南外联测 191112 做题总结
Game
重述题意：
有这样一个游戏， 这个游戏里有n只怪， 每只怪血量 \(a_i\)
每次攻击时， 玩家选择一个数\(p\), 使得
for(int i = p; i <= min(n, k+p-1); i++) {
a[i] -= k+p-i;
}
求最小的k， 使得玩家可以通过m次攻击使得所有\(a[i] < 0\)
数据范围：
50% data: \(n \le 10^3\)
100% data: \(n \le 10^6, m \le 1e9, a[i] \le 1e9\)
首先明显 k 具有可二分性。
对于每一个k，操作的方法只有： 对\(a_i\)数列顺序“施加攻击”。
但是怎么模拟这个操作呢？毕竟每次都区间减等差数列的数据结构 非常高级，而且难写
（当然写好暴力区间减就50分到手 再一次说明写暴力重要性
形式化的讲， 每次攻击\(a_i\) 需要施加 \(l = \lceil \frac{a_i}{k} \rceil\) 次攻击， 影响一直波及到 \(a_{i+k-1}\) 。
考虑差分。 定义 \(\Delta a_i = a_{i+1} - a_i\)
则有： \(\Delta a_i ' = \Delta a_i + l\) 。 所以 区间加等差数列等于区间差分加上一个固定的数
而对\(\forall \Delta a_x, \ i \le x\le i+k-1\), 都有上式成立。 故对每个操作，打上一个“区间减法”标记就可以了。
（其实这个标记的真正含义是二阶差分）
考后总结
- 50分暴力必须要写。 写了可以对拍。
- 二分时注意 解区间开闭性和边界， 二分其实有很多坑的。重点要记住， 二分区间一致是一个 半开半闭 区间。
- 数组未初始化， 调了40分钟（哭哭哭。
- 其实
k = 0的情况是存在的， 但是不能写进二分的判定里（若是让k = 0，那么判断时会除以0）- 所以
k=0情况要特判。
- 所以
Friend
百度地图的实时路况 简化版。
考后感想
特别要注意： 这张图是有重边和自环的。
我没有给边判重，得20分
判重之后， 满分！！
Revenge
重述题意：
有一颗n个点的树， 每个点有一个颜色，总共有c种颜色。求最短的树上路径（一个点最多经过一次），使得路径上每种颜色的点都有。
60% data: \(n \le 2000\)
100% data : \(c\le 9, n \le 20000\)
这道题我在考试时想到的思路是这样的（类比求树的直径）：
\[\begin{align} 动态规划:\\ &f(i,sta) = 以点i为根,经过点集为sta的最短路径长度&\\ &g(i,sta) = 以点i为根,经过点集为sta的次短路径长度 \end{align} \]但是其实这样无法保证最短路径和次短路径不相交 . 保证 不相交 才是最重要的.
但是我却写了这个错误的解法. 所以最后没时间调试, 我没分了.
考后感想
其实, 通过n次\(dfs\)就可以得到60分.
所以, 一个方法务必想清楚为什么正确!!不能确定正确的话, 先写个暴力.
100分做法:
动态规划: 仔细看， 定义改成了 \(f(i,sta) = 以点i为根,经过点集至少为为sta的最短路径长度\)
转移时, 可以优化:
\[{DP:} \begin{align} \\ &ans =\min _s f(u, s) + f(v,s')\\ &f(u, s+c_u) = \min \{f(v, s+c_u) + 1, f(u, s)\} \end{align}\]
复杂度 \(O(n*2^n)\)
注意！！
\(f(i, sta)\) 中 \(sta\) 是 至少 经过点集为sta的最短路径长度
这个至少 很重要。 否则， 这道题就需要用\(SOSdp\), 一种\(FWT\)的变体来更新ans了。
这里有一篇\(SOSdp\)的博客: https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/100109753
（原汁原味英文版： https://codeforces.com/blog/entry/45223 ）
不过现在就先不学了。
怎么处理这个 至少 呢？ （不用枚举子集）
再加一个状态转移方程： \(f_{u, s} = \min \{ f_{v,s} + 1, f_{u, s}\}\)就可以了。（有点意思！）
这样， 对于任意一条路径， 所有可能的 忽略某些点 的方案都会被统计到。（毕竟“至少” 就是要 忽略某些在路径上的点）
