微积分甲II - 期末复习

配合视频食用效果更佳

微积分（甲）II 辅学：期末复习

一、级数

级数 $\sum a_n$ 收敛（发散）等价于数列 $(\sum _{i=1}^n{a}_i)$ 收敛（发散）。

1.1 正项级数

1. 比较判别法：

   • $\sum a_n$ 收敛，$b_n\le a_n$，$\sum b_n$ 收敛；
   • $\sum a_n$ 发散，$b_n\ge a_n$，$\sum b_n$ 发散。
   • 积分判别法：${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x\le \sum f(n)\le {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$。

2. $p-$判别法：

   • $a_n\le C{n}^p,p<-1$，$\sum a_n$ 收敛；
   • $a_n\ge C{n}^p,p\ge -1$，$\sum a_n$ 发散。

例题 1 讨论 $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^p{\ln }^{q}n}$ 的收敛性。

例题 2 讨论 $\sum \sin {\displaystyle \frac{1}{n^p}}$ 的收敛性。

1.2 变号级数

3. $(a_n)$ 收敛于零，则$\sum (-1{)}^n{a}_n$ 收敛。例如 $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$。
4. （Dirichlet）$(\sum _{i=1}^n{a}_i)$ 有界，$(b_n)$ 单调收敛于零，则 $\sum a_n{b}_n$ 收敛。例如 $\sum {\displaystyle \frac{\sin n}{n}}$ （如何证明 $(\sum _{i=1}^n\sin i)$ 有界？）。
5. （Abel）$\sum a_n$ 收敛，$(b_n)$ 单调有界，则 $\sum a_n{b}_n$ 收敛。
6. 绝对收敛：$\sum |a_n|$ 收敛；条件收敛：$\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 不收敛。

1.3 函数列、函数项级数

7. 点态收敛：$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)$ 。
8. 一致收敛：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N,\text{s.t.}\mathrm{\forall }n>N,\mathrm{\forall }x\in (a,b),|f_n(x)-f(x)|<ϵ$。$(x^n)$ 在 $[0,1]$ 上点态收敛，不一致收敛。
9. 一致收敛的函数列，极限号可与极限、求导、求积分号交换。

1.4 幂级数（重点）

10. 定义：$f(x)=\sum _{n\ge 0}{a}_n(x-x_0{)}^n$，收敛域 $(x_0-R,x_0+R)$ ，$R$ 为收敛半径。$a_n={\displaystyle \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}}$ 。
11. 常见幂级数展开式（在 $0$ 处展开）

$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle \frac{1}{1-x}}=& 1+x+x^2+\cdots & =& \sum _{n\ge 0}{x}^n\\ e^x=& 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots & =& \sum _{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}\\ \cos x=& 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots & =& \sum _{n\ge 0}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \sin x=& x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots & =& \sum _{n\ge 0}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \ln (1+x)=& x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots & =& \sum _{n\ge 1}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}\\ (1+x{)}^{\alpha }=& 1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+\cdots & =& \sum _{n\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n\\ \arctan x=& x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots & =& \sum _{n\ge 0}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ \arcsin x=& x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\cdots & =& \sum _{n\ge 0}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\end{array}$$

12. 幂级数的加减、乘法和复合：

    $$f(x)+g(x)=\sum (a_n+b_n)x^n,f(x)g(x)=\sum (\sum _{j=0}^n{a}_j{b}_{n-j})x^n,f(g(x))=\sum a_{n}g(x{)}^n=...$$

    例如 ${\displaystyle \frac{1-x}{1+x^2}}+\arctan x$。

13. 较复杂的函数求幂级数展开可以考虑求导或积分：

    $$f^{\prime }(x)=\sum n{a}_n{x}^{n-1},\int f(x)\mathrm{d}x=\sum \frac{a_n{x}^{n+1}}{n+1}+C$$

