2024.10.19 Codeforces Round 979 (Div. 2)

比赛链接

Solved：5/8

Upsolved：6/8

Rank：166

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E. MEXmize the Score

题意

定义一个集合的分数为：将它分成若干个子集，mex 和的最大值。（mex 从 0 开始算）

给 n 个数，求所有非空子集的分数之和。

\(n\leq 2\times 10^5\)

题解

对一个确定的集合，它的划分方式一定是每次分出去一个最长的 {0,1,…,k}，按这样划完剩下的数就没用了。

我们依次考虑 {0}，{0,1}，…，{0,1,…,n-1} 被划分了多少次。

对 {0,1,…,i}，如果某个子集满足：i+1 及以上的数字随意，如果 0 到 k 出现了至少 j 次且至少一个数出现了 j 次，那么 {0,1,…,i} 在这个子集中被划分了 j 次。

这里的 {0,1,…,i} 是从 {0,1,…,i-1} “延申”出来的。因此对答案的贡献是 1 而不是 i+1（如果不用差分统计贡献，需要保证 i+1 不出现或者出现次数和 1…i 的次数恰好差 j，需要多枚举一层）。

具体式子就是

\[\sum_{i=0}^{n-1}2^{\sum_{j=i+1}^nc_j}\sum_{j=1}^{c_i}j\left(\prod_{k=0}^i\sum_{l=j}^{c_k}\binom{c_k}l-\prod_{k=0}^i\sum_{l=j+1}^{c_k}\binom{c_k}l\right) \]

k 和 l 的循环可以预处理，只需枚举 i 和 j。复杂度 O(n)。

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F. Orangutan Approved Subarrays

题意

称一个序列是可消除的，如果它可以通过如下操作删除至空序列：

• 每次删除一个连续的数字相等的区间
• 每个数字只能删除一次

给一个序列，多次询问一个区间是否可消除。

\(n\leq 2\times 10^5\)

题解

首先观察到两个性质：

• 序列可消除的充要条件是不存在交替出现的数字（1 2 1 2 这样的，中间隔其他数也不行）
• 如果一个区间不是可消除的，那么包含它的区间也不是可消除的。因此可以固定右端点然后双指针算最长的左端点。

考虑左端点何时会向右移动。维护last和next数组分别表示每个数字上次和下次出现的位置，则当右端点为i时，只要[j,last[i]-1]中存在一个数的next在[last[i],i-1]之间，就说明有交替出现。动态更新next并用线段树维护即可。

处理完所有右端点对应的左端点，询问O(1)。