则 \(p'^2=4(p-e_1)(p-e_2)(p-e_3)\)。

定理 15. Eisenstein 级数（Eisenstein series）及其 Fourier 展开

定义 \(k\) 阶 Eisenstein 级数为

\[E_k(\tau) = \sum_{\omega\in \Lambda^*}\frac 1{\omega^k}=\sum_{(n,m)\neq (0,0)}\frac 1{(n+m\tau)^k}. \]

若 \(k\geq 4, \mathrm{Im}(\tau)>0\)，则

\[E_k(\tau) = 2\zeta(k) + \frac{2(-1)^k(2\pi)^k}{(k-1)!}\sum_{r=1}^\infty\sigma_{k-1}(r)e^{2\pi i\tau r}. \]

其中除子函数（divisor function） \(\sigma_l(r)\) 定义为

\[\sigma_l(r) = \sum_{d|r}d^l \]

题

1. \(\star\) 设 \(a_1,\dots,a_r\) 和 \(b_1,\dots,b_r\) 分别是椭圆函数 \(f\) 在基本平行四边形内的零点和极点，证明

   \[\sum_{j=1}^r a_j - \sum_{j=1}^r b_j = n\omega_1 + m\omega_2. \]

   解答：Ex 9.2

2. \(\star\) 设 \(E_4(\tau) = \sum_{(n,m)\neq (0,0)} \frac 1{(n+m\tau)^4}\)，证明

   • \(E_4(\tau)\rightarrow \frac{\pi^4}{45}(\mathrm{Im}(r)\rightarrow \infty)\)
   • \(\left|E_4(\tau) - \frac{\pi^4}{45}\right|\leq ce^{2\pi t}, \tau=x+it, t\geq 1\)
   • \(|E_4(\tau)-\tau^{-4}\frac{\pi^4}{45}\leq ct^{-4}e^{-2\pi/t}, \tau=it, 0<t\leq 1\)

   解答：Ex 9.8

待过题目

期末：第一题默写，第二题重点原题，第三题非重点原题，第四题没留过的题或和作业类似的题（几乎必出第三章内容）。后三题很难，可以按出题人的提示走两步。

积分题

偶函数带 \(\sin f(z)\) 和 \(\cos f(z)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上的积分，先转成 \(e^{if(z)}\)，取上半平面的半圆弧积分，然后把奇函数的部分利用对称性消掉；在 \(\mathbb{R}^+\) 上的积分直接转成 \(\mathbb{R}\) 上的然后除 2。不是偶函数的可能要在扇形区域上积。

同时带 e 和 log 的积分，可以套 \(\Gamma\) 函数的导数（第六章的 7）。

尽量化简，例如取一个大扇形套小扇形的围道先骗一下（虽然取完就做不了了）

其他

如果证明的式子和 \(\Gamma\) 有关，可以套一下乘积公式（第六章的 6）；和 \(\zeta\) 有关可以套一下函数方程。

要求和就找 \(\pi\cot\pi z\) 的展开式（第六章的题 3 和 5），能做出来就赚（这题量也根本就不是让人有空好好做后几题的）。证明题实在下不了笔就算了。

如有多余时间可以过一遍 网传前五章答案

• Ch1
  • 7
  • 9，10，13，16，25
• Ch2
  • 1，2，8
  • 3，4，7，11，12，15
• Ch3
  • 3，8，15，16
  • 1，2，6，8，11，13，14，17，20，21，22
  • 4，5，7，9，10，12
• Ch5
  • 5，10，14
  • 2，3，4，6，11，12，13
  • Prob 1
• Ch6
  • 7，15
  • 1，2，3，8，9，14，16
• Ch9
  • 2，8
  • 1，3，4，6，7