2024.10.3 2022-2023 ICPC Brazil Subregional Programming Contest

比赛链接

Solved：12/14

Rank：5/1k+

Rank（vp）：49/2k+

Penalty：1619

Dirt：45%

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前 10 个题都比较简单/套路。

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L

树上启发式合并，把size小的树的合并到size大的里，合并的时候统计枚举到的点的答案。

因为不会写启发式合并卡了 40min，警钟长鸣！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;

const int N=1e5+5;
int n,c[N],x,y;

int f[N];
int find(int x){
    return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}

vector<pii> e[N];
void adde(int x,int y,int i){
    e[x].push_back({y,i});
}
int sum[N];
map<int,int> col[N];
int sz[N];
ll now[N],ans[N];
void mrg(int x,int y){
    x=find(x),y=find(y);
    if(sz[x]<sz[y])swap(x,y),now[y]=now[x];
    sz[x]+=sz[y],f[y]=x;
    for(auto& [z,w]:col[y]){
        int& t=col[x][z];
        now[x]-=1ll*t*(sum[z]-t);
        t+=w;
        now[x]+=1ll*t*(sum[z]-t);
    }
}
void dfs(int u,int f,int i){
    sz[u]=1,++col[u][c[u]];
    now[u]=sum[c[u]]-1;
    for(auto [v,j]:e[u])if(v^f)
        dfs(v,u,j),mrg(u,v);
    ans[i]=now[find(u)];
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)cin>>c[i],++sum[c[i]];
    for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=i;
    for(int i=1;i<n;++i){
        cin>>x>>y;
        adde(x,y,i),adde(y,x,i);
    }
    dfs(1,0,0);
    for(int i=1;i<n;++i)cout<<ans[i]<<' ';
    cout<<'\n';
}

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K

\[f_{n,k}=\sum_if_{n-d_i,k-p_i}, n\leq 10^9, d_i\leq 10, k\leq 400 \]

这个\(d\)的范围很想矩乘，如果直接把400全压进向量里就是4000维，肯定T。

令\(f_n(x) = \sum_{k=0}^K f_{n,k}x^k\)，则转移方程变为

\[f_n(x) = \sum_i x^{p_i}f_{n-d_i}(x) \]

且 \(f_0(x)=1\)。这样就变成多项式为元素的矩阵乘法了。

复杂度\(O(d^3K^2\log n)\)

也可以直接做 4000 项的线性递推。复杂度少一个 d。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mod=1e9;

int n,m,k,d,p;
struct poly{
    ll a[405];
    poly(){memset(a,0,sizeof(a));}
    ll& operator[](int i){return a[i];}
    const ll& operator[](int i)const {return a[i];}
    poly operator+(const poly& b){
        poly res;
        for(int i=0;i<=k;++i)
            res[i]=(a[i]+b[i])%mod;
        return res;
    }
    poly operator*(const poly& b){
        poly res;
        for(int i=0;i<=k;++i)
            for(int j=0;j<=k-i;++j)
                res[i+j]=(res[i+j]+a[i]*b[j])%mod;
        return res;
    }
};

struct mat{
    poly a[11][11];
    mat(bool o=0){
        for(int i=0;i<=10;++i)
            for(int j=0;j<=10;++j)
                a[i][j]=poly();
        if(o){
            for(int i=0;i<=10;++i)a[i][i][0]=1;
        }
    }
    poly* operator[](int i){return a[i];}
    const poly* operator[](int i)const {return a[i];}
    mat operator*(const mat& b){
        mat res;
        for(int i=0;i<=10;++i)
            for(int j=0;j<=10;++j)
                for(int k=0;k<=10;++k)
                    res[i][j]=res[i][j]+a[i][k]*b[k][j];
        return res;
    }
}tr,ans;

mat qpow(mat x,int y){
    mat res(1);
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1)res=res*x;
        x=x*x;
    }
    return res;
}

int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        cin>>d>>p;
        ++tr[0][d-1][p];
    }
    for(int i=1;i<=10;++i)tr[i][i-1][0]=1;
    ans[0][0][0]=1;
    ans=qpow(tr,n-1)*ans;
    ll res=0;
    for(int i=0;i<=k;++i)res=(res+ans[0][0][i])%mod;
    cout<<res<<'\n';
}