    例如 $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$。

14. 幂级数反向应用于级数求和。例如 $\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{n^2}{2^n}},\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n{2}^n}},\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{1}{(2n)!}}$。

例题 4 求 $x^2\arctan x^2-\ln \sqrt{1+x^4}$ 的麦克考林级数。

例题 5 计算级数 $\sum _{n\ge 1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{n(n+1)}}$。

1.5 傅里叶级数

15. 周期为 $2\pi$ 的函数的傅里叶级数

    $$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n\ge 1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x$$

    傅里叶级数在 $f(x)$ 的连续点处收敛到 $f(x)$，在第一类间断点处收敛到 $\frac{f(x+)+f(x-)}{2}$，在第二类间断点处不收敛。

16. 傅里叶级数的复形式

    $$f(x)\sim \sum _{n\in \mathbb{Z}}{a}_n{e}^{\mathrm{i}nx},a_n={\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x$$

17. 周期为 $2l$ 的函数的傅里叶级数

    $$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n\ge 1}(a_n\cos \frac{\pi nx}{l}+b_n\sin \frac{\pi nx}{l}),a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos {\displaystyle \frac{\pi nx}{l}}\mathrm{d}x,b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin {\displaystyle \frac{\pi nx}{l}}\mathrm{d}x$$

18. 傅里叶级数应用于级数求和。例如 $\sum \frac{1}{n^2},\sum \frac{1}{n^4}$ （自己构造很难，一般会直接给出 $f(x)$）。

例题 6 求 $x^2$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的傅里叶级数，并计算级数和 $\sum \frac{1}{n^2}$。

二、多元微分

多元微积分部分只需熟练掌握二、三维的概念和计算。

下面的概念都以二维为例，三维直接推广。

2.1 可微定义

19. 偏导数

    $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f_x(x,y)=\underset{\delta \to 0}{lim}\frac{f(x+\delta ,y)-f(x,y)}{\delta }$$

    实际计算时，直接把 $y$ 当常数对 $x$ 求导即可。但如果这样算得到了未定式（例如零比零，无穷比无穷，或者有不可导的部分），需要改用定义。

20. 方向导数

    $$\eta =(\cos \theta ,\sin \theta ),\frac{\partial f}{\partial \eta }(x,y)=f_{\eta }(x,y)=\underset{\delta \to 0}{lim}\frac{f(x+\delta \cos \theta ,y+\delta \sin \theta )-f(x,y)}{\delta }$$

    如果 $f$ 可微，则 $f_{\eta }(x,y)=f_x(x,y)\cos \theta +f_y(x,y)\sin \theta$。

21. 可微

    $$f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)=f(x,y)+f_x(x,y)\mathrm{\Delta }x+f_y(x,y)\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$$

    注意：可微不等价于偏导数存在，也不等价于方向导数存在，也不等价于偏导数存在+连续。

    一般只能通过定义来证明可微性。若想证明不可微，只需证明$(x,y)$沿不同路径趋向于 $(x_0,y_0)$ 时差商极限不同即可。

22. 全微分、梯度

    $$\begin{gathered} df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy \\ \mathbf{grad}f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y)) \end{gathered}$$

    全微分存在的前提是可微。

23. 高阶偏导数

    严格来说，高阶偏导数的定义是和求偏导的顺序有关的。

    但一般情况下，直接按任意顺序依次求偏导即可。例如 $f_{xxy}$ 就可以先对 $x$ 求二阶导（把 $y$ 当作常数），再对 $y$ 求一阶导（把 $x$ 当作常数）。

24. 链式法则

    $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(u(x,y),v(x,y))=f_u(u(x,y),v(x,y))u_x(x,y)+f_v(u(x,y),v(x,y))v_x(x,y)$$

    当链式法则和高阶偏导同时出现时，需要注意此时高阶偏导需要逐次求导，且低阶偏导数都要看成关于 $u,v$ 的函数。

例题 7 求函数 $f(x,y)=\frac{y^2\ln (1+xy)}{x^2+y^4}$ 在 $(0,0)$ 处的方向导数。$f$ 在 $(0,0)$ 是否可微？

例题 8 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}}-{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}}=0,\xi =x+y,\eta =x-y$，证明 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0$。

2.2 隐函数定理（重点）

25. 一元隐函数求导

    设 $y(x)$ 是由 $f(x,y)=0$ 确定的隐函数，则 $y^{\prime }(x)=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}$。

    进一步结合链式法则有 $y^{″}=-{\displaystyle \frac{f_y(f_{xx}+f_{xy}{y}^{\prime })-f_x(f_{xy}+f_{yy}{y}^{\prime })}{f_y^2}}=-{\displaystyle \frac{f_{xx}{f}_y^2-2f_x{f}_y{f}_{xy}+f_{yy}{f}_x^2}{f_y^3}}$。

26. 多元隐函数求导

    设 $z(x,y)$ 是由 $f(x,y,z)=0$ 确定的隐函数，则 $z_x(x,y)=-\frac{f_x(x,y,z)}{f_z(x,y,z)}$。

    $z_{xx},z_{xy},z_{yy}$ 等高阶偏导的计算同样结合链式法则，公式类似。

27. 多元隐函数方程组

    设 $y(x),z(x)$ 是由 $f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0$ 确定的隐函数，则

    $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}{f}_y& f_z\\ g_y& g_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ g_x\end{array}\right]=0.\end{array}$$

    设 $z(x,y),w(x,y)$ 是由 $f(x,y,z,w)=0,g(x,y,z,w)=0$ 确定的隐函数，则

    $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}{f}_z& f_w\\ g_z& g_w\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_x\\ w_x\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ g_x\end{array}\right]=0.\end{array}$$

例题 9 $z(x,y)$ 由 $x^2+y^2+z^2=e^{x+y+z}$ 确定，$f(x,y)=e^x\sin (y+z(x,y))$，求 $f_{xy}(0,0)$。

例题 10 $f(x,e^x)=e^x,f(x^2-1,2x+3)=x^2{e}^x$，求 $\mathbf{grad}\mathit{f}(0,1)$。

2.3 几何应用

28. 三维曲线的切线

    参数式曲线 $(x(t),y(t),z(t))$ 在 $(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ 点的切线方程为

    $$\begin{gathered} x=x^{\prime }(t_0)s+x(t_0), \\ y=y^{\prime }(t_0)s+y(t_0), \\ z=z^{\prime }(t_0)s+z(t_0). \end{gathered}$$

    方程式曲线 $f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 点的切线方程为

    $$\begin{gathered} (f_x,f_y,f_z)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0, \\ (g_x,g_y,g_z)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0. \end{gathered}$$

29. 三维曲线的法平面

    参数式曲线 $(x(t),y(t),z(t))$ 在 $(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ 点的法平面方程为

    $$(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))\cdot (x-x(t_0),y-y(t_0),z-z(t_0))=0.$$

    方程式曲线 $f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 点的法平面方程为

    $$(f_x,f_y,f_z)\times (g_x,g_y,g_z){|}_{(x_0,y_0,z_0)}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.$$

30. 三维曲面的法线

    方程式曲面 $f(x,y,z)=0$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 点的法线方程为

    $$x=f_x(x_0,y_0,z_0)s+x_0,y=f_y(x_0,y_0,z_0)s+y_0,z=f_z(x_0,y_0,z_0)+z_0.$$

    参数式曲面 $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 在 $(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),z(u_0,v_0))=(x_0,y_0,z_0)$ 点的法线方程为

    $$\begin{gathered} x=(y_u{z}_v-y_v{z}_u)s+x_0, \\ y=(z_u{x}_v-z_v{x}_u)s+y_0, \\ z=(x_u{y}_v-x_v{y}_u)s+z_0. \end{gathered}$$

31. 三维曲面的切平面

    方程式曲面 $f(x,y,z)=0$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 点的切平面方程为

    $$(f_x,f_y,f_z)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.$$

    参数式曲面 $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 在 $(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),z(u_0,v_0))=(x_0,y_0,z_0)$ 点的切平面方程为

    $$((y_u{z}_v-y_v{z}_u),(z_u{x}_v-z_v{x}_u),(x_u{y}_v-x_v{y}_u)){|}_{(u_0,v_0)}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.$$

2.4 多元最值、极值（重点）

32. 驻点
    $df(x,y)=0$ 则 $(x,y)$ 是驻点。极值点都是驻点。

    • $d^{2}f$ 正定，极小值；
    • $d^{2}f$ 负定，极大值；
    • $d^{2}f$ 不定，非极值（鞍点）；
    • $d^{2}f$ 半定，无法判断，改用定义。
      无条件最值：直接找所有驻点比较即可，无需再判断是否为极值。

33. 拉格朗日乘子法
    求解条件极值问题的方法。
    例如要解

    $$minf(x,y,z)\mathrm{s}.\mathrm{t}.g_1(x,y,z)=0,g_2(x,y,z)=0,$$

    令

    $$L(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=f(x,y,z)+{\lambda }_1{g}_1(x,y,z)+{\lambda }_2{g}_2(x,y,z)$$

    然后求 $L$ 的无条件最小（极小）值点即可。最大值同理。
    区域最值：先找所有驻点，然后讲区域边界表示为限制条件。求条件极值。

例题 11 求曲面 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{25}=1$ 和平面 $2x+3y+z=1$ 的距离的最大值。

三、多元积分

3.1 多重积分

34. 累次积分
    形如 ${\int }_a^b{\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ 的积分。
    先对内部关于 $y$ 的函数（把 $x$ 视为常数）积分。再对外部关于 $x$ 的函数积分。
    累次积分可以交换两个积分号。具体做法是：联立两个不等式 $a\le x\le b,c(x)\le y\le d(x)$，先把 $y$ 的范围 $I_y$ 解出来，然后用第二个不等式反解出 $x$ 的范围 $I_x(y)$。
    积分化为 ${\int }_{I_y}{\int }_{I_x(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。这里 $I_y$ 和 $I_x(y)$ 都是若干个不交区间的并。

35. 重积分
    形如 ${\int }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 的积分。
    先将 $D$ 表示成不等式的形式（如果是某几条曲线围成的有界区域，就画出草图然后看区域对应的不等式），然后固定 $x$（或 $y$），解出 $y$ 的范围 $I_y(x)$（或 $x$ 的范围 $I_x(y)$）。
    重积分化为累次积分 ${\int }_{I_x}{\int }_{I_y(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。

36. 变量替换
    设 $T:(x,y)\to (u,v)$ 是 $D$ 到 $T(D)\subset {\mathbb{R}}^2$ 的连续可微双射，$f(x,y)$，则

    $${\int }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{T(D)}f(x(u,v),y(u,v))|{\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

    严格来说，因为面积（体积）为 $0$ 的区域积分不影响积分值，所以 $T$ 只要在 $D$ 去掉一个面积（体积）为 $0$ 的子集后的区域满足上面的性质即可。
    常见的变量替换公式有

    $$\begin{array}{rlrl}x& =r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,& |{\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}|& =r\\ x& =r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi ,& |{\displaystyle \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}}|& =r^2\sin \phi \\ x& =r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z,& |{\displaystyle \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}|& =r\\ (u,v,w{)}^T& =A(x,y,z{)}^T+(x_0,y_0,z_0{)}^T,& |{\displaystyle \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}|& =det(A{)}^{-1}\end{array}$$

    这几类替换分别称为二元极坐标、三元极坐标、柱坐标变换和线性坐标变换。

例题 12 计算重积分

$${\int }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

其中 $D$ 为 $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)(0\le t\le 2\pi )$ 与 $x$ 轴所围成的区域。

例题 13 计算重积分

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$$

其中 $\mathrm{\Omega }$ 为 $z=xy,y=x,x=1,z=0$ 所围成的区域。

例题 14 计算区域 $D$ 的面积，其中 $D$ 是曲线 $(x^2+y^2{)}^2=a(x^3-3x{y}^2)$ 所围成的图形。

例题 15 计算重积分

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(x+y+z{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$$

$\mathrm{\Omega }$ 是曲面 $x^2+y^2=2az$ 和 $x^2+y^2+z^2=3a^2$ 围成的有界区域。

3.2 第一类曲线、曲面积分

37. 参数式第一类曲线积分
    设曲线参数表示为 $\gamma =(x(t),y(t)),t\in [a,b]$，则

    $${\int }_{\gamma }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}\mathrm{d}t.$$

    特别地，当曲线有显式表达 $y=y(x)$ 时，

    $${\int }_{\gamma }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}\mathrm{d}x.$$

    熟记圆、椭圆等曲线的参数方程。

38. 参数式第一类曲面积分
    设曲面参数表示为 $\mathrm{\Sigma }=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in D$，则

    $${\int }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\int }_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v.$$

    其中 $E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,F=x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v,G=x_v^2+y_v^2+z_v^2$。
    特别地，当曲面有显式表达 $z=z(x,y)$ 时，

    $${\int }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\int }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

    熟记球面、椭球面等曲面的参数方程。对于球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$。$\sqrt{EG-F^2}=R$。

39. 方程式第一类曲面积分
    设曲面方程为 $g(x,y,z)=0$，则

    $${\int }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\int }_{D}f(x,y,z){\displaystyle \frac{\sqrt{g_x^2+g_y^2+g_z^2}}{|g_z|}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

例题 16 计算曲线积分

$${\int }_{\gamma }{e}^{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}s,$$

$\gamma$ 是 $x^2+y^2=a^2,y=x,x=0$ 在第一象限所围图形的边界。

例题 17 计算曲线积分

$${\int }_{\gamma }(x^2+y^2+2z)\mathrm{d}s,$$

$\gamma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 和平面 $x+y+z=2$ 的交线。

例题 18 求抛物面 $z=x^2+y^2$ 被 $z=1$ 截下的有界部分 $\mathrm{\Sigma }$ 的面积。

例题 19 计算曲面积分

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }}(xy+yz+zx)\mathrm{d}S.$$

$\mathrm{\Sigma }$ 为 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+y^2=2ax$ 所截部分。

3.3 第二类曲线、曲面积分

40. 第二类曲线积分
    设曲线参数表示为 $\gamma :(x(t),y(t)),t\in [a,b]$，则

    $${\int }_{\gamma }P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_a^{b}P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$

41. 第二类曲面积分
    设曲面参数表示为 $\mathrm{\Sigma }:(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in D$，则

    $$\begin{array}{rl}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =& {\int }_{D}P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (y,z)}{\partial u,v}+Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}+R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ =& {\int }_{D}P(x,y,z)\cos \alpha (x,y,z)+Q(x,y,z)\cos \beta (x,y,z)+R(x,y,z)\cos \gamma (x,y,z)\mathrm{d}u\mathrm{d}v.\end{array}$$

    其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是曲面在 $(x,y,z)$ 处的法向量。

例题20 计算曲线积分

$${\int }_{\gamma }(y-z)\mathrm{d}x+(z-x)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}z.$$

$\gamma$ 为 $x^2+y^2+z^2=1$ 和 $y=x\tan \alpha$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去是逆时针。

例题21 计算曲面积分

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }}\frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{z^2+x^2}}\mathrm{d}z\mathrm{d}x$$

$\mathrm{\Sigma }$ 为 $y=x^2+z^2,y=1,y=2$ 所围立体的表面，方向取外侧。

3.4 Stokes公式

42. Green公式
    设 $D$ 为平面单连通区域（直观理解，没有“洞”），$\partial D$ 是分段光滑的简单闭曲线，且 $P,Q$ 在 $D$ 上具有连续偏导数，定向为正（逆时针），则

    $${\int }_{\partial D}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

    如果待积积分的曲线不是闭曲线，需要用尽可能简单的曲线来“补全”。后两个公式同理。

43. Gauss公式
    设 $\mathrm{\Omega }$ 为空间单连通区域，$\partial \mathrm{\Omega }$ 是分片光滑的闭曲面，且 $P,Q,R$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 上具有连续偏导数，定向为正（外法向），则

    $${\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$$

44. Stokes公式
    设 $\mathrm{\Sigma }$ 为空间的带边界曲面，$\partial \mathrm{\Sigma }$ 是分段光滑曲线，且 $P,Q,R$ 在 $\mathrm{\Sigma }$ 上具有连续偏导数，定向与曲面的定向服从右手定则（曲面定向向上则曲线定向为逆时针），则

    $${\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z={\int }_{\mathrm{\Omega }}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

45. 奇点处理
    在应用这三个公式时，如果右端积分区域中存在奇点，例如对 ${\int }_{\partial D}{\displaystyle \frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}}$ 使用格林公式，
    需要在奇点附近挖去一个充分小的区域，使用格林公式计算剩余区域边界的积分 $I_1-I_2$，再加上被挖去的区域边界的积分 $I_2$。

例题22 计算曲线积分

$${\int }_{\gamma }(x^{2}y\cos x+2xy\sin x-y^2{e}^x)\mathrm{d}x+(x^2\sin x-2y{e}^x)\mathrm{d}y,$$

$\gamma :x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$，取逆时针方向。

例题23 计算曲面积分

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }}2(1-x^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+8xy\mathrm{d}z\mathrm{d}x-4zx\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

$\mathrm{\Sigma }$ 是 $x=e^y(0\le y\le a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转面，法向量与 $x$ 轴的正向夹角为钝角。

例题24 计算曲面积分

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

$\mathrm{\Sigma }:z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，方向取上侧。

例题25 计算曲线积分

$${\int }_{\gamma }(x^2-yz)\mathrm{d}x+(y^2-zx)\mathrm{d}y+(z^2-xy)\mathrm{d}z,$$

$\gamma$ 是沿着曲线 $x=a\cos \phi ,y=a\sin \phi ,z=\frac{h}{2\pi }\phi$ 从 $(a,0,0)$ 到 $(a,0,h)$ 的路径。

例题26 计算曲线积分

$${\int }_{\gamma }\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{4x^2+y^2},$$

$\gamma =:(x-1{)}^2+y^2=R^2$，逆时针方向。

例题27 计算曲面积分

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }}\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}},$$

$\mathrm{\Sigma }:x^2+2y^2+3z^2=1$，方向取外侧。

3.5 场论初步

46. 场
    数量场：多元函数 $f(x,y,z)$。
    向量场：多元向量函数 $\mathit{F}(x,y,z)=P\mathit{i}+Q\mathit{j}+R\mathit{k}$。

47. 散度和旋度

    $$\begin{gathered} \mathrm{div}\mathit{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}. \\ \mathbf{rot}\mathit{F}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathit{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathit{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathit{k}. \end{gathered}$$

    数量场的梯度是向量场；
    向量场的散度是数量场；
    向量场的旋度是向量场。

48. Laplace算子

    $$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f=\frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}Q}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}R}{\partial z^2}.$$

49. 散度定理

    $${\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}\mathrm{d}V={\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}={\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}S.$$

    实际应用时，我们常常会令 $\mathit{F}$ 为某个数量场的梯度。

例题28 证明格林第二公式

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(f\mathrm{\Delta }g-g\mathrm{\Delta }f)\mathrm{d}V={\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}(f\frac{\partial g}{\partial \mathit{n}}-g\frac{\partial f}{\partial \mathit{n}})\mathrm{d}S.$$